Моделирование магнитных полей галактик в планарном приближении Михайлов Евгений Александрович

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Актуальные проблемы галактического магнетизма 19

1. Магнитные поля галактик 19

2. Галактическое динамо 22

3. Магнитные поля во внешних областях галактики 25

4. Магнитные поля в галактиках с высоким темпом звездообразования 27

Глава 2. Галактическое динамо 31

1. Планарное приближение 31

2. Закон сохранения магнитной спиральности 34

3. Уравнения для магнитного поля с потоками спиральности 36

Глава 3. Магнитные поля на окраинах галактик 43

1. Общие вопросы 43

2. Основные уравнения 47

3. Распространение фронта магнитного поля во внешние области галактики ..52

Глава 4. Магнитные поля в галактиках с неоднородной средой 66

1. Звездообразование и магнитное поле 66

2. Линейная параметризация управляющих параметров динамо 68

3. Звездообразование и модель магнитного поля с потоками спиральности 75

4. Дифференциальные уравнения со случайными коэффициентами 81

5. Стохастическая модель динамо 85

6. Применение уравнений со случайными коэффициентами к задаче о влиянии звездообразования на эволюцию магнитного поля галактик 97

Заключение 101

Список литературы

• Магнитные поля во внешних областях галактики
• Закон сохранения магнитной спиральности
• Распространение фронта магнитного поля во внешние области галактики
• Дифференциальные уравнения со случайными коэффициентами

Введение к работе

Актуальность

В настоящее время надежно установлено, что в центральных областях ряда спиральных галактик присутствует магнитное поле напряженностью порядка 1 мкГс. Их генерация описывается так называемым механизмом динамо, суть которого состоит в переходе кинетической энергии турбулентных движений межзвездного газа в энергию магнитного поля. При этом, межзвездный газ присутствует и на расстояниях от центра, больших общепринятых значений радиусов галактик в 10-15 кик. Поэтому вопрос о возможности существования магнитного поля в окраинных областях галактики представляет большой интерес с точки зрения астрофизики. При этом, данная задача практически не исследовалась, хотя есть большое количество косвенных доказательств того, что магнитное поле и на расстояниях около 20-25 кик до центра галактики может превышать значение межгалактического фона порядка. Это требует рассмотрения расширяющегося галактического диска, поскольку при рассмотрении столь больших масштабов уже нельзя считать его полутолщину постоянной величиной. Кроме того, большая трудность состоит в том, что в окраинных областях генерация магнитного поля in situ сильно подавлена и поле там возникает за счет распространения динамо-волны. Для исследования данного процесса необходимо тщательное исследование свойств дифференциальных уравнений, описывающих галактическое динамо, определения стационарных решений, условий формирования переходных слоев и построения асимптотик для скорости их распространения. Эта задача может быть решена в рамках асимптотической теории контрастных структур. Отмстим, что одна из проблем связана с тем, что во внешних областях галактик может произойти «переключение» связанное со сменой устойчивости стационарных решений и возникает вопрос о том, сможет ли переходный слой проникнуть за пределы точки смены устойчивости.

Другая важная проблема связана с тем, что в настоящее время хорошо

изучены магнитные поля в Млечном Пути и других спиральных галактиках, которые имеют принципиально такую же структуру: М 31, М 33 и т.п.. Тем не менее, существует целый ряд объектов, в которых процессы, определяющие возбуждение и эволюцию магнитного поля, протекают существенно по-другому. К таким галактикам можно отнести галактики с интенсивным звездообразованием, взрывами сверхновых, существенно другой плотностью и составом межзвездного газа. Вопрос о магнитном поле в таких галактиках практически не исследовался ни наблюдательно, ни теоретически.

Поэтому данная работа ставит своей целью разработку теоретических представлений о магнитном поле в галактиках с интенсивным звездообразованием. Наиболее простой подход состоит в том, чтобы провести параметризацию величин, ответственных за генерацию магнитного поля и связать их с темпом или поверхностной плотностью звездообразования. Параметризация для плотности межзвездного газа ведет свою историю от классических работ Шмидта и была доработана в работах Засова и Абрамовой. Взаимосвязь между интенсивностью звездообразования, скоростью турбулентных движений и другими величинами, описывающими действие динамо, на данный момент отсутствует и должна быть разработана отдельно.

