Введение к работе
Актуальность темь*. Исследованию интегральных уравнений вида
Г jtfCx-y3fCy3dy дСхЭ С1Э
Crf - вообще говоря, обобщённая Функция} посвящена обширная литература. Оонимо саностоятельного математического значения уравнения с разностный ядром ОЭ Синаче '- уравнения, в свёрткахЭ инеют немалую ценность с точки зрения приложений и являются однак из важнейших математических средств решения прикладных задач. Они- находят применение в различных областях физики, техниэси и экономики, в том числе в теории упругости, в аэрогидродинамике, электростатике, в задачах оптимального прогноза, в теории дифракции, в теории синтеза антенн, в квантовой статистической физике. Причиной возникновения уравнений с разностным ядрон является определённая однородность рассматриваемых процессов.
Операторы свёртки, определённые левой частью равенства СО, возникают также во многих разделах математики, в частности в алгебре и анализе, в теории дифференциальных уравнений, теории тригонометрических . рядов. в теории вероятностей.
Как правило выделяют, три существенно различных класса уравнений в свёртках ОЭ:
ср П — R Cd-мерное пространство Э,
СЦЭ Л — Kd Сполупространство Э.
С1ЦЭ О ~ компактная областьв К .
9 случае CI; решение ГСхЭ уравнения С15 находится при
юноши преобразования Фурье. Для решения уравнения С15 иэ
класса СЦЭ Е.Винером. Е.Хопфом и СнезависимоЭ В.А.Фоком был
зазработан метод факторизации Снетод Винера-Хопфаї.
Значительно сложнее дело обстоит с уравнениями С1Э из класса
-IIP- Для которых точных методов решения нет. Работы
эбшего характера, посвященные уравнениям класса СЦР .
сасаются главный образом вопросов нётерозости
- * -
СфредгольмовостиЗ или только нормальной раэрешиности и постро»ннй соответствующих регуляриэаторов. Однако большинство задач класса СЦР. важных и интересных для приложений . носят асинптотический характер, отвечающий гомотетическому расширению области О : t « diam-Cl * оо. Удобно выделять большой параметр t явно и ннеть дело с уравнением
tdf j*CtCx-y>)fCy3dy - дСхЗ С23
Сгде О с R* - фиксированная область?. элементарно связанным с уравнением ОЗ.
Цель работы состоит в асимптотическом исследовании резольвенты оператора А
(АОСхЭ »tdf jrfC«<5«-y3)fCy3dy. СЗЗ
1 Jo
при т - да Сдля облаї. гей О с гладкой границей и
шварцевских функций *t Э,а также следа функции ti"FC*}
такого оператора Сдля аналитических функций р 3. В
одномерной случае С d=l ft - интервал}, основной целью
работы является асимптотическое описание решений уравнения С 23, если символ оператора
аСО » UxpC-txOjtfCx3dx
имеет особенности Снули и^нли разрывыЭ.
Общая методика исследования основана на комбинировании
четырем идей: классических метода Винера-Хопфа и
альтернирующего метода Шварца Си в определенной степени - их обобаенийЗ, известной Св проекционных кетодахЗ формулы Козака и, по-видимому, нового понятия оператора отражения.
Научная новизна. В работе получены следующие результаты:
- эффективное разложение резольвенты оператора А при
t »!>. полное в степенных порядках;
асннптотичеггкое разложение слела tr-p(A J Св одномерном случае упомянутые разложения найдены для более широких класссЕ< функций я! и F 3;
асимптотическое разложение СправогоЗ обратного оператора а"* в одномерно» случае СО- интервал 3 для символов с
одной С конечной} особой точкой.
Практическая ценность. Результаты, касаюииеся спектральных характеристик оператора А . находят применение в задачах оптимального синтеза и прогноза.
Асимптотические формулы для обратного оператора важны для решения реальных задач аэрогидродинамики надводного и подводного крыла. в задачах электростатики и квантовой статистической физики, в задачах дифракции.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах ЛОМИ в 1984. 1987. 1989 и 1950 гг. . на республиканской конференции по функциональному анализу в Одессе в 195С г. , на школе по теории распространєчия волн в волноводах в Одессе в 1990 г.. на международной * -жференции по квазиклассическим методам и микролокальному анализу в университете Париж-Норд в 1991 г.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах. [ 1-1] .
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения и двух частей с автономной нумерацией формул. Каждая часть содержит приложения, куда вынесены доказательства вспомогательных аналитических фактов. Общий объем диссертации 168 машинописных страниц. Список литературы содержит 94 наименования.