Введение к работе
-- ;
Диссертация посвящена разработке аналитического аппарата для решения згравнения переноса излучения в спектральных линиях при некогерентноы и анизотропном рассеянии в плоскопараллельных средах.
Актуальность проблемы. Теория переноса излучения изучает явления, сопровождающие прохождение, излучения через вещество. Объектом иатематического исследования в теории переноса является интегро-дифференциальное уравнение переноса.
Уравнение переноса возникает во многих областях, например, при изучении полей нейтронов в реакторах, распространения излучения в атмосферах звезд и планет, переноса электронов в металле, распространения звука и т.п.. Эта родственность различных явлений связана с теы, что все они представляют собой некоторый кинетический процесс, который описывается линеаризованным уравнением Больцмана. Развитие теории в одной из перечисленных областей несомненно находит применение в других и является вкладом в теорию уравнения Больцмана в целом.
Аналитическое исследование даже линеаризованного уравнения Больцмана представляет собой трудную задачу и поэтому привлекло внимание многих математиков.
Одним из актуальных направлений в теории переноса является исследование многократного рассеяния излучения в спектральных линиях. Эта теория лежит в основе понимания линейчатых спектров небесных тел. Несмотря на то, что первые исследования переноса
излучения в линиях возникли в 30-х годах, из-за сложности долгое время эта проблема не получала необходимого развития.
Уравнение переноса излучения в спектральных линиях при двух крайних предположениях о процессе рассеяния, а именно, при когерентном и полностью некогерентном рассеяниях исследовалось достаточно полно, причем различными математическими методами. Эти исследования сыграли значительную роль в понимании процессов переноса в линиях с одной стороны, и математической структуры решения, с другой.
При предположении, именуемом "Частичное перераспределение по частотам" (ЧПЧ), т.е., когда корреляция между рассеянным и поглощенным квантами принимается во внимание, уравнение переноса в спектральных линиях становится более сложным и классические аналитические методы, применяемые в теории переноса, в лучшем случае оказываются громоздкими и не продуктивными.
По-видимому, это и есть одна из причин слишком малого количества работ, посвященных аналитическому исследованию уравнения переноса при учете ЧПЧ.
Актуальность задачи обуславливается необходимостью проведения строгого математического исследования . уравнения переноса излучения в спектральных линиях при ЧПЧ и разработки аналитического метода, позволяющего единым путем получать любую инфорыацию о переносе излучения на произвольной оптической глубине.
В диссертации изучается задача о переносе излучения в однородном некогерентно и анизотропно-рассеивающем плоском слое оптической толщины hbu при предположении о ЧПЧ. В этом случае
5 стационарное уравнение переноса для интенсивности ф имеет вид:
(Ш)Ё1^±*2 = (й(Х)4-р)ф(т,С0,х) -
|<±и'р(ш,х;ш,,х')ф(і;,ш',х')-/(т,ш,х), (I)
» Q где т-оптическая глубина, тей1, п.ш.и'єП , fl-единичная сфера, сїі>--фЛф, (пш)=іі.=ооз-і), |ju= [—1,1J, (pe[o,2it], 0-угол медду направлением распространения излучения и внешней нормалью п к поверхности t=0, х, х'- безразмерные частоты, х, х'е[-со,со], |3-отношение коэффициента поглощения в непрерывном спектре к коэффициенту поглощения в центре линии, (3=oonst,' 0<р<1, е-альбедо однократного рассеяния, c=oonst, ске<1, функция рассеяния р(ы,х,ш',х') представляет собой произведение
индикатрисы рассеяния g(ojw') на функцию перераспределения по
/ т / г
частотам (ФП) г(х,х',шш'), оы'гсовтя^ц'+У 1-цУ1-ц' оов(ф-ф'),
1 '* ft(x)=j^- sAn' /т(х,х',шш')dx' -профиль коэффициента поглощения,
г?(х)-непрерывная убывающая функция |х|.
