Операторные оценки погрешности в задачах усреднения дифференциальных операторов с периодическими коэффициентами Мешкова Юлия Михайловна

Введение к работе

Актуальность темы. Работа относится к теории усреднения (гомогенизации) периодических дифференциальных операторов (ДО). Такие операторы возникают при описании физических процессов в сильно неоднородных средах, например, процесса распространения тепла в композите. Теории усреднения посвящена обширная литература. Укажем в первую очередь книги [,,.

Пусть Г — решетка в R^d, 1 — ячейка решетки Г. Для Г-периодических функций в R^d используем обозначения ф^є('х.) := ф(~х/є), ф := П|^-1 Г -і/)(х) (іх. Пример задачи усреднения — скалярное эллиптическое уравнение

-div#^e(x)Vw_e(x) + м_є(х) = F(x), х Є R^d, є > О,

где d, ограниченная и положительно определенная, F Є L2(R^d); типичный вопрос — как ведет себя решение и_Е при є —> 0. Классический качественный результат — существование предела решений: hi- lim и_є = uq. Эффект усреднения состоит в том,

что функция мо является решением задачи того же вида, но с постоянной эффективной матрицей д:

-div#Vw₀(x)+w₀(x) = F(x), xR^d.

Иными словами, с макроскопической точки зрения физические процессы в средах с быстро меняющимися характеристиками протекают как в однородной эффективной среде. Нас интересуют количественные результаты. „Классика" в гомогенизации — оценка вида \\и_є — wo||l₂(k^) ^ C{F)e. Здесь C(F) — постоянная, зависящая от решетки периодов, матрицы коэффициентов и правой части F.

В работах [, М. Ш. Бирман и Т. А. Суслина развили теоретико-операторный (спектральный) подход к задачам теории усреднения. В [ изучались матричные сильно эллиптические операторы вида

А_е = 6(D)V(x)6(D), (1)

действующие в L2(R^d;Cⁿ). Здесь 6(D) — матричный однородный ДО первого порядка. Пусть и_є — решение системы

HD) V(x)6(D)u_e(x) + и_є(х) = F(x), х є R^d,

F є L₂(R^d;Cⁿ). В [] было показано, что

||и_є - иоНь^.о) < C%||F||_L2(Rd_;(>). (2)

Здесь Uo — решение соответствующей эффективной задачи

HD) Vb(D)u₀(x) + uo(x) = F(x), х є R^d, З

с постоянной положительной эффективной матрицей д . В силу произвольности F оценка () означает, что при є —> 0 резольвента (А_є+І)^¹ сходится по операторной норме в L2(K^d;Cⁿ) к резольвенте эффективного оператора А⁰ = b(D)*g%(D):

\\(A_e + I)-¹-(A⁰+I)-¹\\_L2^._cn)^_L2^._cn)^Ce. (3)

В [ была получена аппроксимация резольвенты (А_є + /)^-1 по норме операторов, действующих из L2(M^d;Cⁿ) в класс Соболева H¹(M.^d;Cⁿ):

\\(А_Е +1)-¹ - (А⁰ + I)-¹ - eK{e)\\_L2{Kd._Cn)^_m{Kd._Cn) < Се. (4)

В этой аппроксимации учтен корректор К (є). Оператор К(е) содержит быстро осциллирующие множители, а потому зависит от е. При этом

ц_єедіи₂^_яі = о(і).

Оценки (), () точны по порядку. Постоянные в оценках контролируются явно в терминах данных задачи. Подобные результаты получили название операторных оценок погрешности в теории усреднения. Метод работ [, основан на применении масштабного преобразования, теории Флоке-Блоха и аналитической теории возмущений.

Разумеется, спектральный метод применялся к задачам усреднения до работ М. Ш. Бирмана и Т. А. Суслиной, см. [10,. Основное продвижение в [, состоит в том, что рассматривается система уравнений. Это вносит дополнительные трудности в построение теории возмущений.

