О волновых движениях стратифицированнойвращающейся жидкости, возбуждаемых движущимися источниками Перова, Лада Викторовна

Введение к работе

Настоящая работа посвящена исследованию начально-краевых задач для уравнений составного типа, описывающих нестационарные внутренние волны во вращающихся и стратифицированных жидкостях. В настоящее время в связи с ежедневно увеличивающимися потребностями таких прикладных наук, как геофизика, океанология, физика атмосферы, плазмодинамика и рядом других проблем возрос интерес к изучению динамических характеристик различных неоднородных и, в том числе, стратифицированных и вращающихся жидкостей.

Конечно, для детального описания волновых процессов в жидкостях, обладающих специфическими свойствами, требуются достаточно развитые математические модели, зачастую нелинейные, многопараметрические, которые доступны эффективному исследованию лишь с привлечением численных методов. Однако часто первоначальное качественное представление об изучаемом круге явлений можно получить на основе более простых линейных моделей и аналитических методов исследований. Это оказалось характерным для задач динамики вращающихся стратифицированных жидкостей. Даже в рамках линейных моделей их математические постановки весьма своеобразны и приводят к нестандартным начально-краевым задачам, что определяет наряду с нетривиальными физическими следствиями и самостоятельный математический интерес к этим проблемам.

В изучении динамики внутренних волн существует в настоящее время два принципиально различных подхода. Первый из них связан с непосредственным рассмотрением векторной' системы уравнений гидродинамики, второй подход основан на ее редукции на основе потенциальной функции к одному скалярному уравнению и последующему изучению для него начально-краевых задач. В настоящем исследовании используется вторая возможность сведения системы к уравнению составного типа четвертого порядка, аналогичному известному уравнению Соболева. Отметим, что еще один из способов, близкий ко второму методу из отмеченных выше подходов был предложен С. А. Габовым и

заключается в рассмотрении специфической системы двух скалярных уравнений:

Начало'изучения неклассических уравнений математической физики в применении к вопросам гидродинамики восходит к классическим трудам Love,^: Lamb, Gortler. Однако историю строгих исследований следует, по-видимому, отнести к основополагающей работе С. Л. Соболева «Об одной новой задаче математической физики», где был представлен вывод уравнения малых колебаний однородной вращающейся жидкости. Исследования в этом направлении были продолжены Р. А. Александряном, В. Н. Масленниковой, С. А. Гальперном и другими. - . ,

Позднее было замечено, что между внутренними волнами, распространяющимися во⁴ вращающихся и в стратифицированных жидкостях, существует аналогия, проявляющаяся в математическом плане в общности уравнений, описывающих эти процессы. Систематические исследования этого вопроса можно найти в монографиях С. А. Габова и А. Г. Свешникова'. Следует однако отметить, что, несмотря на тесную связь с задачами теории вращающейся жидкости, динамика внутренних волн в среде со стратификацией изучена значительно слабее.

Одним из важных частных случаев уравнения внутренних гравитационно-гироскопических волн является приближение Буссинеска, отражающее с физической точки зрения предположение о слабой стратификации жидкости. Эта математическая модель, в определенном смысле, может считаться полностью изученной. С другой стороны, существенно большее поле для исследований оставляет за_: собой полное уравнение внутренних волн, возникающее при обсуждении длинных волн или волн в сильно стратифицированных жидкостях. При этом оказывается, что учет «небуссинесковских» членов приводит, в конечном счете, НС только к внесению некоторых уточнений в волновую картину, но и к выявлению важных качественно новых эффектов, таких, например, как явление квазифронта, в связи с чем рассмотрение .полных уравнений

¹ 1. С. А. Габов , А.. Г. Свешников «Задачи динамики стратифицированных жидкостей» М.: Наука, 1986. 2. С. А. Габов , А- Г. Свешников «Линейные задачи теории нестационарных внутренних волн» М.: Наука, 1990.

динамики стратифицированной жидкости также представляется интересным.

