Введение к работе
Актуальность темы. Системы линейных операторов, удовлетворяющие некоторым соотношениям коммутации, возникают во многих разделах современной математической физики. Широкий класс таких систем сводится к системам, в которых фигурирует пара сопряжённых друг другу операторов и, возможно,.некоторый самосопряженный оператор. Причём эти операторы удовлетворяют соотношениям коммутации определённого вида.
В последнее время различные частные случаи и классы таких систем рассматривались во многих работах математиков и физикой в связи с различными физическими проблемами. В работах некоторых авторов такие системы называются квантоьыми алгебрами. Помимо хорошо известных соотношений коммутации, таких как алгебра Гсйзенб^рга и ее q-деформация, алгебра SU(2), фермионные соотношения, в некоторых последних работах рассматривались некоторые нелинейные соотношения коммутации. Одним из приложений описанных выше соотношений коммутации является исследование спектра гамильтонианов различных квантовы/. систем. В частности, использование подходящих соотношений коммутации позволяег записать квантовый гамильтониан ц терминах операторов рождения-уничтожения и числа частиц, что часто упрощает исследование его спектра.
В кинетической теории газов с тридцатых годов этот столетия используется уравнение Улинга-Уленбека, которое также называют квантовым уравнением Больцмана. Ото уравнение используется для описания газа квантовых частин, подчиняющихся той или иной статистике, а также для описания смеси таких
газов, причем разные компоненты смеси могут подчинятся раз личным статистикам. Тип статистки определяет вид интеграл.і столкновений, которым описывается взаимодействие между за стидами в этом уравнении. Уравнение Улинга-Улепбска можно рассматривать и в случае, когда частицы подчиняются соотношениям коммутации, которые являются линейной деформацией алгебры Гейзенберга. Свойства уравнения Улинга-Уленбека сильно зависят от типа статистики, которой подчиняются частицы.
Уравнение Улинга-Уленбека допускает обобщение и на случай соотношений коммутации, отличных от бозонных и фермионных.
О связи с этим возникают следующие проблемы.
-
Найти вид допускаіоідих неприводимые представления соотношений коммутации, в которых фигурирует пара операторов рождения и уничтожения частиц, а также, возможно, оператор числа частиц.
-
Най';и вес тины неприводимых представлений, которые возможны для таких общих соотношений коммутации, а также указать способ их построения.
При анализе квантовых систем всегда возникает необходимость исследовать спектр описывающего эту систему квантового гамильтониана. В частности, часто возникает вопрос о том, обладает ли данный квантовый гамильтониан вакуумом. Под наличием вакуума у квантового гамильтониана имеется ввиду то, что он нолуограничен снизу и его точечный спектр содержит свою нижнюю грань.
При исследовании спектра квантового гамильтониана важную [юль играют законы сохранения, зависящие от операторов числа частиц. Наличие достаточного числа таких законов сохранения может обеспечить наличие у гамильтониана инвариантных подпространств конечной размерности, что упрощает исследование его спектра. Поэтому отыскшше критерия наличия у квантового гамильтониана общего вида таких законов сохранения и способа их нахождения представляет определенный интерес. Состояние вопроса. В работе рассматриваются неприводимые представления соотношений коммутации, в которых фигурируют операторы рождения и уничтожения и, возможно, оператор числа частиц. Все рассматривавшиеся до настоящего времени соотношения коммутации, в которых фигурируют эти операторы, являются частными случаями рассмотренных в работе соотношений. Известные ранее неприводимые представления рассматривавшихся до сих пор таких соотношений коммутации можно разбить на два типа. Ути типы можно условно назвать бозонпым и фермиошшм в том смысле,, что в неприводимых представлениях бозонного типа ядро оператора рождения нулевое и ядро оператора уничтожения одномерно, а в неприводимых представлениях фермионного типа ядра обоих этих операторов одномерны. В работе показано, что рассматриваемые в ней общие соотношения коммутации могут иметь неприводимые представления, отличные от бозонных и фермионных.
