Введение к работе
Актуальность темы. В современной релятивистской теории поля фундаментальную роль играют геометрические понятия. В частности, калибровочному полю Янга-Миллса соответствует геометрическое понятие связности на главном расслоении. Для описания гравитационных эффектов в теорию вводится метрика пространственно-временного многообразия и метрическая связность, которая определена с точностью до тензора кручения. Понятие кручения было введено в геометрию Э. Картавом более семидесяти лет назад (геометрия Римана-Картана) и в последние годы привлекает большое впимание возможная роль этого понятия в теории поля в связи с интересом к теории струя, теориям типа Калуцы-Кленна и попытками построения квантовой теории гравитации. Было также показано, ч-гр геометрия Римана-Картана являете» адекватным языком для описания твердых тел с дефектами: дислокациями и дискликация-ми.
Кручение использовалось в 20-е годы А. Эйнштейном в серии работ, где он пытался на основе пространства-времени с абсолютным Параллелизмом объединить гравитационные и электромагнитные взаимодействия, и в 50-е годы Г. Всйлсм при описании спинорішх полей. В 50-е годы К. Кондо впервые использовал кручение для описания дислокаций в упругих средах. Интерес к кручению и теориям, содержащим квадраты тензора кривизны в лагранжиане, стал особенно актуальным, начиная с 80-х годов, после доказательства пере-нормируемости (К. Стелл, Б. Л. Воронов, И. В. Тюті.н) и асимптотической свободи (Е. С. Фцадкни, А. А. Цийтлин) Я2-граі>итации с высшими производными. О:о <-вязило с тем. что а формализме первого порядка, использующем
картаиовсхие переменные, тетраду и лоренцеву связность, уравнения движения Л3-гравитацин сводятся к уравнениям второго порядка, а рассмотрение лорен-цевой связности в качестве независимой динамической переменной эквивалентно введению кручения. В это же время кручение с различных точек зрения вводилось в теориях супергравитации и теориях типа Калуцы-Клейна.
В последние годы интенсивно развиваются двумерные модели гравитации, как в контексте теории струн, так н самостоятельно, как пробные модели для квантовой теории гравитации в четырех измерениях. Здесь существенным моментом является то обстоятельство, что действие Гильберта-Эйнштейна в двумерном пространстве дает эйлерову характеристику многообразия и не дает
і уравнений Эйлера-Лагранжа. В связи с этим в последнее время рассматривается несколько моделей двумерной гравитации. Простейшим геометрическим обобщением действия Гильберта-Эйнштейна является двумерная гравитация с кручением, которая была предложена И. В. Воловичем и автором в 1986 году в контексте теории струн. Позже эта модель развивалась в работах В. Куммера, Ф. Хила и других авторов.
Интерес к кручению в трехмерном пространстве в настоящее время вызван необходимостью построения континуальной теории дислокаций в упругих средах (Е. Крснер, А. Кадич, Д. Эделен и др.) и калибровочной теории дисклнна-цнй в спиновых стеклах (И. Б. Дзялошинский, Г. Е. Воловик и др.). Большой интерес вызывают также модели трехмерной гравитации (С. Дсзср, 1\ Лжэкив, т'Хуфт), связанные с действием Чсрна-Саймоиса для трехмерной группы Пуанкаре (Э. Виттен).
В снят с изложенным возникла необходимость исследона 11, ро.и. кручення
в моделях теории поля в пространствах р&злтгчпой размерности.
Цель работы. Исследование математических аспектов и физических приложений моделей гравитации с кручением в пространствах разной размерности.
Методика исследований. Используется дифференциальная геометрия и теория связиостей на главном расслоении. Обобщенный гамильтоиов анализ уравнений движения систем со связями и канонические преобразования.
Научная новизна.
-
Найдено общее решение уравнений Эйлера-Лагранжа двумерной гравитации с кручением. Доказано, что пространство решений распадается на два сектора. Первый сектор описывает поверхности с посгоянпой кривизной и нулевым кручением. Второй сектор описывает поверхности с непостоянной кривизной п нетривиальным кручением.