В последнее время при моделировании магнитных полей галактик нередко используется планарное приближение, позволяющее свести пространственно-трехмерную систему уравнений в частных производных для магнитного поля к двум измерениям. В случае исследования поведения магнитных полей в галактиках с интенсивными процессами, связанными с существенным повышением доли ионизованной компоненты межзвездной среды, становятся важными потоки межзвездной среды в направлении, перпендикулярном к диску. Эти потоки выносят так называемую магнитную спиральность из плоскости диска в гало. Большинство работ, относящихся к эволюции спиральности рассматривают уравнения для спиральности, усредненной по всему галактическому диску. В случае рассмотрения процесса звездообразования, кото-

рый является по сути локальным явлением, привязанным к относительно небольшим областям, такой подход является явно недостаточным. Поэтому требуется разработка и исследование математических свойств уравнений для спиральности с учетом зависимости хотя бы от одной пространственной координаты.

Другой возможный подход к исследованию магнитного поля в галактиках с такими бурными процессами, как звездообразование, состоит в исследовании уравнений динамо со случайными коэффициентами. Можно положить, что одни значения коэффициентов отвечают среде с высокой ионизацией в областях, ассоциируемых со звездообразованием (или другими процессами, связанными с изменением соотношения между различными компонентами межзвездного газа), а другие - слегка подогретую среду в «обычных» галактиках, таких как Млечный Путь. Вероятность тех или иных значений будет связана с интенсивностью звездообразования. Хотя подобные задачи и представляют большой интерес для теории вероятностей, в существующих на данный момент работах исследованы математические свойства лишь простейших модельных уравнений, относившихся, как правило, к проблеме распространении света во Вселенной. В то же время, в существующих астрофизических работах, относящихся к динамо с флуктуирующим альфа-эффектом, с одной стороны, как правило, исследуется задача о солнечном или геомагнитном динамо, с другой - исследование проводится на «физическом» уровне строгости. Данная работа призвана восполнить явный недостаток знаний в данной области

Цели работы

Первой и основной целью работы является исследование возникновения магнитных полей на окраинах галактик и построение планарного приближения для расширяющегося диска и изучение возможности генерации магнитного поля на окраинах галактик. Для этого необходимо исследовать процес-

сы, определяющие возникновение и движение переходных слоев в параболических уравнениях, описывающих эволюцию крупномасштабного магнитного поля, вывести асимптотические приближения для скорости движения фронта. Необходимо также ответить на вопрос о возможности проникновения переходного слоя за пределы точки смены устойчивости.

Второй целью работы является построение модели для магнитных полей галактик, учитывающей наличие активных процессов, меняющих соотношение между различными компонентами межзвездной среды, принимающей во внимание потоки спиральности магнитного поля. Это требует разработки уравнений, которые включают в себя зависимость спиральности магнитного поля в том числе и от пространственной координаты. Кроме того, нужно построить параметризацию, описывающую кинематические характеристики МЗС с интенсивностью звездообразования.

Наконец, третьей целью работы является построение представлений о крупномасштабном магнитном поле галактик, генерацией которого управляют стохастические закономерности. Для этого необходимо исследование свойств возникающих уравнений со случайными коэффициентами и построение асимптотики для скорости роста магнитного поля, основанной на так называемой инвариантной мерс.

Положения, выносимые на защиту

1. Проведено исследование свойств системы уравнений в частных производных параболического типа, описывающей поведение галактического магнитного поля в планарном приближении, а также ее скалярной модификации. Исследована устойчивость стационарных решений, проведены оценки скорости распространения фронта. В рамках асимптотической теории контрастных структур доказана теорема о скорости распространении переходного слоя в пределе низкой вязкости. Изучены уравнения, в которых происходит смена устойчивости корней, показано, что фронт может проникать и за пределы

точки смены устойчивости. Продемонстрировано, что в зависимости от типа фронта, скорость его распространения пропорциональна либо коэффициенту турбулентной вязкости, либо квадратному корню из него.

