Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. Построение явных формул для'точных ре-ионий .многих модальных уравнений в квантовой теории или реальных задач математической физики, как правило, оказывается невозможным. Однако во многих случаях такие уравнения явно, или.' после некоторых преобразовании, оказываются зависящими от некоторого малого параметра "ft . этой ситуации одним из наиболее иоцншс средств исследования задачи являются асимптотические методы построения приблихевных раиений, удовлетворяющих уравнении с заданной степенью точности по этому пираметру.
Постановка широкого класса задач с малым параметром, возникающих в квантово» теории, yv идываатся в следующую общую схему. Пусть набор самосопряженных операторов 3-, ,..., Зт в.тиль -бертовон пространстве образует неприводимое представление некоторой алгебры Ли сі с коммутационными соотношениями
UyAl--"»kei« ^ > ..'- (D
«* 'д.
где ";*. - структурные констьнты алгебры Ли, а число Ъ > о -
вещественный малый параметр. Произвольной гладкой функции НС"Ц^лч --> Ч^ сопоставим оператор HCt.TO .получающийся вейлевской (симметричной) подстановкой операторов X в функцию Vi(i<^) . Требуется исследовать некоторые двойства квантовой системы с гамильтонианом Ц(Л,3^ в квази-^ классической ариблияении, когда параметр Ъ в коммутационных соотношениях (I) стремится к нули. Такого сорта задачи с гамильтонианами, заданными как функции от образующих достаточно.
- I* -
сложных алгебр Ли, появ.-яются в теории электров-фониого взаи
модействия, в моделях типа Гойзенбарга и БКШ, в теории Яига -
Ыилса и -).л. другой богатыи класс прииеров дааі теория возиу-
чданий смогам, обладающих некоыкугативяши алгобраии симметрии.
В диссертации разливаются методы построения решений ъ ря
де задач квазяклассического приближения для гаиияыонианоь
неприводимых представлениях некоторых яолулроетых алгебр Ли,
когда схарлии вес представления стремится к бесконечности. В
главо I диссертации разобран общий случаи кошшстнои подупрос-
той алгебры Ля о\, . В квоз.іклассйческом приближении рассмат
ривается задача на собственные значения для оператора НСЗ4} с
произвольным гладким спидолой Н^С) єСл(оі') , Задача
об асииптогкчаских собственных пункциях - "кваз.шодах" - операторов такого ляда является одним из иалнюГйаяравланлй теории квазикдассачосхого приближения. Для случая алгебри Гойзенбарга - Бейдя (т.е. для обичьих псевдода.ЭДереыцнальних операторов Н(*,-'^^д) , А Й ; о) я Ыл ) различные аецокты этой задачи подробно рассвитрнааллсь в ^ундаионгальних работах В.П.иаслола, ЛЛёрыандера, В.И.Бабача, дГиллиина, ССтерн-борга, B.U.Буслаева, А.Веинсте.ша л др,, в которых бидн заложены основы теории кьазлклассичаского приближения и с^ориулирова-ны общие принципи построения квазпиод. Лин других алгебр Ли (и даже более общих луассоновскмх алгебр) задача квазикласси-чосного приближения изучалась в роботах ІІ.В.Карасива и В.Я.Цас-лоьа в рамках метода асішиготическогс квантования общих сиип-лектдческях Шіогообразіііі^, В л'с і случаз оператори лредставло-ния «Г фактически действует в пространства сечении пучка ГСО-^ ' ростков осцпдларуьАпх функции над ;>ьзовцц просграаст-
вой SI соответствующей классической.люгеыы. Однако, на сечениях пучка Г (SI4) . на удается определить скалярное про- . иэваденио, i.e. структуру гильбертова пространства, и, как следствие, выделить явно неприводимые представления. Отметим также, что все результаты в цитированных выше работах основаны на громоздких склеИках локальных ВКБ-асимптотик, В работе*) Дж.Курчана, П.Лебоофа и М.Сарацэно.для случая алгебр %и(г) и улН.Л било получено глобальное представление для квазимод в виде интеграла от когерентных состояний соответствующих групп Ля по всему фазовому пространству S1 (сфере и гиперболоиду). Вместе с теы, эти результаты не иогуг быть применены к неаналитическим гамильтонианам и, кроме того, они на используют главный объект квантования - классическую траекторию га-иилыонова потока в i или классические лиувиллэвски'е торы в многомерной случав или иные классические инвариантные подмногообразия.