Впоследствии спектральный метод был распространен Т. А. Суслиной [ на случай оператора

В_Е = 6(D)V(x)6(D) + ]Г (а%(хЩ + ЭД(х))* ) + Q^e(x) + AQ(x), (5)

j=i

действующего в L2(M^d;Cⁿ). Здесь оДх), j = l,...,d, и Q(x) — Г-периодические матрицы-функции, вообще говоря, неограниченные, Q(x) эрмитова, Qo(x) — Г-периодическая матрица-функция, положительно определенная, ограниченная и ограниченно обратимая. Вещественная постоянная А выбрана так, чтобы оператор В_е был положительно определен. В [ установлены аналоги оценок () и (:

\\^В7 - (^В )~ IIl₂(R^;C")^L₂(R^;C") < Сє, (6)

ЦВ-¹ - (В⁰)-¹ - є1С(є)\\_Ь2тсп)^_ні_тсп) < Се. (7)

Здесь В⁰ — эффективный оператор с постоянными коэффициентами.

К параболическим системам спектральный метод применялся в работах Т. А. Суслиной [,, где были установлены оценки:

\\е~^А'^г - e-^A0t\\_L2{Rd._Cn)^_L2{Rd._Cn) < Ce(t + е²)-¹'², t > 0, (8)

\\e-^A^ - е-^АЧ - e)C(t;e)\\_L2{Kd._cn)^_H4Kd._cn) < СєЦ-^+і-¹), t > є².

(9) 4

Экспонента от оператора () изучалась в работе Ю. М. Мешковой [. где установлены аналоги неравенств ( и (.

Другой подход к получению операторных оценок погрешности был предложен В. В. Жиковым и развит им совместно с С. Е. Пастуховой. В работах [- были получены оценки вида (, ( для операторов акустики и теории упругости. Метод, названный авторами „модифицированным методом первого приближения" или „методом сдвига", основан на анализе первого приближения к решению. Важную техническую роль играет использование сглаживания по Стеклову. К параболическим уравнениям метод сдвига применялся в работе [, где установлены аналоги оценок () и (). Дальнейшие результаты В. В. Жикова и С. Е. Пастуховой отражены в обзоре [.

Помимо задач в R^d в работах [- изучались задачи усреднения в ограниченной области О С K^d. Для операторов акустики и упругости при условии Дирихле либо Неймана на границе в [- была получена {hi ~~^ -Н^)-аппроксимация при учете корректора с оценкой погрешности порядка 0(є¹'²). В качестве грубого следствия было установлено неравенство \\А₀^г_е - (A^)"¹||_L2(_0;Cr_l)^_L2(0._c„₎ < Сє¹/². Близкие результаты для оператора —div(;^e(x)V в ограниченной области О С К при условии Дирихле либо Неймана на дО были установлены Ж. Гризо [, с помощью „unfolding''-метода. В [ впервые была получена точная по порядку оценка

U~d,_e - (КГЧЫО^^ЫО;^) < СЄ. (10)

Для эллиптических систем сходные результаты независимо получены в [ и [,23]. Дальнейшие продвижения и подробный обзор можно найти в [.

В присутствии младших членов задача усреднения для оператора () в R^d изучалась в статье Д. И. Борисова [. Было найдено выражение для эффективного оператора В⁰ и получены оценки вида (), (). Предполагалось, что коэффициенты оператора локально периодические и достаточно гладкие. Отметим также недавнюю работу С. Е. Пастуховой и Р. Н. Тихомирова [, рассматривавших несамосопряженное дивергентное эллиптическое уравнение второго порядка общего вида.

До сих пор речь шла об аппроксимации резольвенты в фиксированной регулярной точке. Аппроксимация резольвенты (А_є — С?)^-1 оператора () в зависимости от є и спектрального параметра С Є С \ R₊ найдена Т. А. Суслиной [. В этой работе также получены двухпараметрические (относительно и() оценки погрешности при усреднении резольвент операторов Ad_j и Адг_є вида (), действующих в ограниченной области при условии Дирихле либо Неймана на границе. Стимулом к получению таких оценок послужило представление еГ^А'^єі = — ^ Г е~^(Ао,_є — СГ)^-1 d(, где 7 С С — контур, обходящий спектр оператора Аи_є ^в положительном направлении. Это представление позволяет выводить параболические результаты усреднения из эллиптических.

Целью диссертационной работы является получение операторных оценок погрешности при усреднении эллиптических и параболических задач в ограниченной области при условии Дирихле на границе для самосопряженного матричного сильно эллиптического дифференциального оператора второго порядка вида ().