1. Построена модель для галактического магнитного поля в расширяющемся диске. Показано, что магнитное поле, значительно превышающее значение межгалактического фона 10-¹⁵ Гс, присутствует в том числе и на больших расстояниях до центра галактики. Механизм возникновения магнитного поля обусловлен в первую очередь не генерацией поля in situ во внешних областях, а распространением нелинейной волны из центральных областей. Этот процесс по смыслу близок эффекту Колмогорова - Петровского - Пискунова, характерному для параболических уравнений.

2. Построена пространственно-неоднородная модель для магнитного поля в рамках планарного приближения с учетом потоков спиральности. Проведено сравнение получаемых результатов как с тем, что дает модель без учета потоков спиральности, так и модель с учетом потоков спиральности для усредненных значений магнитного поля. Показано, что по сравнению с моделью без учета потоков спиральности возможны осцилляции магнитного поля вокруг стационарного значения, а по сравнению с моделью для усредненных значений (в которой тоже есть подобные колебания) амплитуда данных осцилляции уменьшается.

3. Построена модель для крупномасштабного магнитного поля галактик со случайными коэффициентами, описываемыми кусочно-постоянным марковским процессом. Для локальной модели, связанной с обыкновенным дифференциальными уравнениями, вычислены как численные, так и асимптотические скорости роста. С помощью инвариантной меры доказана теорема о поведении плотности вероятности, описывающей поведение магнитного поля в разные моменты времени. Для пространственно-неоднородной модели получены также численные скорости роста поля, показано, что в пределе малых вязкостей они близки к тому, что дается локальным подходом. Полученные

результаты применены к прикладной задаче о магнитном поле при наличии звездообразования

5. Проведены оценки для эволюции магнитного поля в галактиках с интенсивным звездообразованием. Данная задача исследована в рамках двух различных подходов: первый связан с использованием детерминированной системы уравнений и введением параметризации для кинематических параметров межзвездной среды; второй - с использованием уравнений со случайными коэффициентами. В рамках обоих подходов получено, что при слабом темпе звездообразования магнитное поле галактик почти не меняется, а начиная с определенного порогового значения крупномасштабная компонента разрушается, восстанавливаясь только после ослабевания интенсивности звездообразования.

Структура и объем диссертационной работы

Магнитные поля во внешних областях галактики

Вопрос о генерации магнитных полей в космических объектах был впервые поднят, по-видимому, Лармором около столетия назад. В работе [26] предполагается, что циркуляция жидкости на Солнце может индуцировать возникновение и рост магнитных полей, обсуждается также возможность аналогичных процессов внутри Земли. Именно Лармор назвал данное явление «самовозбуждающимся динамо», по аналогии с новым для тех времен устройством для выработки электричества механическим путем - динамо-машиной, дав название механизму, обеспечивающему рост магнитных полей во многих астрофизических объектах. Тем не менее, в те времена уровень развития электродинамики был недостаточно высок, поэтому объяснить действие этого механизма не представлялось возможным, и идея о самопроизвольном росте магнитного за счет механических явлений не встретила понимания у тогдашней научной общественности [41]. Более того, впоследствии были высказаны серьезные возражения относительно принципиальной возможности таких процессов: доказаны теоремы запрета, которые утверждают, что в плоских и осесимметричных течениях невозможна генерация магнитного поля [27]. Немаловажной проблемой являлось и то, что в случае высокой проводимости магнитное поле вморожено в среду, поэтому было не вполне понятно, каким образом возможно «размножение» и переплетение линий магнитного поля [41]. Тем не менее, требовалось объяснение наличия магнитного поля у Земли и Солнца и способа его возбуждения.

