Введение к работе
Актуальность темы. Одним из основных уравнений математи-ской физики является уравнение Вольцмана, которое описывает поденне разряженного газа в пространстве по времени и скоростям. В учае одноатомного газа любая макроскопическая система в процессе оей эволюции к состоянию равновесия проходит три этапа: началь-й переходной период-описывается в терминах полной функции рас-еделения системы, кинетический период - с помощью одночастичной нкцті распределения, гидродинамический период - с помощью пяти рвых моментов функции распределения. В динамике разряженных га-в принято выделять четыре раздела в соответствии с четырьмя раз-чными режимами течения, названными "свободаомолекулярным", очти свободномолекулярным", "переходным" и "течением со скольже-ем". Эти режимы соответствуют очень сильно разряженным,сильно зряженным, умеренно разряженным и слабо разряженным течениям іза. Такое деление целесообразно, поскольку каждый режим характеру ет различные явления и фундаментальный теоретический подход к : исследованию совершенно различен. Так как понятие "разряженный" относительное, разграничение на четыре режима течения характери-ется не абсолютными уровнями давлений или плотностей газов, а >едней длиной свободного пробега частиц. В соответствии с выше-ізванннми режимами приходится рассматривать начальную, начально-іаевую и граничную задачи для уравнения Вольцмана без столкнови-ільного члена или со столкновительным членом. Кроме того, кинети->ские уравнения, к которым относится уравнение Вольцмана, приме-[ются и для изучения переноса нейтронов в ядерных реакторах, феноса фононов в сверхтекучих жидкостях и переноса излучения в гмосферах звезд и планет.
Из газовой динамики известно, что в большинстве встречающихся ідач нет необходимости использовать детальное микроскопическое шсание газа с помощью функции распределения. Поетому естественно эискать менее детальное описание, используя макроскопические газодинамические переменные (плотность, гидродинамическую скорость, їмпературу). Поскольку эти переменные определяются через моменты гнкции распределения, мы сталкиваемся с проблемой анализа раз-гитах моментов уравнения Вольцмана.
Изучая моментные уравнения, мы получим некоторую информацию о амой функции распределения и в случае сходимости моментного мето-
да полную информацию о ней. Заметим, что моментные уравнения Бо цмана являются промежуточным между Больцмановеким (кинетичес теория) и гидродинамическими уровнями описания состояния разряж ного газа и образует ранее не изученный класс нелинейных уравне в частных производных. Существование такого класса уравнений заі чено Градом (Crad Н., Conam.Pure and Appl.Math. 2, N4 (1949). Ру перевод в сб. "Механика", N4,N5 (1952)) еще в 1949 году. Им по. чеиа моментная система путем разложения функции распределения ч; тиц по полиномам Эрмита около локального максвелловского распре, левия. Но моментная система Грэда не была использована на практі и не изучена из-за сложности дифференциальной части.
Из вышеизложенного следует, что изучение начальной и нача. но-краевой задач для уравнения Больцмана и моментной системы ян. ется весьма актуальным.
Целью работы является: 1)получение системы моментных ураві ний Больцмана в случае максвелловских молекул, способы обрыва б< конечной системы уравнений; 2)постановка как внешних, так и вц решшх граничных условий для конечной системы моментных уравнеї и вопросы корректности полученных задач; 3)изучение начально- к] евой задачи для лашейной и нелинейной систем моментных уравнеї Больцмана и вопросы сходимости моментного метода; 4)изучение і чальной задачи для нелинейной системы моментных уравнений и вогп сы сходимости, а также краевые задачи для стационарной нелинеШ системы моментных уравнений; 5)вопросы существования глобальне решения начально-краевой задачи для уравнения Больцмана.
За исключением последнего пункта во всех этих задачах рг -смотрен—случай максвелловских молекул, причем относительно ИНДИІ трисы рассеяния предполагается, что 0(%)єЬ ([о,тс]), 0{%, УХеГо.и].
