Введение к работе
Актуальность темы. Обобщение классических методов построения неравновес ной статистической механики на релятивистский случай встречается с серьёзными трудностями, связанными,' главным образом, с тем, что релятивистские функции Лагранжа или Гамильтона известны только для систем невзаимодействующих частиц. В связи с этим представляется важным рассмотреть возможность построения статистической механики в слаборелятивистском случае, когда учитываются поправки только порядка ОСс1) к классическим уравнениям движения (с-скорость света). В этом приближении, называемом далее постгалилеевыи, проявляются главные специфические черты релятивизма — запаздывание взаимодействия и
вытекающая отсюда неевклидовость естественного фазового пространства. Однако, здесь ещё возможно "квазиклассическое" механическое описание движения в фазовом пространстве со временем і наблюдателя, играющем роль параметра эволюции. В последнее время интерес к постгалилеевой теории весьма возрос. По-видимому, это связано с тем, что практически все реально существующие системы, описание, которых требует учёта релятивистских поправок (электронные пучки, высокотемпературная плазма, звёздные скопления), могут быть с хорошей точностью описаны в рамках этого приближения: для них отношение тепловой энергии к энергии покоя порядка о,оУ-ыО,гтО,ъ,
Первые результаты по этой теме были получены давно, в одно время с созданием специальной теории относительности. За неимением возможности их практического применения и под влиянием уверенности в скором создании точной релятивистской теории к ним сложилось отношение как к более или менее труде-
ёмким упражнениям. Интерес к слаОорелятивистским системам возродился только через полстолетия в связи с исследованиями в области высокотемпературной плазмы и при обобщении метода цепочек Боголюбова на простейшие типы нелокальных взаимодействий. Начала развиваться теория "прямых взаимодействий" как альтернатива "полевому" подходу к описанию динамики релятивистских систем. При этом обнаружилось, что кроме чисто технических трудностей, связанных с громоздкостью выражений для запаздывания взаимодействия, в постгалилеевом приближении возникают проблемы, приводящие к качественным отличиям от классического случая. Центральной из них является принципиальная возможность вырождения якобиана преобразования їїежандра, что приводит к трудностям при выводе уравнения Лиувилля и к необходимости сопоставления результатов, полученных в лагранжевых и гамильтоновых переменных.
исследование связи между лагранжевыми и гамильтоновыми переменными представляет интерес не только само по себе, но и потому, в частности, что свойства некоторых кинетических уравнений различны в этих формализмах. Есть и ещё один аспект, стимулирующий анализ гамильтоновых переменных в постгалилеевом приближении: это возможность перехода к квантовомеханическому описанию. Здесь также выдвигается на первый план проблема, качественно отличная от нерелятивистского случая, а именно проблема квантования. Если обычно этот вопрос носит скорее философский характер (т.к. практически не возникает проблемы в том, как в гамильтониане расставить координаты и импульсы), то в условиях нелокальности взаимодействия он переходит в практическую плоскость.
Сопоставление лагранжева и гамильтонова формализмов может
быть продолжено и на уровне эволюционных уравнений для моментов функций распределения системы в фазовом пространстве (уравнений гидродинамики). Цепочка Боголюбова, являясь инструментом для конструирования кинетических уравнений, приводит в зависимости от способв её обрыва, к различным кинетическим уравнениям, на основе которых строятся уравнения гидродинамики. Если свойства наиболее часто используемых кинетических уравнений весьма детально изучены, то проблема классификации гидродинамических уравнений в зависимости от типа замыкания цепочка и сам их вывод в рамках функциональной гипотезы Боголюбова разработан в гораздо меньшей степени.
Целью данной работы является обоснование использования гамильтоновых переменных в качестве динамической основы для построения квантовой постгалилеевой статистической механики, вывод в рамках гипотезы Боголюбова уравнений гидродинамики для простейших релятивистских систем и анализ возникающих при этом трудностей, а также исследование зависимости эволюционных уравнений квантовых статистических операторов от правила квантования.