Ближе к середине XX века Альфвеном, которого по праву можно считать одним из основателей магнитной гидродинамики, были прояснены многие принципиальные вопросы и предложен механизм генерации магнитного поля в проводящей среде [28]. Схематически он показан на рис. 1а. За счет малой, но ненулевой диффузии магнитная трубка разделяется на две, они сливаются в одну и напряженность магнитного поля удваивается. Хотя это и позволяет объяснить рост магнитного поля, характерное время такого процесса можно оценить как Т = В2/VTO, где R - характерный линейный размер, a vm - коэффициент магнитной вязкости. Для большинства объектов время роста в соответствии с данным механизмом оказывается крайне большим ввиду малости z/m, поэтому данное объяснение нельзя назвать удовлетворительным.

Качественно новый способ генерации магнитного поля был предложен Зельдовичем в 1970-е годы [42]. Он показан на рис. 16: магнитная трубка скручивается в «восьмерку» и затем напряженность поля увеличивается в 2П раз, где п - число операций «скручивания» [41]. Этот механизм получил название быстрого динамо, и как полагается, именно он обеспечивает рост магнитного поля во многих астрофизических объектах. Этот механизм требует так называемого альфа-эффекта - чтобы происходило «скручивание», необходимо, чтобы в разных частях рисунка поля скоростей были закручены по-разному.

Наличие магнитного поля у Земли было известно еще древним, которые со здали компас, позволяющий находить нужное направление в пространстве путешественникам. Наличие магнитного поля у Солнца было предположено по наблюдениям солнечной короны в конце XIX века и подтверждено около ста лет назад Хейлом [43]. Подозрения о наличии магнитных полей у нашей Галактики появилось несколько позже при исследовании космических лучей. Если бы магнитного поля не существовало, то излучение было бы анизотропно, а значительная часть частиц, составляющих космические лучи, покинула бы Галактику за времена порядка 103 лет [44] - тем не менее, в большом диапазоне энергий (от 109 до 1018 эВ) интенсивность космических лучей велика, а ее угловое распределение достаточно изотропно. Данный факт может означить лишь то, что ларморовский радиус гg для данных частиц меньше полутолщины Галактики h - поэтому движение заряженных частиц существенно искривляется под воздействием галактических магнитных полей. Оценки показывают, что напряженность магнитного поля должна составлять по крайней мере величины порядка 10-6 Гс [43].

Другим свидетельством наличия галактического магнитного поля является спектр синхротронного излучения и его поведение в области высоких частот [43].

Наконец, настоящее время одним из основных явлений, позволяющих изучать галактические магнитные поля, является фарадеевское вращение плоскости поляризации излучения в радиодиапазоне. Если через плазму с плотностью электронов пe, в которой есть магнитное поле с индукцией В, распространяется поляризованное излучение с длиной волны А, то его поляризация будет поворачиваться на угол [45]: р = А2ІШ, где RM - так называемая мера фарадеевского вращения: ЛМ= 2 3 AМ( Л) где е - заряд электрона, тe - его масса, с - скорость света, а интеграл бе рется вдоль луча зрения. Таким образом, измеряя поляризацию излучения на различных длинах волн, можно восстановить индукцию магнитного поля. В настоящее время именно фарадеевское вращение используется для исследования магнитных полей галактик на таких телескопах, как LOFAR и, в бу-дущем, SKA [2].

Закон сохранения магнитной спиральности

Зависимость магнитного поля от расстояния до центра галактики в модели (в). Сплошная кривая показывает случай t = 1 109 лет, пунктирная = 2 109 лет, штриховая - t = 5 109 лет, штрихпунктирная = 10 109 лет. для коэффициента а, характеризующего альфа-эффект, предполагалась следующая параметризация с нелинейным алгебраическим подавлением при росте магнитного поля: определяется кориолисовои силой и связано с вращением галак тики, В = \ В2 + В2 близко к модулю индукции магнитного поля, а В выводится из соображений энергетического равнораспределения: рост поля должен прекращаться, когда его энергия сравняется с кинетической энергией турбулентных движений: т.е. В = 2vs/7rp} где р - плотность межзвездной среды. Отметим, что при г = Г0 бралось В = 5 мкГс, что вполне соответствует данным наблюдений магнитного поля [2].

