Введение к работе
Актуальность темы.
Сингулярные (точечные) взаимодействия являются одной из старейших моделей квантовой механики и ядерной физики. Под точечными взаимодействиями в системе двух частиц обычно понимают взаимодействия, нетривиальные лишь при нулевом расстоянии между частицами. Условие непрерывности волновой функции в нуле эффективно сводит потенциал нулевого радиуса к граничному условию вида (в СИСТеме еДИНИЦ С U = 1 И Приведенной МаССОЙ \l = ту)
— 1п[гФ] dr
Л (і)
r=0
ставящимся на расстоянии г между частицами, равном нулю.
Классический пример таких взаимодействий — потенциалы нулевого радиуса в ядерной физике [1], [2], которые прочно заняли свою "экологическую нишу" после работы Х.Бете и Р.Пайерлса [3], посвященной теории дейтрона. Множество различных приложений точечных взаимодействий к задачам ядерной физики содержится в монографии Ю.Н. Демкова и В.Н. Островского [4]. В моделях с ^-потенциальными взаимодействиями отчетливо наблюдаются специфически квантовые особенности динамики и поэтому это удобный полигон для исследования различных эффектов, имеющих универсальный характер, не зависящий от конкретных деталей взаимодействия.
Однако, будучи действительно простой и явно решае-
мой в задаче двух частиц, при переходе к задаче трех тел модель потенциалов нулевого радиуса приводит к дополнительным математическим проблемам [8] (см. также [6]), отсутствующим в случае парных взаимодействий, описываемых регулярными потенциалами. Эти проблемы связаны с тем, что носителями точечных взаимодействий в парных подсистемах а, а = 1,2,3, являются трехмерные гиперплоскости Л4а, коразмерность которых по отношению к конфигурационному пространству R6 слишком велика. Особую роль играет здесь точка тройного столкновения частиц X = 0 являющаяся одновременно единственной точкой пересечения гиперплоскостей ЛЛа и М.р при /3 ф а. Присутствие этой точки проявляется в том, что при естественном включении стандартных парных взаимодействий возникает модель [7], гамильтониан которой имеет ненулевые индексы дефекта [8] (например, индексы (1,1) в s-состоянии трех бозонов), а уравнения Скорнякова-Тер-Мартиросяна [7], являющиеся для этой модели специальным случаем уравнений Фаддеева [9], оказываются нефредгольмовыми. В частности, как показал Г.С.Данилов [10], соответствующие однородные уравнения имеют нетривиальные решения при всех энергиях г, в том числе и комплексных. Это обстоятельство резко отличает модель потенциалов нулевого радиуса от других вариантов быстроубывающих парных взаимодействий, для широкого класса которых уравнения Фаддеева компактны [11] (при этом однородные уравнения Фаддеева имеют решения лишь при тех энергиях, для которых существуют связанные состояния системы трех
частиц). Р.А.Минлосом и Л.Д.Фаддеевым [8] было установлено, что модификация [10] модели, предложенная Даниловым для выделения единственного решения уравнений Скорнякова-Тер-Мартиросяна, является лишь одним из возможных самосопряженных расширений исходного гамильтониана задачи [7]. Выбор того или иного расширения сводится к выбору специального подпространства решений однородных уравнений Скорнякова-Тер-Мартиросяна. Подсемейство расширений, фактически построенное Даниловым [10], состоит из неполу ограниченных гамильтонианов. Другими словами, в системе возможен коллапс ("падение на центр"), что делает и уточненную модель [10] неприемлемой для многих приложений.
Довольно быстро обнаружилось, что существуют полуограниченные гамильтонианы для системы трех частиц с точечными взаимодействиями более общего вида, чем (1). В [8] указано на существование полуограниченных гамильтонианов в том случае, если граничные условия по координате пары частиц содержат оператор типа свертки по относительному импульсу дополнительной частицы, но постановка таких граничных условий заведомо означает введение в задачу трехчастичных сил. Особый интерес, однако, представляют модели систем трех и более квантовых частиц с парным точечным взаимодействием, обладающие полуограниченным снизу оператором энергии.
Априори ясно, что любое расширение модели (1), оставляющее взаимодействие между частицами точечным (нетривиальным лишь в точке г = 0), должно приводить к
волновым функциям рассеяния Ф(&), удовлетворяющим при всех к > 0 равенству
-^-1п[гФ(А:)] dr
= к ctg 6(к),
г=0
где к ~ модуль относительного импульса частиц, a S(k) -фазы рассеяния в s-состоянии системы. Хорошо известно [17], что для быстроубывающих взаимодействий функция к ctg S допускает при к —> 0 следующее асимптотическое разложение
kctg6(k) = -- + -r0E + Ar20E2 + ... (2)
a Z
где Е ~ к2 - энергия системы, а г0 - эффективный радиус взаимодействия. Так что граничные условия (1), отвечающие потенциалам нулевого радиуса содержат лишь старший член асимптотики (2), причем в случае (1) к ctg S(к) = — д при всех к.
Впервые полуограниченный трехчастичный гамильтониан с парными точечными взаимодействиями был построен Ю.Г. Шондиным [13], рассматривавшим обобщенные 6-потенциалы, приводящие к представлению (2), содержащему при всех к > 0 наряду с — 1/а лишь линейный по энергии член. В модели [13], по существу, используются расширения оператора Лапласа с выходом из пространства /^(R3) в пространство L2(R3) ф С, dimC = 1. Учет [12] следующих членов Е2, Е3, ...разложения (2) в точечном взаимодействии частиц [13] приводит к необходимости выхода из Z,2(R3) в пространства с индефинитной метрикой.
