Введение к работе
Актуальность темы. Теория нелинейной гидродинамической ус-йчивости, являясь частью математической физики, предназначена я того, чтобы исходя из фундаментальных принципов гидродинами-, определять критические значення параметров, разделяющих раз-чные режимы движений жидкости и давать различные характерники указанных движений. Если предполагать, что соответствующая чально-краевая задача адекватно описывает движение жидкости, то азанная проблема содержит задачу описания поведения всех реше-й в окрестности известного, обычно стационарного или периодиче-эго по времени решения. Под более общей "глобальной" задачей, лючающей в себя предыдущую "локальную", естественно понимать цачу об эволюции аттрактора задачи (при условии, что он корректно ределен) и изучению порожденной.на нем динамики. В настоящее емя "глобальная" задача многими связывается с проблемой возник-вения турбулентности. Задачи гидродинамической теории устойчи-сти включают в себя, в частности, изучение линейной устойчивости задачу о бифуркации на вторичные стационарные и периодические времени режимы.
Несколько условно развитие математической теории гидродинами-ской устойчивости можно разделить на несколько этапов. Первый ш, начатый в работах Коши, Стокса, Навье, Куэтта, Пуазейля, Вера, Тейлора, Релея и др. дал с одной стороны общепринятые мате-тические модели движений жидкости и с другой стороны позволил копить большое количество как экспериментальных, так и теоре-ческих результатов, правда, зачастую полученных на физическом овне строгости. Отметим также результаты Ж. Лере 30х годов, нагого обогнавшие свое время.
Следующий этап, начавшийся в 60-е годы, связан с получением ма-матически строгих результатов в работах Хопфа, Серрина, Проди, варда, Солонникрва, Ладыженской, Джозефа, Сэлинджера, Юдо-ча, Финна, Хейвуда, Кирхгэсснера, Иосса, Бабенхо и других. В этих ботах были доказаны некоторые теоремы существовония решений элюционных и краевых задач, было дано обоснование принципа лв> аризации, изучены инвариантные многообразия, построена теория солютной устойчивости и изучен ряд задач о бифуркации стацио-
нарных решений (в том числе и при наличии симметрии). Некоторі аспекты этой работы нодытожены в монографиях Д. Джозефа (197 и В.И. Юдовича (1984).
Однако, применение общих теорем теории гидродинамической устс чивости к изучению конкретных течений жидкости оказывается з t частую невозможным без применения ЭВМ, и одним из направлені текущего этапа развития теории гидродинамической устойчивости ев зан с широким использованием ЭВМ не только для проверки гипоті но и для строгого доказательства теорем. Стоит отметить, что даг основной стационарный режим, согласно энергетической теории усто чивости единственный при достаточно большой вязкости, во мноп случаях может быть найден только численно. Ярким тому пример< являются такие важнейшие течения, как обтекание шара равномернь на бесконечности потоком или течение между вращающимися сфер ми. В этом смысле известные явные формулы для стационарных теч ний Куэтта, Пуазейля, Колмогорова и др. являются исключениями связаны с инвариантностью указанных задач относительно непреры ных групп симметрии. В последнее время развитие группового анали дифференциальных уравнений позволило дать классификацию инв риантных и частично инвариантных решений уравнений гидродивам ки (Овсянников, Ибрагимов, Пухначев, Бунчев, Бытев и др.). Оди ко и для течений, заданных явными формулами, исследование ноте] устойчивости и, в частности, определения спектра линеаризован» задачи, выяснение кратности собственных значений и, наконец, опр деление критических значений параметров невозможно без использ вания ЭВМ. Таким образом, развитие общей теории нелинейной гидр динамической устойчивости должно происходить совместно с развит ем вычислительных алгоритмов, позволяющих проверить выполнен! тех либо иных теорем для конкретных задач.
Прикладные задачи теории гидродинамической устойчивости обы но зависят от параметров физического или геометрического характер При исследовании потери устойчивости и бифуркации в таких задач. в пространстве параметров возможно появление точек вырождения, которых те или иные функционалы, связанные с исследуемой зад чей, обращаются в нуль. Изучения бифуркации в окрестности такі точек имеет особое значение, поскольку, рассматривая параметры к.
дополнительные фазовые переменные и изучая окрестность точки вырождения в расширенном фазовом пространстве, можно получить рад принципиальных утверждений о поведении ответвляющихся решении в окрестности этой точки.