С математической точки зрения мы должны решать задачу на бесконечной полупрямой 0 г +оо. Однако при численном решении невозможно рассмотрение бесконечных областей. Конечно, можно ввести замену переменных, но для наших целей вполне достаточно «отодвинуть» правую границу на очень большое расстояние от интересующих нас значений г (вплоть до 25-30 кпк). Был выбран отрезок 0 г rmax, где rmax = 50 кпк, хотя в целях проверки результатов также проводились тестовые расчеты и для rmax = 100 кпк, которые практически такие же результаты. где Г0 = 8 кпк - положение пика начального поля, В0 = 10 3 мкГс - его амплитуда. Результаты для трех разных моделей межзвездной среды показаны на рис. 8-10. Расчет магнитного поля продолжался вплоть до момента времени t = 10 млрд.лет, который относится к современной эпохе. На рисунках показано значение напряженности магнитного поля В = \ В2 + В (вертикальная компонента Bz мала и не учитывается ввиду особенностей планарного приближения). Можно видеть, что в рамках всех моделей магнитное поле может проникать за пределы центральных областей галактики, на расстояния вплоть до 25-30 кпк. Отметим, что магнитное поле преимущественно азимутальное: угол между направлением магнитного поля и направлением вращения галактики составляет величины от 4 до 15.

Конечно, напряженность магнитного поля во внутренних частях существенно больше, чем во внешних - однако стоит говорить о том, что оно там вполне существенно и может быть детектировано при помощи современных радиотелескопов. Таким образом, можно утверждать, что поле проникает на расстояния 15 О

Зависимость магнитного поля от расстояния до центра галактики в модели (в). Сплошная кривая показывает случай В0 = 10-3 мкГс, пунктирная В0 = 10-4 мкГс, штрихпунктирная В0 = 10-5 мкГс. нескольких десятков килопарсек от центра галактики. В любом случае, оно больше, чем межгалактический фон, оцененный в работах Неронова, Семикоза и Вовка [4, 70]. Отметим, что в рамках модели (б) существует локальный минимум на расстоянии около 17 кпк от центра галактики. Это связано с тем, что полутолщина диска полагается постоянной вплоть до расстояния г = 18 кпк, поэтому динамо-число там невелико. В связи этим скорость роста магнитного поля в данной области невелико. Стоит обратить внимание, что данная деталь навряд ли имеет физический смысл: возможно, в реально диск начинает утолщаться при меньших значения г. Однако для нас ценно то, что даже в такой «плохой» с точки зрения механизма динамо модели межзвездной среды магнитное поле демонстрирует свой рост.

Затем, стоит отметить, что результаты, даваемые нашей моделью динамо, устойчивы по отношению к изменению граничных условий. Рис. 11 показывает, что будет в том случае, если изменить амплитуду начального поля: В0 = 10-3 мкГс, В0 = 10-4 мкГс, В0 = 10-5 мкГс. Рис. 12 показывает случай 15 О

Зависимость магнитного поля от расстояния до центра галактики в модели (в). Сплошная кривая показывает случай Го = 8 кик, пунктирная -Во = 16 кпк, штрихпунктирная - Во = 20 кпк. изменения положения пика: Го = 8 кпк, Го = 16 кпк и Го = 20 кпк. Что касается механизма распространения магнитного поля во внешние области галактики, то стоит отметить, что ключевым является не рост магнитного поля in situ во внешних областях галактик, а другой эффект. Поле первоначально генерируется во внутренних областях галактики практически до уровня нелинейного насыщения и затем в виде фронта распространяется в сторону, противоположную центру галактики. Это явление известно в математической физике под названием эффекта Колмогорова - Петровского - Пискунова [50] и характерно для параболических уравнений с малым параметром при лапласиане.

Исследование механизма распространения магнитного поля во внешние области галактики представляет собой отдельную задачу и должно быть рассмотрено отдельно. Для этого используется техника, разработанная в асимптотической теории контрастных структур [7]. 3. Распространение фронта магнитного поля во внешние области галактики.

