Введение к работе
Актуальность темы. Исследование эволюции многих систем в физике, астрофизике, биологии и т.д., для получения адекватных результатов требует применения кинетического подхода при котором поведение системы моделируется одним или несколькими кинетическими уравнениями. Одним из таких уравнении является кинетическое уравнение Юлинга-Уленбека. Отличительной чертой этого уравнения является то, что оно описывает эффекты статистики в системах, состоящих из тождественных частиц СобьектовЭ, что позволяет учитывать коллективные явления, связанные с этими эффектами.
Это уравнение, впервые предложенное в работе Юлинга и Уленбека С1933 г.) и затем полученное из цепочки ББГКИ Боголюбовым и Гуровым С 1949г. Э, долгое время оставалось фактически невостребованным. Однако в последнее время в ряде областей С перенос нейтрино в сверхновых звездах, физика конденсированных сред, решеточные газы, эволюция биологических сообществ) появились работы, в которых в той или иной форме использовалось уравнение Юлинга-Уленбека. В связи с этим приобретают актуальность исследование свойств Св том числе проблема существования и единственности решения} этого уравнения, а также разработка методик его решения.
Эти исследования эффективнее проводить используя в качестве примера некоторую конкретную систему, что позволяет ввести естественные классы функций, в которых будет искаться решение, а также выявить "физически" естественные требования, необходимые для существования и единственности решения, которым должны удовлетворять входящие в уравнение параметры. В качестве такого примера была выбрана задача описания переноса нейтрино в сколлапсировавших
4 ядрах сверхновых звезд, поскольку, по-видимому, именно в этой области кинетическое уравнение Юлинга-Уленбека впервые было широко применено при описании эволюции конкретной системы. Адекватное описание переноса нейтрино в сколлапсировавших ядрах сверхновых звезд в настоящее время само является актуальной проблемой, в связи с развертыванием сети нейтринных обсерваторий для регистрации потоков нейтрино от таких объектов. Находящиеся на дежурстве в США. Японии. Италии. России нейтринные обсерватории способны регистрировать мощные импульсы антинейтрино Снейтрино) с энергией порядка 10 - 100 Мэв. . (Возможность этого продемонстрировал взрыв сверхновой 1987 г. в Большом Магеллановом облаке. ) Уточнение энергетических и временных параметров таких импульсов позволяет подстраивать экспериментальные установки под ожидаемые характеристики импульсов. С другой стороны, совпадение параметров расчитаниых и регистрируемых импульсов может служить весомым подтверждением правильности рассматриваемых моделей коллапса. Входящее в сценарии взрыва и коллапса в виде составной части описание эволюции нейтринного распределения непрерывно развивается, и условно можно выделить следующие стадии этого развития: описание на уровне оценок, диффузионный уровень описания и прямое моделирование С методы Монте-КарлоЗ. кинетический уровень описания. Описания на уровне оценок проводились в 50-60е годы, так как отсутствовал математический аппарат, адаптированный к данным задачам, и необходимые для сложных вычислений мощные ЭВМ. Следующим этапом можно считать учет переноса нейтрино в двух предельных случаях: очень малой и очень большой оптической толщи. В случае малой оптической толщи эффективно работает метод
5 Монте-Карло. В случае большой оптической толии - диффузионное приближение. Сшивке этих двух методов расчета переноса, применяемых в противоположных условиях препятствует, в частности, то, что фотосферой для нейтрино Ст. е. область», где оптическая толща порядка единицы) является не сферический слой в физическом пространстве, а некоторый слой в фазовом пространстве. Наиболее просто и эффективно диффузионное приближение применяется в случае, когда в каждой точке физического пространства известен энергетический спектр нейтрино С практически эта ситуация возникает лишь при равновесном спектре) . Тогда можно ограничиться рассмотрением уравнений диффузии для плотности числа частиц и температуры. Если энергетический спектр априори не известен, то диффузионное приближение используют для функции распределения на некоторой сетке по энергии. Следует отметить, что уравнение диффузии хорове описывает линь те