Другой подход к построению (энергозависимых) точечных взаимодействий, приводящий к случаю, когда ( — к ctg S) оказывается й-функцией1 энергии z, z С, был предложен в работе Б.С.Павлова [14], где, в отличие от [13], используются расширения оператора Лапласа с выходом из ./^(R3) в произвольное дополнительное гильбертово пространство (внутренних степеней свободы сталкивающихся частиц).
Используя принцип [15]—[16], Б.С.Павлов в своей статье [6] включил в гамильтониан системы трех частиц также и точечные взаимодействия с внутренней структурой [14]. Выяснилось, что для полуограниченности трехчастично-го гамильтониана необходимо выбрать параметры взаимодействий [14] так (а это возможно), чтобы матрицы рассеяния в двухчастичных подсистемах имели высокоэнергетическое поведение sa(k) — 1, о = 1, 2, 3, характерное для
к-^+оо
рассеяния на гладких быстроубывающих потенциалах [17]. Аналогичный вывод получен также и в работе [18], использовавшей явное описание области определения гамильтонианов в двухчастичных и трехчастичной задачах.
Оказалось, однако, что точечные взаимодействия из работ [6] и [18] не вполне являются парными и содержат трех-частичные силы.
До настоящего времени не было дано описания полуограниченного гамильтониана системы трех различных частиц с сингулярным парным взаимодействием.
Описание класса таких гамильтонианов и исследование
1Функция J(z), аналитичная в верхней полуплоскости z, называется Л-функцией, если 1т/(г) > 0 при Imz > 0.
их свойств представляет большой теоретический и прикладной интерес и содержится в представленной работе.
Цель работы.
1. Получение общей схемы построения полуограниченных
гамильтонианов систем трех квантовых частиц с обобщен
ным точечным парным взаимодействием.
-
Построение классификации трехчастичных систем, в терминах парных Т-матриц, на основе которой может быть прослежена аналогия между коллапсом в системе трех точечных частиц и эффектом Ефимова.
-
Исследование спектральных свойств построенных гамильтонианов и постановка задачи рассеяния в ситуации, отвечающей полуограниченному гамильтониану.
Положения, выносимые на защиту.
1. получена общая схема построения по л у ограниченных га
мильтонианов систем трех квантовых частиц с обобщенным
точечным парным взаимодействием. Построена классифи
кация трехчастичных систем, в терминах парных Т-матриц,
на основе которой прослежена аналогия между коллапсом
в системе трех точечных частиц и эффектом Ефимова.
2. проведен спектральный анализ построенных гамиль
тонианов в случае когда все или две из трех парных S-
матрицы имеют регулярное высокоэнергетическое поведе
ние. Для этого случая исследована задача рассеяния. По
лучены интегральные уравнения, играющие роль уравне
ний Фаддеев а для компонент сингулярной Т-матрицы и по-
казана их однозначная разрешимость в подходящем банаховом пространстве.
3. показано, что ядра интегральных уравнений обладают стандартными асимптотическими и аналитическими свойствами, что позволило написать дифференциальные уравнения для компонент волновой функции. Для дифференциальных уравнений выписаны асимптотические граничные условия и доказана однозначная разрешимость сформулированных краевых задач при значениях энергии, не принадлежащих дискретному спектру оператора энергии.
Научная новизна работы. Следующие результаты являются новыми:
1. Найдена общая схема построения полуограниченных га
мильтонианов систем трех квантовых частиц с обобщенным
точечным парным взаимодействием.
Предложена классификация трехчастичных систем, в терминах парных Т-матриц, на основе которой прослежена аналогия между коллапсом в системе трех точечных частиц и эффектом Ефимова.
2. проведен спектральный анализ построенных гамиль
тонианов в случае когда все или две из трех парных S-
матрицы имеют регулярное высокоэнергетическое поведе
ние. Для этого случая исследована задача рассеяния. По
лучены интегральные уравнения, играющие роль уравне
ний Фаддеева для компонент сингулярной Т-матрицы и по
казана их однозначная разрешимость в подходящем бана
ховом пространстве.
3. Показано, что ядра интегральных уравнений обладают
стандартными асимптотическими и аналитическими свойствами, что позволило написать дифференциальные уравнения для компонент волновой функции. Для дифференциальных уравнений выписаны асимптотические граничные условия и доказана однозначная разрешимость сформулированных краевых задач при значениях энергии, не принадлежащих дискретному спектру оператора энергии.
Научная и практическая ценность работы.
Нахождение полуограниченных трехчастичных операторов энергии с сингулярными парными квазилокальными взаимодействиями позволяет применять модель для широкого класса задач квантовой механики. Построение и исследование свойств таких гамильтонианов проводится в терминах самосопряженных расширений некоторого вспомогательного оператора K{z). В неполуограниченном случае, отвечающем трем парным ^"-матрицам с аномальным высокоэнергетическим поведением вспомогательный оператор совпадает с оператором уравнения Скорнякова-Тер-Мартиросяна. Это позволяет проанализировать структуру отрицательного дискретного спектра, уходящего в минус бесконечность (коллапс) и провести аналогию между эффектом Ефимова в трехчастичной системе с короткодействующими потенциалами
при наличии виртуальных уровней в парных подсистемах и эффектом падения на центр в системе трех частиц точечными взаимодействиями.
Формулировка локальных краевых условий для дифференциальных уравнений Фадцеевского типа для компонент
волновой функции позволяет провести численные расчеты в задаче рассеяния.
Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, были доложены на семинаре кафедры квантовой механики физического факультета СПбГУ (ноябрь 1995 г.), на семинарах кафедры мат. физики физического факультета СПбГУ (ноябрь 1995 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-3].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитированной литературы. Общий объем работы — 105 страниц, библиография — 45 наименований.