В работе*3^ Ц.В.Карасева (Чла предложена простая интегральная формула для квазимод в случае алгебры 7v5h . Основной анзатц здесь задается интегралом от специальных - "лагранкевых"-- Л-когерентных состояний группы W^ по* нлассическому ин- . вариантному лагранжввоиу или изотропному подмногообразию Л с' ^ '. Ииенно этот подход к построению квазиклассических асимптотик развивается в диссертации для случая компактных полупростых алгебр Ли. Построенная в диссертации система Л -когорантных состояний в этом общем случае лозголяег также по-новому'взглянуть на проблему квантования орбит ^присоединенного представ-
х) КигсЬа* 3., Le&oeuS Р.,5агасе*о М-Р1^"*- Re*. ^-»
1989, 40, 6800-6813.
хх) Карасев М.В. - Записки научных сеиннаров ЛОМЙ (Ленинград, 1989, ГС, 41-5*.
явний в Оі . в отлична or известных cxeu геометрического (А.А.Кириллов, Б.Костант, Д,Сурьо) а .асамлтогмчеокого квантования (М.В.Карасев, В.А.Ыислов) представление алгебри <н здось удается реализовать не в просіранотва сечений расслоении или пучка над Я1 , а в пространства ункцяй на произвольной квантуемом лаграняевом подмногообразии Л с & . Помимо задачи на собственные значения d главе і рассмотрена задача Коли, в частности, построена исниптотика фундаментального решения,
В главе (І диссертации разобран ряд задач для динвйнах а ' квадратичных гашштошіаноз над яолулростшм алгебрами Ли: Ъи(^ и V«Ci.f) . в частности, получены простыв формулы для квиаимод квантового волчка Эйлера при больлои моменте количества движения і ~> <« с точностью 0(&CS*) . Эта часто встрачаша~ся в физических моделях задача раню рассматривалась в работах Р.А.Брауна, Ц.В.Кирасева и работе Д*.Курчаиа, й.Леаое.ьь и Н.Сародено преимущественно с точки эранаа вопроси оо асимптотика собствэнных чиоел.
Б диссертации рассматривается такве задача о рвлвниях Фдокв авилхцаонного уравнения ^ля квантового волчка Эйлера, коэффициенты которого периодически зависят от времени. Это аадача, возникавшая, как в кваиї^ьой (A.byрдао, А.Б.Ыасалоь), так и в обычной оптике (В.и.БаОич, В.С.Булддрае, В.Ф.Лазуткин), с-тнелнтся к классу квазаадиао'атичеекпх. Для случая алгеоры xJt иодход к радения таких задач на осново квантования нвлаграи-ьевцх адиабатических торов бьл сформулирован в работе*' Ц.В .Карасеві,. В диссертации эта техника переносится на налила.В.Каьасев - Зуикц. ьиьлла а иго лр.иа еьан. ІУїЮ, 2ft, ІО*»-Ш.
неявне фазовые пространства (сферу, гиперболоид). В третьей '. ;
главе диссертации задача о периодической волчке Эйлера рас
смотрена, как, составная часть построения асимптотических ре
шений уравнения Гельмгольца, сосредоточенных вблизи устойчи
вого вырокденного луча. _,
' Во многих физических моделях квантовый'гамильтониан ис
ходной задачи может быть записан как линейная функция от гене
раторов никоторой алгебры Ли. В этом линейном случае асимпто
тические формулы для квазимод, решений задачи Коши, фундамен
тального решения я релений флоке,' построенные в диссертации
для компактных полупростых алгебр Ли, дают точные ответы с'о-
огветствующих задач. , '
ЦЕЛЬЮ РАБОТЫ является развитие методов построения асимп
тотических решений в задачах квазиклассического приближения
с.гамильтонианами в неприводимых представлениях компактных ' - .
