Введение к работе
Актуальность темы. Метод конечных элементов широко используется для решения систем уравнений эллиптического типа. Этот метод может применяться для уравнений с разрывными коэффициентами и в случае областей со сложной формой границы, в том числе и в случае областей с входящими углами. В настоящее время, в связи с развитием машинного проектирования устройств СВЧ, интегральной и волоконной оптики представляет интерес разработка эффективных алгоритмов расчета мод волноводов с диэлектрическим залолнением. В качестве одного из наиболее универсальных методов можно рассматривать метод конечных элементов. В то же время применение стандартного метода конечных элементов лагранжевого типа к задаче медового анализа волноводов приводит к возникновению решений нефизического типа. Для устранения подобных решений были предложены различные методы. Однако достаточно эффективные алгоритмы не были построены. Поэтому представляет интерес исследование причин возникновения нефизических решений и методы их устранения.
Целью работы являлась разработка алгоритмов вычисления мод волноводов, исключающих появление нефизических решений. В соответствии с поставленной целью решались следующие задачи:
-
йсследовалие возникновения нефизических решений.
-
Применение метода смешанных конечных элементов к решению задачи вычисления мод.
-
Разработка алгоритмов типа Ланцоша для решения обобщенной алгебраической проблемы собственных значений высокого порядка.
-
Исследование вопросов спектральной теории волноводов. Доказательство полноты системы собственных и присоединенных функций волновода.
5. Рассмотрение вопроса сходимости.
Научная новизна .
1. Метод смешанных конечных элементов позволяет правильно ал-
проксимировать нулевое собственное значение. При этом не возникают собственные значения (с.з.), несвязанные с неправильной аппроксимацией нулевого C.3..
-
Реализован метод типа Ланцоша для расчета нескольких младших собственных значений отличных от нуля. Предложены различные методы исчерпывания, исключающие появление нулевого с.з.
-
Предложена новая постановка, в которой в качестве собственного значения выст-упает квадрат постоянной распространения. При этом исходная задача сведена к задаче для симметричных, но незнакоопределен-ных операторов. Реализован незнакоолределенный метод Ланцоша для решения задачи на с.з.
-
Установлена дискретность спектра волновода с кусочно непрерывным заполнением.
-
Задача о модах волновода сведена к изучению линейного операторного пучка. Введено функциональное пространство, в котором выполняются условия теоремы Келдыша. Доказана полнота системы собственных и присоединенных функций волновода. Рассмотрен вопрос о сходимости метода конечных элементов.
Практическая значимость работы . Предложенный подход позволяет расчитывать дисперсионные характеристики волноводов с малыми затратами компьютерных ресурсов. При применении метода конечных элементов в алгоритмах автоматизированного проектирования усроиств СВЧ и интегральной оптики может быть достигнут значительный выигрыш по сравнению с другими методами.
Апробация результатов работы . Основные результаты работы докладывались на
-
Международной конференции "Лазеры в науке, технике, медицине". Суздаль. 20-22 сентября. 1994.
-
Ломоносовских чтениях МГУ, 1996.
-
Научном семинаре физического факультета МГУ "Численные методы электродинамики" под руководством профессора Свешникова А.Г. и профессора Ильинского А.С.
4. Научном семинаре кафедры математики физического факультета ^ГУ под руководством профессора Бутузова В.Ф.
Публикации . Основные результаты опубликованы в 3 печатных pa-ютах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации . Диссертация состоит из введе-шя, четырех глав и заключения. Обший объем диссертации составляет L16 страниц, включая 15 рисунков и 3 таблицы. Список литературы содержит 88 источников.