При исследовании спектра квантовых гамильтонианов, записанных в терминах конечного числа сортов операторов рождения - уничтожения и операторов числа частиц, которые связаны между собой некоторыми соотношениями коммутации, большую
роль играет наличие у гамильтониана законов сохранения, которые представимы в виде функции от операторов числа частиц. Наличие таких законов сохранения может означать, что соответствующее пространство Фока, в котором действует гамильтониан, представимо в виде прямой суммы инвариантных подпространств гамильтониана конечной размерности. Такие гамильтонианы естественно назвать обобщенной моделью Ли, поскольку их свойства аналогичны свойствам модели Ли.
Для указанных выше гамильтонианов в работе вводится аналог виковскои или нормальной формы записи, и изучается ранее не рассматривавшийся вопрос о нахождении всех законов сохранения, нредставимых в виде функции от операторов числа частиц, а также всех инвариантных подпространств, соответствующих этим законам сохранения.
До сих пор был известен только критерий наличия линейных по операторам числа частиц законов сохранения для гамильтонианов, которые имеют вид полинома от операторов рождения и уничтожения в случае, когда эти операторы удовлетворяют бозонным соотношениям коммутации.
Цель работы. Целью работы является изучение следующих четырёх проблем, возникающих в связи с исследованием квантовых гамильтонианов.
Первая проблема заключается в нахождении всех возможных типов неприводимых представлений для соотношений коммутации, в которых фигурируют операторы рождения - уничтожения и, возможно, оператор числа частиц.
Второй проблемой является отыскание законов сохранения, являющихся функциями от операторов числа частиц, для кваи-
товых гамильтонианов, которые записаны в терминах конечного числа сортов операторов рождения - уничтожения и операторов числа частиц, связанных между собой некоторыми соотношениями коммутации, и допускают обобщенную виковскую форму записи.
Третья проблема состоит в изучении условий, при которых квантовые гамильтонианы описанного выше вида обладают вакуумом, то есть наименьшим собственным значением.
Четвертая проблема состоит в исследовании спектра трёх квантовых гамильтонианов: обобщённого гамильтониана комбинационного рассеяния и двух версий квантового нелинейного уравнения Шредингера.
Выносимые на защиту основные результаты диссертации.
-
Построение всех возможных типов неприводимых представлений и классификационные теоремы для общих соотношений коммутации, в которых фигурируют операторы рождения - уничтожения и, возможно, оператор числа частиц.
-
Критерий наличия законов сохранения, представимых в виде функции от операторов числа частиц, и критерий наличия линейных по операторам числа частиц законов сохранения для квантовых гамильтонианов, которые записаны в терминах конечного числа сортов операторов рождения - уничтожения и операторов числа частиц, связанных между собой некоторыми соотношениями коммутации, и допускают обобщённую виковскую форму записи. Условия на вид таких гамильтонианов, при которых все
законы сохранения, представимые в виде функций от операторов числа частиц, сводятся к линейным по этим операторам законам сохранения.
-
Критерий полуограниченности снизу и достаточные условия наличия вакуума для квантовых гамильтонианов вышеописанного вида, у которых линейные по операторам числа частиц законы сохранения определяют разложение пространства Фока в прямую сумму конечномерных подпространств, инвариантных относительно гамильтониана.
-
Результаты исследования на полуограниченность и наличие вакуума трёх квантовых гамильтонианов: обобщённого гамильтониана комбинационного рассеяния и двух версий квантового нелинейного уравнения Шредингера.
Научная новизна и практическая ценность. Выносимые на защиту результаты диссертации являются новыми. Результаты работы могут быть использованы при исследовании квантовых гамильтонианов и для получения новых кинентических уравнений и их дискретных моделей.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы из 50 наименований. Объём диссертации 97 страниц. Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на семинарах отдела ЛГ.7 ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, на семинаре одного из секторов ЛТФ ОИЯИ в г. Дубне, на семинарах отдела математической физики и отдела квантовой теории поля Математического института имени В. А. Стеклова РАН.
По материалам диссертации опубликовано четыре работы и одна работа принята з печать.