В диссертации подучены следующие новые научные результат 1)выведена система моментных уравнений Больцмана для максвелле ских молекул, отличная от моментной системы Грэда; 2)привед постановка как внешних, таї? л внутренних граничных условий } конечной системы моментных уравнений Больцмана; Э)дрказаны оллі тичность стационарной системы моментных уравнений Больцмана и і псишєние условия Шапиро Лопатинского; 4)показана диссипатившм внешних и внутренних граничных условий для нестационарной сист* моментных уравнений; 5)аппроксимированы неоднородное и общее гі ничные условия, поставленные для уравнения Больцманэ; 6)доказ< существование единственного решения начально-краевых задач ; линейной и нелинейной систем моментных уравнений Больцмана і
>бщешшх условиях Владимирова-Маршака и сходимость моментного эда, из которого следует существование единственного решения ітветствующей задачи для линеаризованного и нелинейного уравне-I Больцмана; 7)доказано существование единственного решения на-іьной задачи для нелинейной системы моментных уравнений и нели-tooro уравнения Больцмана, а также существование в малом решения іционарной системы моментных уравнений Больцмана при обобщенных ювиях Владимирова-Маршака; 8)получена теорема существоваїшя >бального решения начально-краевой задачи дня уравнения Больц-іа в пространстве C([o,T];L (GxRg)) при естественных ограничени-на начальную и граничную функции.
Теоретическая и практическая ценность. Результати работы но-" теоретический характер. Они могут быть использованы в дальней-: исследованиях задач динамики разряженного газа (структура ірной волны, теплопередача между параллельными пластинками и .), теории переноса нейтронов в ядерных реакторах и переноса іучения в атмосферах звезд и планет, а также в задачах переноса :ктронов в твердых телах и плазме. Кроме того в диссертационной іоте впервые решена проблема постановки граничных условий для іечной системы моментных уравнений Больцмана, доказана разрешись начально-краевой и начальной задач для моментной системы, а асе получена теорема о существовании глобального решения началь--краевой задачи для уравнения Больцмана.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на Всесо-гой конференции по численным методам решения уравнения переноса Тарту, 1986г. и 1988г.), на Всесоюзной научной конференции по іссическим и неклассическим краевым задачам для дифференциальных івнений с частными производными (г.Куйбышев, 1987г.), на II рес-іликанской конференции по проблемам вычислительной математики и оматизации научных исследований (г.Алма-Ата, 1988г.), на 10-м [ословацко-советском совещании по применению функциональных ме-ірв и методов теории функции к задачам математической физики Стара-Тура (Чехословакия), 1988г.), на XIV шкоде по теории опе-гороа в функциональных пространствах (г.Новгород, 1989г.), на IX :публиканской межвузовской конференции по математике и механике Алма-Ата, 1989г.), на Всесоюзной конференции по условно-іретннм задачам математической физики (г.Алма-Ата, 1989г.), на С Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных про-янствах (г.Нижний Новгород, 1991г.), на международном совещании дискретным моделям уравнения Больцмана (г.Алма-Ата, 1992г.), а еже на семинаре МИАН СССР им.В.А.Стеклова (рук. акад. В.С.Влади-
миров), на семинаре института прикладной математики АН СССР и Ы.В.Келдыша (рук.зав.лэб. М.Б.Масленников), на семинаре институ математики и механики АН Казахстана(рук.акад. У.М.Султангазин), семинаре КазГУ им. Аль-Фараби (рук. член корр. АН Казахстг М.О.Отелбаев, член корр. АН Казахстана Т.Ш.Кальменов), на семина ВЦСО АН СССР(рук.д.ф.м.н.,снс В.В.Смелов).
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из ввел ния, трех глав, заключения и приложения. Объем работы - 257 маш нописных страниц, включаючих два рисунка и библиографию из 1 наименований.