Введение к работе
Актуальность теш. Линейная теория поверхностных волн является важным разделом классической гидродинамики, привлекающим внимание математиков и механиков со времен Копш и Пуассона. Несмотря на солидную историю и огромное количество работ теория до сих пор далека от полного завершения. Б первую очередь, среди вопросов, наименее исследованных математически, следует назвать задачи, которые описывают взаимодействие волн с погрукенными в жидкость телами. Именно эти задачи, с другой стороны, наиболее ванны для приложений. Такого сорта задачи естественно разбиваются нз три класса:
-
Задачи об установившихся гармонических по времени колебаниях жидкости, заполняющей слой, который, вообще говоря, имеет переменную глубину и содержит тела, погруженные полностью или частично. Такие задачи описывают процессы излучения волн и их рассеяния препятствиями.
-
Задачи об установившихся волнах, вызываемых поступательным движением полностью или частично погруженного тела относительно жидкости с постоянной скоростью. Они носят собирательное название задача Неймана - Кельвина.
-
Нестационарные задачи о волнах, вызываемых различными возмущениями.
Первые математически обоснованные результаты в линейной теории волн были получены в 30-е годы (М.В.Келдыш, Н.Е.Кочин, М.А. Лаврентьев, Л.И.Седов, Л.Н.Сретенский, Т.Х.Хавелок). Они относились к задачам первых двух классов, для которых были построены функции Грина. При помощи последних задачи сводились к интегральным уравнениям, что позволило установить разрешимость, правда, при довольно жестких ограничениях.
В 50-е - 80-е годы ряд достижений линейной теории поверхностных волн связан с именами Ф.Джона, А.С.Питерса, Дж.Дж.Стокера, Ф. Урселла, Р.М.Гаршюва, А.Фридмана, М.Шинброта, Б.Р.Байнберга, В.Г.Мазья, Дж.Т.Била, С.Ю.Доброхотова и др. Остановимся на некото-
рых результатах, полученных в этот период для задач указанных выше классов.
Ф.Джоном (1950) была доказана первая теорема об однозначной разрешимости задачи об излучении и рассеянии волн полупогруженным телом, на которое был наложен ряд геометрических ограничений. Некоторые из них удалось в дальнейшем ослабить (М.Саймон и Ф.Ур-селл, Е984), а требование перпендикулярного пересечения телом поверхности жидкости было снято в кандидатской диссертации автора (1983). В той же работе Ф.Дкона возникла так называемая проблема иррегулярных частот колебаний, которые образуют стремящуюся к бесконечности последовательность. При таких частотах интегральное уравнение, возникающее при использовании потенциала простого слоя, разрешимо не для .любой правой части. Некоторого успеха в решении проблемы иррегулярных частот - получении интегральных уравнений, для которых они отсутствуют - добился Ф.Урселл (1981). Другой, весьма сложный подход к ней предложен Д.Винертом (1988)".
Первая теорема единственности для задачи об излучении и рассеянии волн полностью погруженным телом была доказана В.Г.Мазья (1977). Б.Р.Вайнберг и В.Г.Мазья (1973) исследовали ату задачу для препятствий, представляющих собой неровности дна определенного вида.
Таким образом, для задачи об излучении и рассеянии волн актуальны следующие два вопроса:
-
Выявление новых классов препятствий (частично и полностью погруженных тел, неровностей дна), для .которых имеет место однозначная разрешимость задачи.
-
Получение интегральных уравнений, для которых отсутствуют иррегулярные частоты.
Задача Неймана - Кельвина изучена в меньшей степени. Давно известны функции Грина для плоской и трехмерной задач (Т.Х.Хавелок, Н.Е.Кочин, Л.Н.Сретенский, А.С.Питере и др.). Н.Е.Кочин (1937) исследовал интегральные уравнения, к которым сводятся плоская и трехмерная задачи для полностью погруженного тела. Он доказал разрешимость при значениях скорости, стремящихся нулю (плоский и трехмерный случал) и к бесконечности (плоский случай). Интеграль-
ное уравнение трехмерной задачи при скорости, стремящейся к бесконечности, совсем недавно изучили Б.Р.Вайнйерг и В.Г.Мазья (1991). Они же отметили в Г973 г., что следствием разрешимости при больших и малых скоростях является разрешимость при всех значениях скорости за исключением, быть может, конечного числа значений. В той же работе 1973 г. получено необходимое и достаточное условие однозначной разрешимости плоской задачи для полностью погруженного тела.
Первая работа, относящаяся к плоской задаче Неймана - Кельвина для полупогруженного тела, опубликована Ф.Урселлом (1981). В ней на частном случае полупогруженного кругового цилиндра обнаружено, что уравнении, краевым условиям и условиям на бесконечности, которые составляют классическую постановку задачи Неймана - Кельвина, удовлетворяет семейство решений, зависящее от двух вещественных параметров.
