Введение к работе
D диссертации построены квазиклассичеекие спектральные серии для некоторых многомерных классически нс.интегрируемых гамильтонианов.
Актуальность темы.
Проблема построения серий асимптотических (А —» 0) собственных функций и собственных значений (квазиклассических спектральных серий) квантовых гамильтонианов - одна из основных при квазиклассическом подходе в квантовой механике.
Общая концепция построения квазиклассических асимптотик в этом случае для многомерных квантовых систем была создана в основополагающих работах В.П. Маслова. Разработанный им метод канонического оператора (с вещественной фазой) связывает построение квазиклассических спектральных серий (квазимод) с геометрическими объектами в 2п-мерном фазовом пространстве. - n-мерными лагракже.выми многообразиями (в случае финитных условно-периодических движений классической системы -n-мерными лагранжевыми торами). Следует подчеркнуть, что этот метод предъявляет весьма жесткие требования к классической системе. А именно, требуется иметь не один, а целое n-параметрическое семейство лагранжевых торов, что гго-существу эквивалентно полной интегрируемости классической системы.
В неинтегрируемом случае семейство и-мерных лагранжевых торов не существует. Тем не менее, неинтегрируемал система может обладать лагранжевыми торами размерности к меньшей, чем размерность п конфигурационного пространства (0 ^ к < п) - изотропными торами. При дополнительных условиях устойчивости инвариантных изотропных торов им также могут буть сопоставлены квазиклассические спектральные серии (квазимоды) с помощью комплексного метода ВКБ, основанного на теории комплексного ростка В.П.Mat-лова. При этом, асимптотики волновых функций почти везде аппроксимируются функциями вида Ф ~ exp jSv, где, в отличие от обычного (вещественного) метода ВКБ, фаза S комплексна, причем ImS(x) ~^ 0. Это приводит к тому, что функции Ф обладают следующим характерным свойством: в пределе * и й —> 0 они локализованы в малой порядка й1'2 окрестности области "света", где ImS{x) = 0, представляющей собой проекцию изотропных горов Л на конфигурационное пространство.
В случае к = 1 - замкнутых фазовых кривых без фокальных точек (орби-тально устойчивых в линейном приближении) - такого рода локализованные асимптотики были построены в работах В.М.Бабича, В.Ф.Лазуткина, Дж.Ральстона, А.Д.Крахнова. Условия квантования эллиптических фазовых орбит изучались также В.Гийемином, Дж. Дейстерматом, А.Воросом, И.Колин-де-Вердье и др. Общие конструкции квазиклассиче.ского приближения в "промежуточном" случае ] $; к < и и соответствуюгдие. форму-.лы для квазимод - комплексный канонический оператор Маслова - были предложены в работах СЮ.Доброхотов;; и ВВ.Веловч. Геометрическим обобщением этих конструкций, е том числе и на нелинейные фазовые пространства, является интегральное представление для квазимод, иалучеп-
Typeset In AjuS-Vff.
ное М.В. Карасевым.
В настоящее время (в контексте общей проблемы квантования классических систем є хаотичіч юі.м iioui-дсішсм) лі.ічи гельнсіе число публикаций посвящено исследованию конкретных классически неинтегрируемых моделей и их квантовых аналогов. Среди физически наиболее важных и чрезвычайно интересных с математической точки зрения анизотропная задача Кеплера, атом водорода в однородном магнитном поле, анизотропный атом водорода в магнитном поле, атом гелия: двумерные неинте.грируемые системы: пара связанных нелинейных осцилляторов, система с потенциалом Хенона - Хейлеса и ряд других.
Поэтому любая информация о спектре и волновых функциях таких систем чрезвычайно важна как с практической, так и с теоретической точки зрения.
Примечательной особенностью всех этих моделей является наличие глобальных отражательных симметрии потенциала. Неподвижные точки соответствующих канонических дискретных преобразований определяют линейные инвариантные симплектические многообразия соответствующих га-мильтоновых систем. Сужение исходной гамильтоновой динамики на эти многообразия оказывается вполне интегрируемым, что позволяет найти инвариантные изотропные многообразия размерности 1 и 2 (в случае трехмерных моделей с аксиальной симметрией), которым можно сопоставить квазиклассические серии собственных значений и собственных функций соответствующей квантовой задачи.
Цель работы.
Целью работы является построение: на основе комплексного метода В КБ новых квазиклассических спектральных серий скалярных и матричных операторов квантовой механики, соответствующих некоторым модельным не-интегрируемым гамильтоновым системам с аксиальной и дискретной сим-метриями.