Предполагается, что функция рассеяния р(ц,х,<р;р.',х',<р') аппроксимируется конечной суммой
р(ц,х,ф;ц\х\ср')=Е Е Е аф <ц,х)ф ((Х'.хЧсоЕшЦф-ф'),
т =On=01= т
где ф'г>'1(ц,х)-ограниченные на [-1,1 Ы-<ю,со) функции, а^=Тг,РГьг,1
n!^ it ^ (і +т)! г-і
Р, (ц.) -полиномы Лежандра, n+i=2k, k=o,1,..., i^n, а"о=1/2х, Ь =1 , o.b , -.1 , при n,i>o.
uu ' г. I г '
Введя оператор А соотношением
Аф = Ь{*,+Рр{1,ы,х) - ^т /<іс'/сіш'р(ш,х;ш',х')ф(і:,ш',х'),
** ""-Oj ft
придаєм (1) вид дифференциально-операторного уравнения:
-3^ = ^- J"/- (2)
Граничные условия задаются следующим образом
+ (3)
(|)<1г,ц,х,ф)Ц, ц>0.
При таком представлении уравнение переноса становится абстрактным дифференциально-операторным уравнением в некотором подходящем пространстве. Решение уравнения (2)-(3) можно представить через оператор экспоненту erp(t4), порождаемую оператором А. Однако граничные условия (з) задаются только на части граничного множества и поэтому разрешимость задачи зависит от существования так называемых операторов отражения и пропускания, которые сопоставляют заданным граничным значениям их полное значение. Доказательство существования и нахождение явного вида этих операторов, построение операторного исчисления для функций от А, представление решений уравнения переноса через оператор-экспоненту ехр{%А) и оператор-функцию Грина будут главной задачей диссертации.
Целью диссертации является разработка аналитического аппарата для решения уравнения переноса излучения в спектральных линиях, основанного на современных методах теории дифференциально-операторных уравнений с привлечением спектральной теории неограниченных несамосопряженных операторов.
Научная новизна. В диссертации построены разложение единицы и операторное исчисление для неограниченного несамосоп-
ряженнного плотно определенного оператора Л. Доказано существование оператора Ph (в случаях h=<» и ъ.<а>) сопоставляющего заданным при (х- О или \х>0 граничным значениям их полное значение на границе. Найден явный вид оператора отражения при Ьчо, операторов отражения и пропускания при hv.a> в случае спектральной линии. Решения однородного и неоднородного уравнений в случаях полубесконечного и конечного слоев представлеїш в операторной форме. При помощи этих формул и операторного исчисления вычислен явный аналитический вид решения однородного уравнения в полубесконечноы слое. Введены новые, полиномы л"' (v), обобщенные на случай спектральных линий. Для них получены рекуррентные соотношения и соотношение ортогональности.
Теоретическая ценность работы:
разработан аналитический аппарат решения граничный задачи для уравнения переноса излучения в спектральных линиях, основанный на теории дифференциально-операторных уравнений с неограниченным несамосопряженным оператором, который позволяет установить структуру решения; в райках .предпосылок, сделанных при анализе оператора А, метод может быть использован и в цругих задачах теории переноса с учетом энергетической зависимости.
Практическая ценнссть работы;
полученные результаты могут пригодиться для расчета выходящего излучения из среды при произвольном падающем излучении, цветового режима на любой оптической глубине при сложной структуре первичных источников в различных астрофизических объектах. Остановленная аналитическая структура решения может служить
основой выбора базисных функций в приближенных методах решения задач с ЧПЧ; наконец решения могут быть использованы как тесты для численных расчетов в задачах с произвольной оптической толщиной.
Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на конференции молодых ученых (Баку, 1986 г.), на теоретическом сешшаре "Численные методы решения уравнения переноса" (Тарту, 1988 г.), на семинарах АГУ, Астросовета , ИПМ им. М.В. Келдыша РАН , Института вычислительной математики РАН , МИФИ, а также неоднократно - на семинарах ШАО им. Н. Туей Азербайджанской АН.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из Введения, четырех глав, Заключения, списка цитируемой литературы (91 наименование) и трех приложений; содержит 115 страниц машинописного текста.