Таким образом, первоочередным вопросом является отыскание корректной постановки плоской задачи Неймана - Кельвина для полупогруженного тела, т.е. формулировка таких дополнительных условий, которые обеспечивали бы однозначную разрешимость, возможно, при каких-либо ограничениях. Далее, следует развить аппарат, позволяющий находить решение задачи.
Для задач, относящихся к третьему классу, ряд теорем об однозначной разрешимости доказан Р.М.Гариповшл (Ї967), А.Фридманом и М.Шинброгом (1967, 1969) и др. К нерешенным вопросам в этом классе задач относится обоснование при помощи асимптотических методов некоторых классических эвриктических рассуждений. Например, рассуждения, интерпретирующего начальное значение потенциала скоростей на свободной поверхности как импульс поверхностного давления.
Цель работы. Для задачи об излучении и рассеянии волн: описать новые классы препятствий, для которых имеет место однозначная разрешимость; при наличии теоремы единственности свести задачу к однозначно разрешимым интегральным уравнениям. Найти корректные постановки плоской задачи Неймана - Кельвина для полупогруженного тела и разработать аппарат отыскания решений. Исследо-
вать асимптотическое поведение решений нестационарной задачи, отвечающих кратковременным и быстро осциллирующим воздействиям на жидкость. В частности, рассмотреть воздействия указанных видов, которые оказывают поступательно движущиеся объекты (погруженное гало, поверхностное давление). Изучить свойства некоторых функционалов от решений нестационарной задачи.
Методика исследования. При исследовании вопроса о единственности решений стационарных задач основным аппаратом служит метод интегральных тождеств и неравенств. Разрешимость указанных задач доказывается при помощи методов теории потенциала. Асимптотические свойства решений нестационарной задачи изучаются при помощи техники сингулярных возмущений, в частности, метода усреднений
Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результатне
-
Для задачи об излучении и рассеянии волн найдены новые классы препятствий, для которых реиение единственно. В частности впервые получена теорема единственности для плоской задачи при наличии двух полупогруженных тел.
-
Предложена однозначно разрешимая система интегральных уравнений для задачи об излучении и рассеянии волн.
-
Получены двусторонние оценки собственных частот для плоских колебаний жидкости в канале.
-
Впервые для полупогруженного цилиндра с произвольным поперечным сечением найдены корректные постановки плоской задачи Ней мана - Кельвина и получены необходимые, и достаточные условия ее однозначной разрешимости.
-
Разработан аппарат отыскания решения для корректных поста новок плоской задачи Неймана - Кельвина.
-
Получены двухмасштабные по времени асимптотические разложения для решений нестационарной задачи, отвечающих кратковремен ньм и быстро осциллирующим возмущениям. Найдены оценки остаточны членов.
-
Обосновано классическое эвристическое рассуждение, служащее для интерпретации начального значения потенциала как импульса поверхностного давления.
8) Обнаружен эффект снижения волнового сопротивления для некоторых тел при переходе от движения со средней скоростью к дви-кению с быстро осциллирующей поступательной скоростью.
Приложения. Результаты работы могут быть полезны в гидродинамической теории качки корабля, теории корабельных волн и волнового сопротивления, геофизической гидродинамике.
Публикации. По теме диссертации автором опубликованы работы
Апроб/ация работы. Результаты диссертации докладывались на зледущих конференциях и школах:
-
им. И.Г.Петровского (1985, 1986 гг., Москва);'
-
"Теория операторов в функциональных пространствах" (1987 г. Тамбов; 1989 г., Новгород);
-
"Граничные интегральные уравнения" (Г988 г., Пущино);
-
"Современные проблемы механики жидкости и газа" (1988, :990 гг., Иркутск);
-
"Динамические задачи механики сплошных сред" (1988 г., 'еленджик);
-
"Гидродинамика больших скоростей" (Г989 г., Чебоксары);
-
им. А.Н.Крылова (Ї989 г., Ленинград);
-
"Спектральные и эволюционные задачи" (1990 г., Ласпи, рым).
Кроме того, результаты докладывались в I986-I99I гг. на семи-:арах Н.Н.Поляхова; В.М.Бабича; М.Ш.Бирмана и О.А.Ладыженской С.-Петербург); С.В.Нестерова и С.Я.Секерж-Зеньковича (Москва); .В.Овсянникова (Новосибирск); В.А.Марченко (Харьков).
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, етырех глав и двух приложений. Общий объем диссертации - 344 стр. аїлинописного текста; в том числе рисунков - 20, таблиц - 5. Спи-ок литературы составляет 146 наименований.