Имеется целый ряд задач математической физики и, в частности, гидродинамики, где рассматриваемая физическая система является столь протяженной, что неоднородные структуры (течения) обладают собственным характерным масштабом (напр. длиной волны), ко-горый много меньше размеров системы и практически не зависит от їх вариации. В таких ситуациях область течения естественно считать теограниченной, чтобы исключить влияние удаленных границ. В силу інвариаптиости уравнений движения вязкой жидкости относительно руппы Галилея, рассмотрение структур периодических по неограни-іенной координате приводит к ^явлению в задаче компактных групп :пмметрий, например, подгрупп группы 0(2) х 0(2) х Zk, своим напишем обязаных инвариантности области течения относительно сдвигов їли вращений и отражений. Хотя тот факт, что наличие групп симме-рий может приводить к увеличению кратности собственного значения 1ыл известеп давно, исследование ответвляющихся периодических по ремени режимов в этой ситуации долго оставалось открытой пробле-юй. Столь же актуальную задачу представляло и изучение бифур-ацин семейства решений, являющегося орбитой непрерывной группы имметрий. Примером такой задачи, соединяющей как аналитические, ак и вычислительные проблемы, является задача Куэтта-Тейлора.
Указанные симметрии реализуются, в частности, в задачах, где те-ение рассматривается в бесконечном цилиндре Q = П х JR1, где 12 -падкая одномерная или двумерная область.. Первоочередная задача этом случае состоит в описании поведения возмущений "макснмаль-о" симметричного решения, такого, как например, течение Куэтта ли Пуазейля, в окрестности порога неустойчивости. Классический одход к таким задачам состоит во введении условия периодичности периодом 27г//3 вдоль неограниченной координаты z. В этом случае іектр линейной задачи об устойчивости становится дискретным и за-ета о бифуркации теоретически может быть сведена к конечномер-эй задаче применением теоремы о центральном многообразии. Этот ідход является естественным в случае, если минимальное критиче-
ское число Рейнольдса Д)(Д>) отвечает волновому числу / ф 0. Если же / = 0, то идея изучения задачи при некотором фиксированном малом / ф 0, что было характерно для предшествующих работ, не представляется столь же плодотворной, и привела к появлению ряда ошибочных работ.
Если же отбросить условия пространственной периодичности, то линейный оператор обладает непрерывным спектром и неустойчивость проявляется на целом интервале волновых чисел. В этом случае предельную (редуцированную) задачу дает формализм Гинзбурга-Ландау, и для описания амплитуды и фазы течения предлагается использовать комплексное уравнение Гинзбурга-Ландау. Однако обоснование этого формализма, с указанием оценок погрешности, в задачах гидродинамики пока остается открытой проблемой. 'Многомасштабный асимптотический метод Стюартса - Стюартсона - Хокияга, использованный ранее для анализа трехмерной задачи Пуазейля, оказался не вполне корректным. В связи с этим представляется ясной актуальность построения альтернативных подходов к изучению этой проблемы. Одной из возможных альтернатив является метод "пространственной динамики" активно развивающийся в последнее время. В этом методе, при некоторых ограничениях на зависимость решения от времени, неограниченная координата играет роль эволюционной переменной и рассматриваются все решения, близкие к исследуемому равномерно по этой координате.
Цель работы. Диссертация посвящена теоретическим и практическим вопросам теории устойчивости и бифуркации течений вязкой несжимаемой жидкости в многопараметрических задачах с симметрия-ми, в том числе и в неограниченных областях; изучению различных вариантов редукции указанных задач к конечномерным; обоснованию и распространению метода "пространственной динамики" на новый класс задач; построению вычислительных алгоритмов, позволяющих в конкретных задачах гидродинамики проверить выполнение условий соответствующих теорем.
Общая методика исследования. Основные результаты диссертации получены с помощью различных вариантов редукции методами функционального анализа исходных бесконечномерных задач к более
і -
ростым, как правило конечномерным, "предельным" задачам, с дальнейшим исследованием предельных задач методами конечномерного іелинейного анализа. Для применения доказанных теорем к исследо-анию конкретных течений используется численная проверка выпол-[ения их условий.
Научная новизна.
Изучена бифуркация рождения цикла в гидродинамических за-(ачах с некоторыми симметриями. Найдены критерии устойчивости ггоричных течений.
Исследована потеря устойчивости и бифуркация течения Куэтта іежду вращающимися цилиндрами в случае,, когда порог устойчиво-:ти определяется пеосесимметричным возмущением и собственное зна-іение является двукратным.
В задаче о потере устойчивости вихрей Тейлора изучена спектральная задача об устойчивости и бифуркация с относительного рав-говесия (орбиты группы симметрии).