С целью асимптотического исследования поведения решения переформулируем задачу в безразмерном виде, сделав несколько упрощений, связанных с тем, что мы используем большие расстояния от центра галактики: Функция А(х) связана с альфа-эффектом, В(х) - с дифференциальным вращением, U(x) - значение поля, при котором происходит насыщение механизма динамо. Исходя из физических соображений, логично предположить, что данные функции положительны и монотонно стремятся к нулю с ростом X. Для начала выделим стационарные решения данной задачи. С этой целью положим є = 0 и рассмотрим стационарные решения задачи (т.е. те, при которых производные по времени равны нулю):

Распространение фронта магнитного поля во внешние области галактики

Подобный выбор начальных условий обусловлен тем, что в таком случае начальное поле наиболее близко к собственной функции линеаризованной задачи, и рост поля происходит наиболее быстро. Результаты показаны на рис. 17-18. Для длительности вспышки бралось Т = 2. Рис. 17 показывает ситуацию, когда вспышка происходит на стадии формирования магнитного поля (t0 = 2 млрд.лет). Сплошная кривая демонстрирует эволюцию магнитного поля «спокойной» галактики с темпом звездообразования как в Млечном Пути (X = 1). Пунктирная кривая показывает галактику, темп звездообразования в которой высок, но ниже порогового значения (X = 5). В таком случае рост магнитного поля продолжается, хотя и с меньшей скоростью. Если значение темпа звездообразования близко к порогу {X = 10, штриховая линия), то рост поля останавливается, но разрушения не происходит. Наконец, при крайне интенсивном звездообразовании (X = 15, штрихпунктирная линия) происходит разрушение магнитного поля, и оно восстанавливается лишь по окончании вспышки. показывает вспышку, происходящую уже в современную эпоху, когда магнитное поле уже сформировалось (to = 11 млрд.лет). Сплошная кривая характеризует галактику с темпом звездообразования как в Млечном Пути (X = 1). При умеренном звездообразовании (X = 5, пунктирная кривая) поле практически не меняется. При X = 10, в отличие от предыдущего случае, поле не стабильно, а начинает разрушаться. Это связано с тем, что ввиду нелинейности в коэффициенте Ra (36) его эффективное значение вблизи уровня насыщения оказывается меньше, чем на начальной стадии эволюции галактики. В случае интенсивного звездообразования (X = 15, штрихпунктирная кривая) магнитное поле так же разрушается.

Таким образом, результаты показывают, что влияние звездообразования на магнитное поле действительно носит пороговый эффект: при слабой интенсивности его влияние практически незаметно. Однако, если величина темпа звездообразования превышает определенное пороговое значение, то магнитное поле разрушается и восстанавливается лишь после окончания вспышки. На начальной стадии эволюции галактики критическое значение темпа звездообразования составляет XQ 10. В современную эпоху, когда существенны нелинейные члены в уравнениях динамо, критическое значение оказывается ниже: XQ 7.

Эти оценки, впрочем, базируются на довольно наивных представлениях о звездообразовании и об эволюции магнитного поля. Их можно уточнить, приняв более точные модели как для взаимосвязи звездообразования и свойств МЗС, так и для механизма динамо. 3. Звездообразование и модель магнитного поля с потоками спиральности Описанные выше представления о кинематических характеристиках межзвездной среды базируются на простых линейных параметризациях. Однако, наблюдательные данные показывают, что взаимосвязь между интенсивностью звездообразования и свойствами газа несколько сложнее. Поэтому, требуется использовать более сложные модели. Кроме того, интенсивное звездообразование увеличивает долю ионизованного газа в межзвездной среде и роль потоков вещества в направлении, перпендикулярном к плоскости галактического диска. Эти потоки выносят спиральность магнитного поля, поэтому простейшие представления о динамо, описанные в 2, оказываются недостаточными, и нужно применять уравнения динамо с потоками спиральности. TisFR д , (37) где N - число, определяемое эмпирически из наблюдательных данных. В литературе [99, 100, 101] N колеблется в зависимости от используемой выборки галактик от 1 до 3, а выражение (37) получило название закона Кенникутта -Шмидта.