Научная новизна.
Найдены новые спектральные серии (оператора Шредингера) для классически неинтегрируемых моделей - системы двух связанных нелинейных осцилляторов и анизотропной задачи Кеплера в однородном магнитном поле. .Для последней модели впервые построены спектральные серии (операторов Паули, Клейна-Гордона и Дирака), учитывающие спин электрона, а также релятивистские эффекты.
Для пары связанных нелинейных осцилляторов построенные квазиклассические спектральные серии равномерны по классическому параметру задачи, входящему в потенциал. Показано, что соответствующие области значений этого параметра определяются индексом Гельфанда-Лидского -номером зоны устойчивости уравнения в нормальных вариациях.
Ценность результатов.
Полученные новые конкретные формулы для квазиклассических спектральных серий возбужденных состояний атома водорода в предельных случаях слабого и сильного магнитного поля представляют интерес в спектроскопии для интерпретации как лабораторных, так и астрофизических
данных по идентификации атомных спектров. В частности, получены явные формулы для расщепления энергетических уровней (с учетом спина электрона) и в промежуточной области, где магнитное и кулоновское взаимодействия одного порядка, наиболее трудной для исследования другими приближенными методами расчета.
Идея построения изотропных торов, пригодных для квантования, на осно ве дискретной отражательной симметрии потенциала может быть полезна при исследовании более сложных многочастичных квантовых систем с глобальной дискретной симметрией, таких, например, как атом гелия.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ.
1. V.V.Belov, J.L.Volkova Investigation of The Zeeman Effect in Quasiclassical
Trajectory-Coherent Approximation, Preprint No.35. Tomsk Scientific Centre, USSR
Academy of Sciences, Siberian Division, Tomsk, 1991. 29p.
2. V.V.Belov, J.L.Volkova The Zeeuian Effect: A Semiclassical Trajectory-
Coherent Approximation, Russian Journal of Mathematical Physics, vol.l(1993),N
4,p.409-427.
-
V.V.Belov, J.L.Volkova Quaxicla-ssical spectral series of the Schrodinger and Klein-Gordon operators for hydrogen atoms in homogeneous magnetic fields, "Particle physics,gauge fields and astrophysics'" Proceedings 5th and GUi Lomonosov conferences on Elementary Particles Physics, Accademia Nazionale tlei Liucei, Italy, 3994, p.60-70.
-
V.V.Belov, V.M. Olive, J.L.Volkova The Zeeman effect for the "anisotropic hydrogen atom" in the complex WKB approximation: Quantization of closed orbits for the Pauli operator with spin-orbit interaction, J.Phys.A: Math. Gen. 28(1995) 5799-5810.
-
V.V.Belov, V.M. Olive, J.L.Volkova The Zeeman effect for the "anisotropic, hydrogen atom" in the complex WKB approximation: Quantization of two-dimensional Lagraugian tori (with focal points) for the Pauli operator with spin-orbit interaction, J.Phys.A: Math. Gen. 2S(1995) 5S11-5S29.
6. .V.V.Belov, V.M. Olive, J.L.Volkova The Zeeman effect for the "anisotropic
hydrogen atom" in quasiclassical approximation, Part I: The Schrodinger operator,
Preprint No.128, CINVESTAV, Mexico,1993, 25p.
-
V.V.Belov, V.M. Olive, J.L.Volkova The Zeeman effect for the "anisotropic hydrogen atom" in quasiclassical approximation, Part II: The Pauli operator with spin-orbital interaction, Preprint No. 129, CINVESTAV, Mexico, 1993, 16p.
-
V.V.Belov, V.M. Olive, J.L.Volkova The Zeeman effect for the "anisotropic hydrogen atom" in quasiclassical approximation, Part III: Approximation of Quasi-classical Spectral Series for Strong and Weak Magnetic Fields (Schroedinger and Pauli operators), Preprint No.137. CINVESTAV. Mexico, 1993, 35p.
Апробация результатов. Материалы диссертации докладывались на пятой и шестой Ломоносовских Конференциях по физике элементарных частиц (Ярославль, 1992, Москва, 1993), научно-технической конференции, аспирантов и молодых специалистов МГИЭМ (Москва, 1994), Second Interna-' tional Workshop on Squeezed States and Uncertainty Relation (Москва, 1992).
Структура работы. Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на 12 параграфов, приложения к главе II и списка литературы.