В задаче о потере устойчивости плоского течения Пуазейля между щраллельными пластинами с использованием многорараметрического годхода изучена дополнительная бифуркация, связанная с переходом при изменении волнового числа) с докритической бифуркации на з*-критическую.
Мультипараметрический подход позволил объяснить некоторые, парадоксальные результаты, полученные численно в задаче Пуазей-ая, дать оценку радиусов сходимости рядов Пуанкаре-Линштедта и позволил в ряде случаев установить причину расходимости указанных рядов.
Численно и аналитически исследованы бифуркации течения Колмогорова и его обобщений. При некоторых значениях параметров обнаружена бифуркация рождения медленного цикла.
Установлена ключевая для метода "пространственной динамики" формула для вычисления размерности пространственного центрального многообразия.
Развит основанный на идеях " пространственной динамики" метод изучения потери устойчивости течений вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрических областях ь случае, если критическое волновое число
/% = о.
В трехмерной задаче о течении Пуазейля между параллельными стенками показана неадекватность теории Хокинга - Стюарта - Стю-артсона. Развитый метод позволил включить в анализ задачи наличие расхода жидкости в трансверсальном направлении. Изучены длинноволновые в трансверсальном направлении и периодические по времени течения, близкие к течению Пуазейля и аналитически установлена ошибочность ряда вычислений, посвященных данной задаче.
Анализ предельных уравнений метода пространственной динамики позволил аналитически исследовать эффект воздействия на плоские задачи трехмерных возмущений с большой длиной волны в трансверсальном направлении. Доказано, что длиннопериодические стоячие волны в этом случае всегда неустойчивы.
Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты носят как теоретический так и прикладной характер. Большая часть теоретических результатов являются общими и могут быть применены для изучения образования структур не только в гидродинамике, но и в задачах физики и технологии. Разработанные численные алгоритмы обладают высокой эффективностью и позволяют решать спектральные и краевые задачи в широком диалазопе параметров.
Аипробация работы. По материалам работы прочитаны пленарные лекции: на V конференции "Качественная теория дифференциальных уравнений гидродинамики." 1983, Омск; на V, VII, VIII конференциях "Теоретические основы и конструирование алгоритмов математической физики." 1984 Казань, 1988 Кемерово, 1989 Москва (Красновидово); на V, VI, VIII Школах МГУ "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости." 1985,1988,1994; на I и П Всесоюзных школах "Динамические системы и турбулентность." 1985, 1988 Кацивели; на VI-ом "Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике." 1986, на УЖ - ISIMM симпозиуме "Trends in Applications of Mathematics to Mechanics." Austria, Hollabrune, August 13-18,1989; EBTG-конференции "Dynamics, bifurcations and symmetries. New trends and tools." Cargese, France, 1993; па IUTAM/ISIMM симпозиуме "Structure and Dynamics of Nonlinear Waves in Fluids." Hannover, Germany, 1994.
Результаты работы докладывались также: на II- ШТАМ Симпози-
ме по ламинарно-турбулентному переходу. ("Symposium on Laminar-turbulent Transition.") Новосибирск, 1984; па І конференции "Мате-іатическое моделирование, нелинейные проблемы и вычислительная іатематика." 1988, Звенигород; на XIX -th Biennial symposium on Advanced problems and methods in fluid mechanics." Poland, Kosubnik, 989; на Всесоюзной конференции "Нелинейные задачи дифференци-льных уравнений и математической физики.", Тернополь, 1989; на Г-Всемирном конгрессе по вычислительной механике. ( " World Congress п Computational Mechanics.") Stuttgart, FRG, 1990; на ШТАМ - симпо-иуме "Nonlinear hydrodynamic stability and transition." Sophia-Antipolis, ranee, 1990; на ЕС-симпозиуме "Spatio-Temporal Evolution of Patterns n Nonlinear Mechanics. Instability and Chaos." Nice, France,1991; NATO-импозиуме "Spatio- Temporal Properties of Centrifugal Instabilities." Nice, ranee, 1993; ЕС-симпозиуме "Spatio-Temporal Evolution of Patterns in fonlinear Mechanics." Utrect, Netherlands, 1993.
Кроме того результаты работы докладывались на научных семина-ах в МГУ им. М.В. Ломоносова, ИМ МГУ, ИПМех АН СССР, ИГ им. 1-А. Лаврентьева СО АН СССР, ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, в Інституте Нелинейных Проблем CNRS (Ницца, Франция), Универси-етах Гамбурга, Ганновера, Брно, Байройта, Ниццы, Утрехта, Штутгарта.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]—[25]. бъем диссертации 238 стр. обработанных редакторской системой ЯеХ.