Для наших целей более актуально знание не поверхностной плотности газа, а объемной. Засовым и Абрамовой [102, 10, 11] показано, что существует подобный закон и для объемной плотности газа р : SFR Р , где согласно данным наблюдений N = 0.94. Таким образом, для плотности газа, которая входит в значение поля насыщения , можно положить:

Магнитная спиральность при вспышке звездообразования на начальной стадии эволюции галактики (модель с учетом потоков спиральности). Сплошная линия показывает случай SFR = 0.004 М0-1кп-2, пунктирная - SFR = 0.01 М0г-1кп-2, штриховая - SFR = 0.02 М0г-1кп-2, штрих-пунктирная - SFR = 0.1 М0г-1кп-2, где VHII = 35 км с-1 - скорость турбулетных движений ионизованного газа, г 0 = 10 км с-1 - скорость турбулентных движений нейтральной компоненты, а к - объемная доля ионизованного газа. Чтобы вычислить ее, рассмотрим звезду, масса которой превышает массу Солнца в 10 раз. Ее время жизни составляет около 107 лет, поэтому поверхностная плотность звездообразования при радиусе галактики R = 10 кик составит: SFR = 3.18 10-9М0г-кпк-2. Отметим, что ключевую роль для большинства астрофизических процессов играет не темп звездообразования сам по себе, а его поверхностная плотность SFR (отношение массы звезд, образовавшихся за год, к площади галактического диска). Поэтому дальнейшие рассуждения будут вестись именно для этой величины.

Дифференциальные уравнения со случайными коэффициентами

Скорости роста магнитного поля 7, полученные численно, показаны в табл.4. Можно отметить, что результаты численного моделирования в целом хорошо сходятся с результатами асимптотических вычислений. Небольшие различия можно объяснить, во-первых, вычислительными ошибками, во-вторых - неточностью асимптотики. В частности, мы пренебрегли членами порядка At2 по сравнению с членами порядка At, поэтому относительная ошибка имеет величину порядка At 10-2. Как видно (ср. таблицы 3 и 4) различие вполне укладывается в данные рамки.

Кроме численных оценок скорости экспоненциального роста магнитного поля 7? даны также скорости роста его статистических моментов, определяемые следующим образом: Отметим, что для всехр (кроме р = 0.00 и р = 1.00, которые по сути описывают детерминистические задачи) старшие моменты растут быстрее младших. Этот эффект называется перемежаемостью и связан с тем, что редкие, но весь ма большие решения дают существенный вклад именно в старшие моменты [38].

Применение уравнений со случайными коэффициентами к задаче о влиянии звездообразования на эволюцию магнитного поля галактик. Модель для магнитного поля со случайными коэффициентам, обсуждавшуюся в предыдущих разделах, имеет смысл применить для приложений, связанных с магнитным полем галактик с интенсивным звездообразованием. Итак, рассмотрим задачу о генерации магнитного поля в галактики в локальном приближении [53]:

Как видно, ключевую роль играет соотношение между скоростью турбулентных движений и угловой скоростью вращения галактики. Учтем теперь процессы звездообразования. Если его интенсивность не очень высока, то полутолщину галактического диска можно считать постоянной [89]. В свою очередь, для скорости турбулентных движений введем следующую параметризацию [53]: ластях, заполненных ионизованным водородом. Далее полагается, что v1 = 35 км/с. Скорость г 2 описывает турбулентные движения в областях, заполненных слабо ионизованным атомарным водородом. Считается, что г 2 = 10 км/с. Вероятность р описывает вероятность того, что случайно взятая точка галактики окажется в области звездообразования. В наиболее простом случае можно полагать, что эта вероятность равна доле, которую имеет ионизованная компонента:

Решение системы уравнений со случайными коэффициентами (49)—(50) для различных . Сплошная кривая показывает случай = 0.004 М0кп-2с-1, пунктирная - = 0.010 М0кп-2с-1, штриховая - = 0.020 М0кп-2с-1. Было проведено моделирование магнитного поля для различных . В качестве начальных условий брались следующие: Скорости роста поля приведены в таблице 5. Типичное поведение поля проиллюстрировано на рис. 28 Критическое значение, при котором прекращается устойчивый рост магнитного поля, составляет величину: сг « 0.018 М0кп-2с-1.