полупроотых алгебр Ли при помощи енотом обобщенных когерена- '-'
аых состояний групп Ли и.их применение к решению конкретных
физических задач и некоторых проблем теории представлений, в
частности, проблемы кванізвання коприсоединенных орбит.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА " _
-
Построены унитарные неприводимые представления компактных полупроотых групп Ли в пространстве функций на'произвольном квантуемом лагранжезом подмногообразии,'заданном в копри-соединенной орбите. "
-
Прэдлокены простые интегра^ные асимптотические формулы для собственных векторов и для решений задачи Кошл с произвольным гладким гамильтонианом над компактной полупростой ая-^ геброй Ли, когда старший вес представления стремится к бесконечности. В частности, построена асимптотика фундаментального реаения. Аналогичные.задачи решены для случая некомпактной
- в -
простой алгебры ъиЛ-м*! . Для гамильтонианов линейно зависящих от генераторов представления алгебры Ли рассмотренные задача ращены точно.
-
Для квадратичных гамильтонианов над алгеброй Vuu") , т.о.'для квантового волчка Эйлера,, построены асимптотические собственные функции и вичислена собственные значения при большой ыоыэнте количества движения ^-* ^-- о точностью (9(>"^
-
Рассмотрено квазиадиобатяческоа эволюционное уравнение для квинтового ьолчіса Эйлера, коэМициеиты которого периодически зависят от времени. Построены его асимптотические решения Флоке и вычислены соответствующие показателя Флоке о точностью (XVг>) в тэршшах классической динамики на cj/epe. Для линейных гамильтонианов над алгебрами WW и V*(3,V}
с периодическими от времена ноэ-ЭДщиентани излучены простые точные формулы двл полного набора решений Флоке.
5. На осново сяаноБідс когерентных состонний двумерного
в-фожденного осциллятора предложены новые конструкции асимпто
тических роаешіи уравнения Гельигольца» описиваьцаго распро
странение периодической электромагнитной водны вблизи устойчи
вого вырожденного луча.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ ДИССГТАЦЙИ. Работа носит теоретический характер. Развитии в диссертации метод дает возможность эффективно строїш квазаклассическае асимптотика в различных задачах квантовой теории с гаиидьгонианамн. в неприводимых представлениях яодуяростых алгабр ли. Полученные в диссертации результаты могут быть исйользовьны при изучении квантовых систем с сиыметршши, в теории представлений и задачах квантования общих сиыллектических иаогообрьзиа.
Иагери^лм лпссергсіци.! могут нааги лр.шанеїш в работах, ведущихся по сходной тематике на uax.-.'іаїоиатпчискои ±ж]..ъы-
їв МГУ, в Объединенной инотизуїв ядерних исследований, Maieua- . тичвском институте иы.В.А.Стеклова РАН и других научно-исследовательских институтах и вуаох.
А'ЯРОЕАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ« Маториалн диссертации докладывались на научных семинарах кафедры Прикладной математики МИЭМ, на цеядународноы коллоквиуив ни. Ли и Лобачевского "Группа Ли а однородные пространства" (Тарту, .1992), на международной конференции паияти проф. Я.И.Сшродинского "Методы симметрия в физике" (Дубна, 1993), на международной конференции "Асишь, тотичоские методы в теории распространения волн" (С.-Петербург, IS93), на международной натепатической шкоде "Геометрические методы в физике" (Кацивели, 1993).
ПУБЛИКАЦИИ Пи ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ. Основное содержание диссертации опубликовано в 3 работах.
ОБЪЕИ Й СТРУКТУРА РАБОТЫ. Диссертация изложена на 133 страницах машинописного текста и состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы и списка литературы из 91 наименования.