Постановка задачи. Пусть О С K^d — ограниченная область с границей класса С¹'¹. Мы изучаем самосопряженный матричный сильно эллиптический ДО второго порядка В о,є, 0 < є ^ 1. действующий в пространстве L^O^C¹) при условии Дирихле на границе. Формально оператор B_d, задан дифференциальным выражением (), где все матричные коэффициенты имеют, вообще говоря, комплексные элементы. Предполагается что Г-периодическая [т х т)-матрица-функция 0, _1 Є Ь^; &(D) — матричный дифференциальный оператор с символом Ь() = 5^₁₌i ^jj> ^гД^е bj — постоянные (m х п)-матрицы. Считаем, что m ^ пи что rank Ь() = п. О у^ Є K^d. Наложенное на Ь() условие равносильно существованию таких постоянных 0 < «о ^ «і < оо, что «о In ^ b(0)*b(0) ^ «Дп, 0 Є S^d_1. Сделанные предположения обеспечивают сильную эллиптичность оператора До _є. Предполагается, что Г-периодические (п х п)-матрицы-функции dj(x), j = l,...,d, и <5(х) таковы, что

a,j Є L_p(Cl), р = 2 при d = 1, р > d при d ^ 2; j = 1,... ,d; (11)

Q Є L_s(0), в = 1при<і=1, s > d/2 при 2; (12)

причем <5(x) — эрмитова; Г-периодическая (n хп)-матрица-функция Qo(x) подчинена условиям Qo(x) > 0 и Qo, Qo Є Ьоо- Вещественная постоянная Л выбрана так, чтобы оператор B]j_E был положительно определен. Строгое определение оператора дается через соответствующую квадратичную форму на классе Соболева i7g(0;Cⁿ). Для удобства дальнейших ссылок назовем данными задачи следующий набор величин

d,m,n,p,s; а₀, а_ь \\g\\_L, Hs^lU^, ІДІІьдп),3 = 1, Д II<3I|l_s(si), IIQoIUoo, ||Qo"1||l«>; |A|; параметры решетки Г.

Задачи, поставленные в ходе диссертационного исследования:

1. Изучить поведение обобщенной резольвенты оператора В_е, действующего в L2(K^d;Cⁿ) и заданного дифференциальным выражением (). Найти аппроксимации оператора (В_є — CQo)^^{1 с} двухпараметрическими (относительно малого периода є и спектрального параметра С) оценками погрешности.

2. Получить аппроксимации оператора (Вд,_є— CQo)^¹ с двухпараметрическими оценками погрешности.

3. Аппроксимировать полугруппу е~^іВ-^є, t > 0.

Научная новизна. Все результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми. Ранее аналоги результатов глав 1 и 2 были известны для резольвенты оператора А_є, не включающего младших членов. Результаты главы 3 совершенно новые. Ранее операторных оценок погрешности при усреднении параболических задач в ограниченной области известно не было.

Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Результаты представляют интерес для специалистов по теории усреднения. Установленные в диссертационной работе результаты могут быть использованы при изучении физических задач в сильно неоднородных средах. В качестве примеров рассмотрены скалярный эллиптический оператор (оператор акустики) и периодический магнитный оператор Шрёдингера с сильно сингулярным электрическим потенциалом. Продвижения в усреднении эллиптических задач в зависимости от спектрального параметра нашли дальнейшие применения к изучению гиперболических задач в работе соискателя [МЗ].

Методология и методы исследования. В первой главе применяется теоретико-операторный (спектральный) подход к задачам усреднения. развитый в работах М. Ш. Бирмана и Т. А. Суслиной. Этот метод состоит в применении масштабного преобразования, теории Флоке-Блоха и аналитической теории возмущений.

Во второй главе результаты для оператора, действующего в ограниченной области, получены на основании результатов главы 1 с помощью рассмотрения ассоциированной задачи в R^d, введения и тщательного анализа поправки типа пограничного слоя. Основные трудности связаны с оцениванием интегралов по узкой окрестности границы области.

В третьей главе аппроксимации для операторной экспоненты выводятся из эллиптических результатов главы 2 с помощью обратного преобразования Лапласа.

