Введение к работе
:..-а І
——-Акттальность темы. Начально-краевые задачи для квазилинейных и нелинейных дифференциальных уравнений с-частными производными являются в настоящее время одним из интенсивно развивающихся направлений математической физики, так как они описывают реальные физические процессы при больших скоростях, высоких давлениях и температурах. При составлении математических моделей таких процессов возникает, как правило, система дифференциальных уравнений.При попытке сведения ее к одному или меньшему числу уравнений могут появиться в коэффициентах интегралы от разыскиваемой функции и ее производных, которые определяют нелокальный оператор над неизвестной функцией.Подобные уравнения возникли фглаически одновременно с дифференциальными уравнениями с локальными коэффициентами, однако их математическая разработка началась относительно недавно. Это объясняется в частности тем, что первоначально были неясны свойства уравнений дане с локальными коэффициентами, не содержащими интегралов. К настоящему времени теория разрекимости квазилинейных уравнений с локальными коэффициентами построена в своей фундаментальной части по крайней мере для случая уравнений второго порядка. Тем самым на очередь встали более общие уравнения, в том числе квазилинейные дифференциальные уравнения, содержащие в своих коэффициентах интегралы от разыскиваемой функции и ее производных.Пос-, леднему классу уравнений посвяиена диссертация.
Цель работы и общая методика исследования. Цель работы заключается в том, чтобы выяснить границы применит/юсти Известных теорий о разрешимости квазилинейных дифференциальных уравнений с локальными коэффициентами к новому классу уравнений в частных производных с нелокальными операторами в коэффициентах, изучить особенности таких уравнений и создать новые методы их исследования. При этом используются и развиваются идеи о разрешимости общих нелинейных операторных уравнений, предложенные в работах Ю,А.кубинского, СИ.Похожаева, .Т.-Л.Лионса и других авторов, а также методы исследования квазилинейных и нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными, изложенные в работах В.А.Галактионова, А.В.Иванова, С.Н.Кружкова, Н.В.Крылова, 0.А.Ладыженской,Н.Н.Ураль-цевой,А.Фридмана, Н.Н.Яненко и многих других математиков.
Научная новизна. В диссертации впервые установлены следующие результаты.
-
Предложен и разработан метод решения нелинейных эволюционных уравнений с условно слабо замкнутыми операторами. Установлены также теоремы о гомеоморфизмах, осуществляемых такими операторами.
-
Получены георемы о существовании решений квазилинейных параболических уравнений высокого порядка, содержащих в коэффициентах оператор Вольтерры, примененный к степеням пространственных производных разыскиваемой функции.
-
Найдены условия существования решений одного класса уравнений, возникающих в задаче о диффузии магнитного поля в вещество при учете нагрева тела.
-
Доказаны теоремы о существовании решений квазилинейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерры при условии подчиненности интегрального оператора локальному, а также при возможном вырождении коэффициентов уравнения.
-
Выделены классы квазилинейных уравнений Вольтерры, а также класс существенно нелинейных уравнений с сосредоточенной главной частью, допускающих классические глобальные решения,
-
Установлены условия существования решения задачи Коши для квазилинейных гиперболических уравнений с функциональны:.! коэффициентом при пространственных производных для начальных данных бесконечной гладкости.
-
Получены теоремы о существовании решения задачи Коей для систем дифференциальных уравнений в частных производных с функциональным коэффициентом при пространственных производных для началь- ' ных данных конечной гладкости.
Теоретическая и практическая значимость. Разработанный в диссертации метод услолно слабо замкнутых операторов объединяет как новые классы операторов, так и хорошо известные ранее, например, монотонные коэрцитивные или операторы полуограниченной вариации. В этом теоретическая значимость работы. Кзучэнные в диссертации классы дифференциальных уравнений с частными производными имеют своим .источником математические модели конкретных физических процессов. Примером служит система, описывающая процесс диффузии переменного магнитного поля в вещество при учете нагрева тела, детально изученная в диссертации. Еадача о диффузии магнитного поля весьма актуальна в настоящее Еремя и служит источником многочисленных исследование как в теоретическом плане, так и в плаке экспериментальной проверки теоретических результатов. .Многие задачи меха-
ники и физики описываются системами дифференциальных уравнении с частными производными. При сведении такой системы к одному уравнению в его коэффициента:: наряду с частными производными могут появиться также интегралы от разыскиваемой функции и ее производных. Результаты диссертации раздвигают границы применимости строгих математических методов к подобным задачам.
Активный интерес к нелинейным физическим процессам, характерный для настоящего времени, породил ряд задач, которые сведены к нелинейным уравнениям Вольтерры. Примером служат задачи вязкоупру-гости, а также нелинейной теплопроводности для материалов с памятью. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при решении таких задач. Уравнения и системы дифференциальных уравнений с функциональными коэффициентами, рассмотренные в работе, также возникают при описании конкретных физических задач, таких, как колебания упругой растяжимой струны, или при математическом описании процесса полимеризации. Результаты диссертации г.гаяно использовать во всех указанных направлениях исследований и близких к ним.
Апробация саботы. Основные результаты диссертации докладывались в школах по теории операторов в функциональных пространствах /Новосибирск - 1975 г.,Новгород - 1976 г..Новосибирск - 1979 г./, в Воронежской зимней математической пколе /1972, 1973, 1973 гг./, на Всесоюзной конференции по уравнениям с частными производными, посвященной 75-летию со дня рождения И.Г.Петровского /Москва -1976 г./,' ..'fa Всесоюзной конференции, посвященной Дню советской науки /Тула"- 1988 г./, на 5-ой Республиканской конференции "Нелинейные задачи математической физики" /Донецк - 1937 г./,на Второй Северо-Кавказской региональной конференции по функционально-дифференциальным уравнениям /Махачкала - 1988 г./, а такав на ежегодных научно-практических конференциях профессорско-преподавательского состава Тульского политехнического института. Детально результаты неоднократно докладывались на семинаре по нелинейным дифференциальным уравнениям под руководством чл.-корр. АН СССР С.И.Похожае-ва. В целом диссертация доложена на объединенном научно-исследовательском семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством чл.-корр. АН СССР С.И.Похожаева, проф. Ю.А.Дубинского и проф.С.А. Ломова в Московском энергетическом институте, а также на семинаре отдела в Институте прикладной математики АН СССР им.М.В.Келдыша.
.-6-
Публикации т Основные результаты диссертации опубликованы в 29 работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка цитированной литературы и занимает 267 страниц машинописного текста. Библиография содержит 139 наименований.