Введение к работе
Актуальность темы. В настоящей работе рассматривается неклассическое нестационарное дифференциальное уравнеіше четвертого порядка, описьтаающее двумерные нестационарные внутренние волны в "небуссинесковых" (т.е. силыюстратифшшрованных) вращающихся жидкостях. Исследование представляет значительный интерес как с прикладной, так и с теоретической точек зрения, с одной стороны в силу практических приложений рассматриваемых задач к проблемам геофизики, а с другой — в силу актуальности математических исследований уравнений составного типа. Конечно, детальное описание волнового процесса в этих жидкостях требует достаточно развитых математических моделей, весьма сложных, нелинейных, шюгопараметричес-ких, изучение которых эффективно лишь при помощи численных методов. Однако очень часто первоначальное качественное представление об изучаемом круге явлений можно получить и на основе более простых линейных моделей и аналитических методов исследования. Это характерно для задач динамики стратифицированных жидкостей. Даже в рамках линейных моделей их математические постановки весьма своеобразны и приводят К нестандартным начально-краевым задачам. Это определяет, наряду с нетривиальными физическими следствиями, и самостоятельный математический интерес к этим проблемам.
Под стратифицированной жидкостью принято понимать жидкость, физические характеристики которой в невозмущешюм состоянии меняются от точки к точке, в частности, меняются вдоль некоторого направления. Из геофизики известно, что наиболее часто встречающаяся в природе стратификация — плотностная. Используемая в данной работе модель описывает малые движения идеальной несжимаемой враща-
ющейся жидкости, экспоненциально стратифшдаровашіой по плотности вдоль направления действия силы тяжести.
Конечно, требование экспоненциальной стратификации существенно,упрощает рассуждения, поскольку в этом случае уравнение в частных производных:, описывающее движения такой жидкости, оказывается с постоянными коэффициентами. Вместе с тем, с точки зрения математической сложности, это обстоятельство компенсируется достаточно высоким порядком рассматриваемого здесь уравнения. Целью работы является выявление различных физических эффектов, возішкающих в динамике рассматриваемых жидкостей. Для этого было получено явное представление фундаментального решения двумерного уравнения гравитационно-гироскопических воли и на его основе построены явные решения некоторых начально-краевых задач и изучены их свойства.
Возможность такого подхода позволяет отнести рассматриваемый круг проблем к числу задач интенсивно развивающейся в настоящее время математической теории стратифигщрованных жидкостей.
Научная новизна. Работа является дальнейшим развитием исследований, выполненных С.А. Габовым, А.Г. Свешниковым и Ю.Д. Плетнером (физический факультет МГУ, кафедра математики). На основе выдвинутых ими идей и методов впервые в рамках строго математического подхода исследованы нестационарные начально-краевые задачи для полного двумерного уравнения гравитационно-гироскопических волн без приближения Буссинеска.
Практическая ценность. Изучение задач, разрешимых в явном виде, играет важную роль в исследовании любой математической модели физических явлений. Это обусловлено, с одной стороны, тем, что эти задачи являются своего рода "эталонами", позволяющими глубже понять суть изучаемой модели, а также проводить сравнение и оцен-
ку эффективности различных асимптотических и приближенных методов, в частности, численных; с другой стороны, свойства явных решений могут быть изучены в некоторой степени полностью, что позволяет выявить ряд нетривиальных эффектов, ускользающих при более общем рассмотрении.
Полученные здесь результаты могут быть применены для решения задач геофизики, связанных с изучением движений стратифицированных вращающихся жидкостей.
Апробация работы. Результаты работы пеоднократно докладывались на семинаре кафедры математики физического факультета МГУ, а также на семинаре по линейпым и нелинейным уравнениям факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-3].
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав, содержит 113 страниц текста. Список цитируемой литературы включает 67 работ.