-
С точностью до действия дискретных групп преобразований проведена полная классификация глобальных (максимально продолженных по экстремалям и геодезическим) решений двумерной гравитации с кручением для всех возможных констант связи в лагаранжиане. Доказано, что существует тринадцать типов универсальных накрывающих пространств. Два из них являются полными. Это двумерное пространство-время Минковского и универсальная накрынаюшмя однополостного гиперболоида, характеризуемого постоянной кривизной и нулевым кручением. Осталыше одиннадцать типов глобальных решений неполные и имеют сингулярности кривизны и кручения па границе.
Л. Дана каноническая формулировка двумерной-гравитации с кручением. Доказано, но алгебра свял-н прелпавлясг собой полупрямую сумму алгебры Впраскрч и одноМ'-рнип аСе.існоГт ,і.цеори, coo і ветствующей лоренаему враще-
\
-
В рамках геометрии Римапа-Картапа построена геометрическая теория дислокаций и дисклинаций. Предложен новый лагранжиан дях статического распределения дефектов в упругих средах, который воспроизводит результаты, полученные в'рамках теории упругости, и позволяет описывать непрерывное распределение дислокаций п дисклинаций.
-
Показано, что обобщение теорий Калуцы-Клейна с учетом кручения позволяет получить после редукции к четырехмерному пространству-времени не только калибровочные поля, минимально взаимодействующие с гравитацией, но и скалярные поля с лагранжианом типа Янга-Миллса-Хиггса.
Теоретическая и практическая ценность. Впервые построена нетривиальная модель гравитацин, для которой с точностью до действия дискретных групп преобразований явно найдены все глобальные решения уравнений Эйлера-Лагранжа. Это модель двумерной гравитации с кручением. Среди построенных решений есть решения, представляющие большой физический интерес: глобальные решения, описывающие белую и черную дыру в полной аналогии с расширением Крускала. решения Шваршшшьда, а также классические решения уравнений движения, описывающие изменение топологии пространства во времени. Эта модель открывает новое перспективное направление в развитии теории струн с динамической геометрией и является нетривиальной интегрируемой пробной моделью для развития методов квантовой теории гравитации.
Построение геометрической теории дислокаций и дисклинаций в упругих средах даст основу для дальнейшего развития теории дефектов. И частности,
для построении динамической теории дислокаций и даскливаций. Этот подход весьма важен в прикладной механике твердых тел, так как позволяет с единой точки зрения описывать как отдельные дефекты, так и непрерывное распределение дефектов, что не было возможно на основе традиционных подходов. Есть основания надеяться, что геометрия Римана-Картана станет основным языком при описании такиг явлений, как прочность твердых тел, плавление в др. С другой стороны, наглядность физики твердого тела позволяет по-новому взглянуть на дифференциальную геометрию и теорию гравитации.
Обобщение теорий типа Калуцы-Клейпа с учетом кручения открывает новые широкие возможности для построения единых моделей теории поля с реалистическими лагранжианами.
Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно до- -кладывались на научных семинарах МИРАИ им. В. А. Сгеклова, ФИАН им. П. Н. Лебедева, ОИЯИ (Дубна), МГУ, ИЯИ РАН, на сессиях Отделения ядерной физики АН СССР, на всесоюзной школе молодых ученых "Комплексные Методы в математической физике" (Донецк, 1984 г.), на всесоюзном семипаре "Кварки-86" (Тбилиси, 1986 г.), па международном семипаре "Квантовая теория гравитации" (Москва, 1987 г., 1990 г.), на школе-семвиаре "Актуальные вопросы комплексного анализа" (Ташкент, 1989 Г.), на научной конференции ОЯФ АН СССР "Частицы и ядра при высоких энергиях" (Москва, 1989 г.), на всесоюзной школе "Актуальные проблемы квантовой теории поля" (Томск, 1090 г.), па международном семинар* "Взаимосвязи между физикой и математикой" (Нена, 1992 г.), на мел/іунариліК'іі конференции "Суперсимметрия и супергравитация" (Дуонл, I'JJM г.) на научных семинарах Международного центра те-
орегическоп физики (Триест, 1994 г.) и Венского технического университета (Вена, 1994 г.)
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-20]. Из совместных публикаций в список основных результатов включены только результаты, принадлежащие автору.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пятя глав, заключения и списка цитированной литературы. Объем диссертации - 211 с, библиография - 190 наименований.