Положения, выносимые на защиту:

4. Для обобщенной резольвенты самосопряженного матричного сильно эллиптического оператора второго порядка В_е, действующего в hi(R^d;Cⁿ), получены аппроксимации по {hi —> hi)- и {hi —> Н¹)-операторным нормам с двухпараметрическими (относительно малого периода и спектрального параметра) оценками погрешности. Оценки имеют точный порядок О (є) (при фиксированном значении спектрального параметра).

5. Для оператора До _є, действующего в ограниченной области при условии Дирихле на границе, получены аппроксимации обобщенной резольвенты с двухпараметрическими оценками погрешности.

При этом оценка погрешности по [hi —ї Ь2)-норме имеет точный порядок О (є), а оценка погрешности по [hi —> і7¹)-норме имеет порядок 0(є¹'²). Ухудшение порядка по сравнению с аналогичным результатом в R^d объясняется влиянием границы области. 3. Для полугруппы е~^в-^єі, t > О, получены аппроксимации по [Li2 —> L2)- и {L/2 —> Н )-операторным нормам.

Степень достоверности и апробация. Достоверность результатов обеспечивается строгими математическими доказательствами. Основные результаты диссертации были представлены на 14 международных конференциях, а также на 7 научных семинарах: международная конференция „Дни дифракции 2015" (Санкт-Петербург, Россия, 25-29 мая 2015); международная конференция „Asymptotic Problems: Elliptic and Parabolic Issues" (Вильнюс, Литва, 1-5 июня 2015); пятая международная конференция „Multiscale Modeling and Methods: Upscaling in Engineering and Medicine" (Москва, Россия, 25-27 июня 2015); международная конференция „КРОМШ-2015" (Батилиман, Россия, 17-29 сентября 2015); международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, Россия, 8-12 июля 2016); трехсторонняя германо-российско-украинская летняя школа „Spectral Theory, Differential Equations and Probability" (Майнц, Германия, 4-15 сентября 2016); международная конференция „КРОМШ-2016" (Батилиман, Россия, 17-29 сентября 2016); рождественские встречи с Пьером Делинем (Москва, Россия, 4-6 января 2017); международная конференция по дифференциальным уравнениям — Silkroad Mathematics Center series international conferences (Пекин, Китай, 10-21 апреля 2017); международная конференция „Современные методы и проблемы гармонического анализа и теории операторов и их приложения VII" (Ростов-на-Дону, Россия, 23-28 апреля 2017); международная конференция „Дни дифракции 2017" (Санкт-Петербург, Россия, 19-23 июня 2017); Инсубрийская летняя школа по математической физике „Spectral and scattering theory: from selfadjoint operators to boundary value problems" (Комо, Италия, 18-22 сентября 2017); симпозиум молодых ученых (Монреаль, Канада, 20-21 июля 2018); летняя школа „Inverse and Spectral Problems for (Non)-Local Operators" (Лейпциг, Германия, 10-14 сентября 2018); семинар по математической физике им. В. И. Смирнова (Санкт-Петербург, Россия, 24 ноября 2014); Санкт-Петербургский семинар по динамике (Санкт-Петербург, Россия, 10 октября 2016); семинар кафедры Высшей математики и математической физики (Санкт-Петербург, Россия, 19 октября 2016); исследовательский семинар „Асимптотики. операторы и функционалы" (Бат, Великобритания, 31 октября 2016); семинар по математической физике и гармоническому анализу (Колледж Стейшн, Техас, США, 17 ноября 2016); семинар по численному анализу и

научным вычислениям (Безансон, Франция, 4 мая 2017); Бэйлорский аналитический семинар (Бэйлор, Техас, США, 25 апреля 2018).

Личный вклад. Основные результаты диссертации получены в совместных с Т. А. Суслиной работах. Определяющий вклад в эти работы принадлежит диссертанту.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в пяти совместных с Т. А. Суслиной работах [MSul,MSu5]. Более развернутое изложение части результатов из [ доступно в препринте [. Также по теории усреднения автором опубликованы статья [ и препринты [-. Однако материал работ [- выходит за рамки диссертационного исследования.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения. трех глав и заключения. Полный объем диссертации 148 страниц текста. Список литературы содержит 70 наименований.