Введение к работе
Актуальность темы.
Разработка и усовершенствование методов решения обратных задач математической физики тесно связаны с развитием современных технолог гий. В частности, при исследовании тепловых процессов в электрических контактах возникают задачи типа задачи Стефана, в которых область существования одной из фаз (жидкой) стягивается в точку в начальный момент времени. Это обстоятельство и определяет основные трудности при численном моделировании процесса фазовых превращений при малых временах. Величина эрозии контакта в конечном итоге определяется размером области жидкой фазы и зависит от свойств материала, характеристик дуги и теплового потока, поступающего в электрод. Она является результатом сложных физических процессов, связанных с ионной бомбардировкой катода, термоавтоэлектронной эмиссией, эмиссией обратных электронов, лучистым теплообменом, процессами испарения и др. Определение теплового потока в электрод в процессе его теплообмена с дугой представляет собой одну из наиболее важных проблем в теории электрических контактов, так как ее решение дает возможность оценить надежность и ресурс работы злектроконтактной системы.
Сложность и многообразие лриэлектродных процессов значительно усложняет теоретическое определение величины теплового потока, а экспериментальные методы могут дать лишь результирующее значение, получаемое, например, калориметрическим способом. При этом основные механизмы его генерации остаются в тени, а величина потока может варьироваться в довольно широком диапазоне, и ее трудно прогнозировать для различных ситуаций.
В связи с этим представляет интерес рассмотрение обратной задачи для определения величины теплового потока на поверхности теплопроводного тела с учетом фазового превращения вещества по измерениям нестационарной температуры внутри тела, в частности, по определениям положения фазовой границы, температура на которой предполагается известной.
Цель работы.
Основной целью работы является исследование существования и единственности решения обратной задачи типа задачи Стефана, возникающей при моделировании процессов тепло и- массообмена с наличием фазовых превращений для области, вырождающейся в начальный момент времени, и разработка алгоритма ее численного решения при малых зна-
чениях времени.
Научная новизна.
В отличие от известных работ, обзор которых можно найти в работе Алифанова О.М. и др.,1 в настоящей работе предполагается отсутствие жидкой фазы в начальный момент времени, т.е. область ее существования вырождается в точку. Показано, что разрешимость такой задачи тесно связана с решением прямой задачи подобного типа и зависит от некоторых условий согласования начальных и граничных условий, а также закона движения границы.
Доказана единственность минимизирующей функции для функционала, к которому сводится решение обратной задачи и предложен метод решения, представляющий сочетание асимптотического и численного методов.
В классе аналитических функций получено точное решение задачи для автомодельного закона движения границы расплава.
Практическая ценность.
Результаты диссертации могут быть использованы при моделировании и численных расчетах процессов, сопровождающихся фазовыми превращениями вещества при воздействии высоконцентрированного источника тепла, в частности при коммутации электрических контактов.
На защиту выносится:
доказательство существования решения обратной задачи тина Стефана для области, вырождающейся в начальный момент времени;
доказательство строгой выпуклости минимизируемого функционала и тем самым, единственности решения обратной задачи;
модифицированный алгоритм численного решения обратной задачи, отличающийся сочетанием асимптотических (при t —* 0) и численных методов решения (при і > to > 0)-
точное решение задачи в классе аналитических функций, для автомодельного движения границы фазового перехода.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на Межвузовской конференции в г. Алматы в 1989 г., на Всесоюзной конференции по "Условно-корректным задачам математической физики и анализа" в 1989 г., на Всесоюзном семинаре по дуговым и приэлектродным процессам в электрических аппаратах и плазмотронах в г. Улан-Удэ в 1991 г., на международной конференции ISECTA'93, г.Алматы, 1993 г.
'Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев СВ. Экстремальные методы решения некорректных задач. - М. : Науха, 1988. - 285 с.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1] - [5], приведенных в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заключения. Общий объем работы равен 106 страницам, включая список литературы из 63 наименований.