процессы, в которых кроме условия сильной непрозрачности среды выполняются условия малости пространственных градиентов и производных по времени. Если эти требования не удовлетворяются, то распределение, полученное на основе уравнения диффузии, может существенно отличаться от реального. Поэтому при желании получить более строгие результаты следует описывать перенос на основе кинетических уравнений. В случае сильного заполнения некоторых областей фазового пространства требуется учитывать принцип запрета Паули и, следовательно, использовать в кинетическом уравнении не интеграл столкновений Больцмана. а интеграл столкновений Юпинга-Уленбека. Уравнение, описывающее перенос, столкновения, содержащее источники и стоки, и учитьвашее при этом эффекты статистики, можно представить в следующем виде:
в/ -» ss г as,
_ + v — = F — 1 + ci-ps - / у
»t a? « at Jct
Здесь S - Jtr\p\t) - функция распределения частиц в фазовом пространстве в момент времени t.\f- скорость; слагаемыэ в правой части представляют, соответственно, интеграл столкновений, источник, сток. Скорость $ представим в виде $ = Q ftp), где Q - едикичньй вектор из Р2; v(p) = с дле безнассовых частиц С с -скорость света Э; для частиц с ненулевой массой vCp) - монотонно возрастащая функция р, отображающая интервал СО,») в интервал СО,с). Интеграл столкновений из правой части уравнения можно записать в следующем виде :
[ftlcr = KWd?« *&**%*!*
І сі-лсі-і2)5зі« - S f2ti-f3 )ci-V З
СВеличина й dp*3dp*4 имеет смысл вероятности перехода. f1=fC?,p*,t1)). Исследовалось более общее уравнение:
д{ * д{ А А
— + v — = С1-Л*/ - J К
dt в?
л л
Для рассматриваемой задачи а и р есть нелинейные операторы, определяемые следующими формулами:
7 af » S + Jd?2Jd?3Jd?4 №/;р.р2,р3.р4Ы1-/23/3/4
PS - Y Jd^jdp^jd?, WC/^.P^Pa-P^^l-fytCl-^)^
При рассеянии на "фоне" с заданной функцией распределения а и 0 -линейные операторы.
Целью данной работы является моделирование эволюции нейтринного распределения Св частности, переноса) в сколлапсировавшем ядре сверхновой звезды на основе приведенного вше уравнения Сна начальном этапе), а также выявление условий существования решений этого уравнения и доказательство соответствуютх теореа.
Научная новизна и практическая ценность.
Доказаны несколько теорем существования и единственности для кинетического уравнения Шинга-Уленбека при физически естественных ограничениях, накладываемых на входящие в уравнение величины. При доказательстве в основном использовался метод последовательных приближений, что позволяет использовать результаты теорем при практическом построении реиений. Для однородного случая доказана сходимость решения сеточного аналога уравнения к реаенип исходного уравнения при сгущении сетки. Получены оценки сходимости приближенного решения к точному
Предложена методика численного решения системы уравнений, описывавшей эволсцио нейтринного распределения, адаптированная к рассматриваемой задачо и позволякдая эффективно провести численное
8 моделирование.
Проведено численное моделирование эволюции нейтринной и других компонент, составлявших ядро сколлапсировавшей звезды, для' однородного, изотропного случая и для двух вариантов сферически-симметричной системы, различащихся видом распределения плотности вещества в ядре звезды. Полученные результаты численного моделирования позволили определить как параметры спектров излучаемых нейтрино Си сами спектры) на начальном этапе излучения , так и параметры вещества в ячре звезды в процессе эволюции. Полученные на основе кинетического подхода и,следовательно, без предположения о равновесии нейтринного распределения спектры нейтрино могут быть использованы для прогнозирования параметров потоков нейтрино от реальных сверхновых звезд.
Апробация работы.
Материалы диссертации докладывались на семинарах по кинетическим уравнениям ИПМ им. М.В. Келдыва, на семинарах ИТЭФ и ИДО ; на пятой Всесоюзной юколе "Частицы и космология" СБаксанская нейтринная обсерватория, СССР, май 1989г.) и на первом Международном симпозиуме "Численные методы решения уравнения переноса" (Москва. Россия, июнь 1932г. Э
По материалам диссертации опубликовано 8 работ.
Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитированной литературы из 51 наименования и приложения. Объем диссертации, включая оглавление. 134 страницы.