Данный результат в целом близок к тому, что было получено в 3. Это означает, что различные подходы к описанию влияния звездообразования на магнитное поле дают примерно одинаковый результат. Поэтому можно заключить, что при слабой интенсивности звездообразования его влияние на магнитное поле галактики пренебрежимо мало, а при превышении определенного порогового значения крупномасштабная составляющая разрушается и восстанавливается только после окончания вспышки.

Диссертация посвящена моделированию галактических магнитных полей в планарном приближении. В ходе диссертационного исследования были получены следующие результаты.

1. Построена модель для магнитного поля галактики с учетом потоков спи-ральности, учитывающая зависимость поля от расстояния до центра галактики. До этого рассматривались либо задачи без учета потоков спиральности, либо задачи для усредненных по всей галактике полей. Получено, что по сравнению с моделью без учета спиральности выход магнитного поля на стационарное значение происходит более плавно и возможны осцилляции поля вокруг равновесного значения. По сравнению с моделью для усредненных полей амплитуда осцилляции уменьшается.

2. Изучен вопрос о возможности распространения магнитного поля во внешние области галактик. Получено, что в рамках любой из моделей для свойств межзвездной среды будет наблюдаться генерация магнитного поля на расстояниях от центра галактики вплоть до 20 кпк. Итоговая напряженность поля во внешних областях примерно на порядок меньше, чем во внутренних, но заметно превышает значение межгалактического фона. При этом, ключевым механизмом в эволюции магнитного поля является не рост магнитного поля in situ, а распространение волны Колмогорова - Петровского - Пискунова после генерации магнитного поля во внутренних областях.

3. Изучены свойства уравнений, описывающих распространение магнитных полей галактик во внешние области. Построены стационарные решения как для двумерной системы уравнений, так и для модельной скалярной задачи, исследована их устойчивость. Для системы уравнений численно получены скорости распространения фронтов, соединяющих стационарные решения. Показано численно, что для переходных слоев, соединяющих устойчивое и неустойчивое решение, скорость распространения пропорциональна первой степени малого параметра. В свою очередь, для слоев, соединяющих два устойчивых решения, численно показано, что скорость распространения фронта пропорциональна квадрату малого параметра. Для скалярного уравнения строго доказана теорема, позволяющая явно вычислить скорость распространения переходного слоя, соединяющего два устойчивых решения (она также пропорциональна квадрату малого параметра).

4. Изучен вопрос о влиянии звездообразования на магнитное поле. В рамках двух различных моделей (первая не учитывает потоков спиральности магнитного поля, вторая - учитывает) показано, что при слабой интенсивности звездообразования его влияние на эволюцию поля незначительно, а при превышении определенного порога крупномасштабное поле разрушается. В случае модели без учета потоков спиральности порог примерно в 7 раз превышает интенсивность звездообразования в Млечном Пути, в случае с их учетом - примерно в 5 раз.

5. Изучено численно поведение решения уравнения Якоби со случайными коэффициентами. Получены скорости роста и показано, что решения растут экспоненциально. Вычислены коэффициенты, входящие в фундаментальную матрицу.

6. Исследованы свойства уравнений галактического динамо со случайными коэффициентами. Показано, что для них характерно явление перемежаемости, когда старшие моменты растут быстрее младших. Вычислены скорости роста магнитного поля в модели с флуктуирующим альфа-эффектом.

7. С использованием инвариантной меры построены асимптотические оценки скорости роста решения в уравнениях динамо со случайными коэффициентами. Для этого использовалась так называемая инвариантная мера. Доказана теорема о поведении переходной плотности вероятности в случае дискретного распределения коэффициента, отвечающего за альфа-эффект.