Введение к работе
Актуальность темы. Многие прикладные задачи механики сплошных сред фильтрации жидкости в пористых средах (Кочина Н.Н., 1972-73, Абуталиев г.Б., Баклушин М.Б., Ербеков Я.С, 1975 ) приводят к дифференциальным сравнениям с нелокальным нелинейным источником . Уравнения такого типа встречаются также при описании физических процессов , учитывающих эффекты памяти(Кожанов А.И.,1994,Гатайа Y., 1982, 1984), а также з математической биологии, где подобными уравнениями описываются некоторые іроцессн динамики популяции (Вольтерра В., 1976, Нахушев A.M., 1983.)
При математическом моделировании распределения примеси вдоль эусла реки, при рассмотрении популяционной модели с пространственной диффузией приходим также к краевым задачам для дифференциальных уравнения с нелокальным источником,т.е.к так называемым нагруженным дифференциальным уравнениям ( Нахушев A.M., 1983 ).
Впервые прикладной характер нелокальных краевых задач установили в своих работах Камынин Л.й. (1Э63), Чудновский А.Ф. (1969), Бщадзе А.В., Самарский А.А.(1969).
Так как задачи с нелокальным условием (или нелокальным источником порождают несамосопряженную задачу, а соответствующе операторы не являются знакоопределеннымк , то общая теория устойчивости ( Самарский А.А., 1967) к указанным задачам не применимо.
Как отмечается в одной из работ Самарского А.А. и Гулина А.В.(1983 пока не удалось сформулировать общие теоремы об устойчивости несамо-еопряжекных разностных схем с нелокальными условиями, хотя достаточные условия устойчивости для отдельных классов схем уже получены ( Ильин З.А., Моисеев Е.Н., 1986,Гулин А.В., 1979, Ионкин Н.И., 1977, Шхануков М.Х., 1977, 1994).
Диссертационная работа посвящена разработке численно -аналити ческих методов решения краевых задач для дифференциальных уравнений нелокальным линейным и нелинейным источником.
Цель работы. Целью работы является разработка численно-аналити ческих методов решения краевых задач для некоторых классов эволю ЩЮННК2С уравнений,возникающих при математическом моделировании физич еских процессов, в которых учитываются эффекты памяти, а также пр. математическом моделировании распределения примеси в руслах рек.
Общие метода исследования. В работе применяется метод априорны: оценок, теорема вложения Соболева С.Л..При исследовании устойчивості и сходимости разностных схем-разностные аналоги теорем вложения, прі получении оценок в равномерной метрике-принцип максимума для общи; параболических уравнений.
Научная новизна и практическая ценность. В диссертационной рабо1; предложены и исследованы широкий класс краевых задач для параболичега их уравнений с нелокальным источником. Построены схемы Ротэ, конечне разностные схемы для первой начально-краевой задачи, схемы повншенної порядка точности третьей краевой задачи для параболических уразнеш с нелокальным источником и доказаны теоремы устойчивости и сходимом разностных схем. В заключении в диссертации изложены локально- одне мерные схемы для решения многомерных задач в равномерном параллел епипеде. Полученные результаты являются новыми и имеют непостредствен ное приложение к физическим процессам, учитывающим эффекты памяти, задачам прогноза распределения примеси в руслах рек и водоемов.
Апробация работы. По материалам диссертации сделаны доклады н XI Международной конференции " Уравнения состояния вещества " Призльбрусье,1996, на Международной конференции " Нелокальные ' краэвы задачи и родственные проблемы математической биологии ", (Нальчик, 1996), на региональной научной конференции молодых ученых и студентов
"Математика и ее прикладные аспекты",(Нальчик,1996).Результаты работы доложены на научно - исследовательском семинаре математических кафедр Кабардино-Балкарского Госуниверситета.
Публикации. Основные результаты выполненных исследовании опубликованы з .десяти работах.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения , трех глав , библиографического списка, содержащего 64 наименовании, ж приложение.