Научная новизна и практическая ценность. Доказана теорема о
том, что преобразование Лежандра невырождено почти всюду в фазовом пространстве системы взаимодействующих частиц с регуляри-
зованным потенциалом, причём существует область вблизи границы фазового пространства, где оно строго невырождено. Следствием этого является существование правильной асимптотики у равновесного распределения Гиббса в гамильтоновых переменных. Проведён детальный анализ якобиана преобразования Лежандра для частиц -,( произвольной тензорной валентности и выявлены некоторые типы потенциалов, для которых якобиан заведомо невырожден. Показано,
что независимо от выбора переменных уравнение Лиувилля известно с точностью до множеств лебеговой меры нуль — там, где вырождается преобразование Лежандра. Полученные результаты имеют не только методологическую ценность, но и обосновывают возможность построения постгалилеевой статистической механики в гамильтоновых переменных, что, в свою очередь, позволяет развить соответствующий аппарат для квантовомеханической схемы.
Предложена общая схема вывода уравнений гидродинамики в рамках функциональной гипотезы Боголюбова. Показано, что из цепочки могут быть получены как уравнения вязкой теплопрово-дящей жидкости типа Навье-Стокса, так и уравнения иного типа, с добавками, пропорциональными градиентам гидродинамических переменных, в зависимости от типа замыкания. Б качестве конкретных примеров рассматриваются две системы гидродинамических уравнений в постгалилеевом приближении — на основе уравнений Больцмана и Власова. Эти уравнения могут быть использованы при описании эволюции реальных слаборелятизист-ских систем.
Гамильтонова форма постгалилеевой динамики является основой для формулирования в этом приближении квантовостатисти-ческой схемы. С целью выяснения роли правила квантования был рассмотрен широкий класс квантований (симметричных и несимметричных), в котором связь между классическим символом и матричным элементом соответствующего квантового оператора задаётся линейным интегральным преобразованием. Именно запаздывание взаимодействия позволило вскрыть некоторые новые свойства статистических операторов. В частности, оказалось, что от правила квантования зависят не только квантовые эволюционные уравнения, ( эта зависимость очевидным образом входит туда
7 через проквантованвый запаздывающий потенциал),но и само определение этих операторов содержит указанную зависимость. Последнее обстоятельство нужно иметь в виду и в нерелятивистской теории, когда все квантования, сопоставляющие импульсу оператор градиента,эквивалентны (т.е. при любом квантовании оператор Гамильтона имеет один и тот же вид), но, например, уравнение эволюции функции Вигнера и тогда зависит от правила квантования.
В данной работе уравнение эволюции функции Вигнера выведено для частиц произвольной тензорной валентности и может быть легко обобщено на случай произвольной зависимости функции Гамильтона от координат и импульсов (включая внешнее поле). Получены уравнения эволюции моментов функции Вигнера (квантовая гидродинамика). Рассмотренпереход к неквантовому пределу. Показано, что формальный предельный переход приводит к уравнению Власова для симметричных по импульсу распределений, а в квазиклассическом приближении отличные от нуля члены возникают только при неэрмитовом квантовании. Показано также, что этот предельный переход может быть дополнен ' некоторыми условиями, в частности, следующим: можно потребовать совпадения в неквантовом пределе "гидродинамики по Вигнеру" с системой "власовской гидродинамики". Данные результаты носят, в основном, теоретический характер, касающийся методологии квантовой статистической механики,и позволяют рассмотреть некоторые трудные вопросы квантовой теории под новым углом зрения.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на семинарах отдела №7 ЙПМ им. И.В.Келдыша ШСССР, на семинарах Института теоретической физики Университета Альберты
(Эдмонтон, Канада), на семинарах Отделения теоретической
теоретической физики Университета Сглерно (Салерно, Италия),
на советско-итальянском рабочем совещании Advanced in
Theoleticat Pli}iiC4 (Вьетри суль Маре, Салерно,
Италия, октябрь 1990г.), на ^Международном конгрессе по математической физике (Марсель, Франция, июль 1986г.), на UI советско-итальянском симпозиуме по статистической механике (Коио, Италия, июнь 1987г.), на Jv Международном симпозиуме по избранным проблемам статистической механики (Дубна, СССР, август 1987г.).
По материалам диссертации опубликовано 12 работ. Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, дополнения и списка цитированной литературы из 5~? наименований. Объём диссертации J27 стр., включая оглавление и список литературы.