Одним из наиболее плодотворных методов исследования граничных задач является метод потенциалов, позволяющий свести изучение дифференциальной : задачи к ..исследованию. соответствующего интегрального уравнения. .Замечательно, что он применим не только к стационарным задачам, но и к задачам эволюционного типа, то есть к начально-краевым задачам, В частности, для изучения уравнений типа Соболева потребовалось построение так называемых динамических потенциалов, которые являются _:: аналогами классических объемного потенциала и потенциалов простого и двойного слоя. Теория динамических потенциалов для уравнений гравитационно-гироскопических волн в приближении Буссинеска была разработана С. А. Габовым и А. Г. Свешниковым. Отметим, что С. А. Габовым были построены динамические логарифмический и угловой потенциалы - аналоги соответствующих двумерных потенциалов для уравнения Лапласа.

Практическая ценность. Практическая ценность получешидх'

результатов, связанная со значительным интересом в современных научных исследованиях к простым модельным задачам, обусловлена возможностью получения решения в явном виде, что важно при составлении первоначальных качественных представлений об изучаемом круге явлений и попытке дать теоретическое описание ряда нетривиальных физических эффектов. Они нередко выявляются при получении явного представления решений и ускользают при общем рассмотрении, что, в свою очередь, стимулирует и ориентирует направление ведения последних С другой стороны, эти задачи выступают в роли своего рода «эталонов», позволяющих проводить сравнения и оценку эффективности различных асимптотических и приближенных методов,, в частности, численных.

Помимо этого, математический аппарат, разработанный для изучения уравнений составного типа, оказался достаточно универсальным и применимым для изучения начально-краевых задач в научных областях, отличных от гидродинамики_: стратифицированных и вращающихся

жидкостей; в частности ионно-звуковые волны в незамагниченнои плазме и электромагнитные волны в длинных линиях передач с распределенными параметрами описываются неклассическими дифференциальными уравнениями, родственными уравнению Соболева.

Научная новизна В настоящей работе продолжаются исследования нестационарных задач динамики колебаний стратифицированной и вращающейся жидкости, возбуждаемых краевым режимом, задаваемым на плоском дне, причем новым является то, что в граничном условии в постановке задач берется модельное распределение нормальной составляющей скорости в виде бегущей по дну периодической волны. Таким образом, изучаемые задачи являются простейшим случаем задач о движущихся источниках во вращающихся и стратифицированных жидкостях. Заметим, что существенным аспектом исследования является возможность рассматривать общий случай произвольной ориентации дна. Нестационарность задач позволяет проследить за временной эволюцией модели.

В предыдущих исследованиях С. А. Габова и А. Г. Свешникова большое внимание уделялось вопросу существования режима установившихся колебаний в случае, когда неподвижный объект, вызьгеающий возмущение в жидкости, после истечения переходного периода начинал совершать гармонические колебания заданной частоты. В данной работе о движущемся источнике также рассматривается стабилизация решения, и по-прежнему весьма интересным остается изучение волновой картины, складывающейся при больших временах.

Цель работы.

1. Исследование модельных начально-краевых задач для уравнений типа Соболева, допускающих получение явного аналитического решения, в случае задания граничного условия в виде бегущей по горизонтальному дну плоской волны.

2. Использование динамических потенциалов для уравнения двумерных внутренних волн в приближении Буссинеска для построения и изучения с их помощью решения начально-краевой задачи о возбуждении

гравитационно-гироскопических волн краевым режимом в виде плоской периодической волны, бегущей по' дну произвольной ориентации по отношению к оси вращения и направлению стратификации.

3. Исследование асимптотического поведения полученных решений выше перечисленных задач при больших временах и попытка дать их физическую интерпретацию.

Адробация работы. Основные результаты опубликованы в работах 1-3 и доложены на научных семинарах кафедры математики физического ф-та МГУ и научном семинаре НИВЦ МГУ.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы, включающего 93 наименования. Объем текста - 133 страницы.