Введение к работе
лол :
ртсци" .
Актуальность тень;. В теорій устойчивости и бифуркаций
равновесий дифференциальных уравнений и неподвижных течек
отображений особую сложность представляют те случаи.
названные' Ляпуновым критическими, в которых задача
устойчивости не может быть решена на основе лишь линейного
приближения.
Известные критерии устойчивости в критических ' случаях, полученные многими авторами, начиная с A.M. Ляпунова. формулируются в виде неравенств, наложенных на коэффициенты так называемых модельных систем. Дяя построения последних предлагаются различные алгоритмы, реализация которых требует громоздок аналитических преобразований и вычисления.
Объем работ, выполняемых во многих областях естествознания и техники .по исследованию устойчивости -в различных конкретных ситуациях, весьма значителен. Поэтому ясна актуальность разработки экономичных алгоритмов вышда модельных систем. Понятно, что . лучше всего . иметь для соответствующих коэффициентов явные, насколько это возможно, формулы, до сих пор они Еыписаны лишь для небольшого числа критических'случаев и при этом . как.правило, динамических систем невысокого порядка.
' Значительный интерес представляет решение конкретных задач устойчивости из различных областей естествознания. Одним из таких примеров является задача об устойчивости стационарных движений систем вихревых нитей в жидкости.
Цель работы: исследование критических случаев устойчивости равновесий дифференциальных уравнений и неподвижных точек отображении; представление известных условий устойчивости и неустойчивости в полуинвариантной
- 4 -форме - через нейтральные корневые векторы линеаризованной системы и ее сопряженной; лриложеіше теории устойчивости к гидродинамической задаче об устойчивости движения правильной системы п точечных вихрей.
Научная ьовкзна. Многие известные критерии устойчивости динамических систем представлены в полуинвариантной форме, удобной для дальнейшего исследования и вычислений. Получены яшшз выражения коэффициентов модельных систем через нейтральные корневге Еекторы линеаризованной системы и ее сопряженной.
Формулы этого тина известны в теории ветвления решений операторных уравнения и является существенной частью современной операторной формы -.метода Ляпунова - Шмидта, развитой М.М. Ваннбергом к В. А. Треногиным.
Для облегчения вывода полуинвариактных форм критериев устойчивости предложен метод частичной нормализации.
Исследован ряд ранее не изученных критических случаев устойчивости неподвижных точек отображений коразмерности вьроівдения три.
Проведено математически строгое. доказательство утверждения Дя.Томсона С1883 г.) об 'устойчивости правильной сис'змы из л- точечных вихрей, когда л 6.
Достоверность полученных выводов обусловлена последовательным применением математически обоснованных методов, совпадением результатов с известными в тех случаях, когда таковые имеется.в литературе.
Практическая значимость. В то время как большинство критериев устойчивости равновесий дифференциальных уравнений и неподвийэшх точек отображений формулируются в виде алгоритма, в данной диссертации они представлены в виде полиномиальных неравенств для величин, заданных явными
-5 -формулами. Таким образом, применение ісритериев устойчивости к Конкретной системе сводится просто к вычислению по этим формулам.
Указанная форма критериев устойчивости удобна для
вычислений и программирования на ЭВМ. Она эффектизна как для
конечномерных, так и для бесконечномерных систем, для которых
справедлив принцип сведения. , .;
Методика вывода полуинвариантных форм может быть полезна и при рассмотрении новых критических случаев.
Новые критические случаи устойчивости неподвижных точек отображений коразмерности три. исследованные в диссертации, встречахтся неустранимым образом в трехпараметрических семействах отображений, но могут , возникать благодаря специальным свойствам самих отображений и в семействах с меньшим числом параметров. .
Доказательство устойчивости правильных^ вихревых л- -угольников (. п. ^ б ) может помочь при изучении устойчивости других вихревых конфигураций.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались. на Всесоюзной конференции по нелинейным задачам математической физики (^.Ленинград, апрель 1985 v.), на Б-tfft Школе-семинаре МГУ "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости" СКолюбакино, 1988 v.), на научных семинарах кафедры вычислительной математики и математической физики РГУ.
Публикации. По теме диссертации опубликовано Б работ.
Структура и обьем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Работа занимает 140 страниц машинописного текста, список литературы содержит 81 наименование.
- б -