Введение к работе
Актуальность проблемы. Многие задачи математической физики, возникающие при моделировании процессов нагрева, плавления и поверхностного испарения от воздействия потоков энергии на материалы, приводят к необходимости решения краевых задач для уравнений параболического типа с разрывными коэффициентами. В связи с этим возникает проблема постановки корректных краевых задач для уравнения теплопроводности с разрывными коэффициентами, а также разработки численно-аналитических методов их решения.
В большинстве работ, посвященных изучению тепловых процессов в системе «основа - покрытие», используется одномерная теплофизическая модель нагрева двухслойной системы нестационарным тепловым потоком. При постановке задач помимо начальных и граничных условий необходимо задать условия сопряжения на границе раздела двух сред.
Характер условий сопряжения может быть различным. В данной работе рассматриваются модели нагрева двухслойной системы, когда на границе раздела сред температура терпит разрыв, а тепловой поток непрерывен.
Изучение тепловых задач с граничными условиями сопряжения приобрело особую актуальность в последние годы в связи с развитием высокотемпературной теплофизики - расчет многослойных покрытий головок ракет, элементов преобразователей энергии и т.д.
Цель и задачи работы. Целью настоящей работы является исследование краевых задач для уравнения теплопроводности как с постоянными так и с переменными разрывными коэффициентами, также для дифференциального уравнения теплопроводности с дробной производной в группе младших членов и нагруженного уравнения, разработка численно-аналитических методов их реализации.
Методы исследования. Основными методами исследования являются:
- метод интегральных уравнений (или метод функции Грина);
- метод априорных оценок;
- метод баланса построения устойчивых разностных схем.
Научная новизна и практическая ценность. В диссер
тационной работе получены следующие результаты:
-
Доказана теорема существования и единственности решения второй краевой задачи для уравнения теплопроводности с кусочно-постоянным коэффициентом теплопроводности, когда на границе раздела сред температура разрывна, а тепловой поток непрерывен.
-
Получены априорные оценки решения этой задачи в случае параболического уравнения с переменным разрывным коэффициентом теплопроводности и нагруженного уравнения теплопроводности общего вида.
-
Доказана сходимость метода Роте для задачи нагрева двухслойной системы.
-
Для нагруженного уравнения теплопроводности с разрывными коэффициентами (к, = const) доказана теорема существования и единственности путем сведения его к системе интегральных уравнений Вольтерра второго рода.
-
Построены разностные схемы повышенного порядка точности третьей краевой задачи для уравнения теплопроводности общего вида с разрывными коэффициентами при условии непрерывности тепловых потоков и разрывных температурах и доказана сходимость этих схем.
Практическая полезность состоит в том, что результаты данной работы могут быть использованы для решения конкретных теплофизических задач при анализе процессов, плавления, испарения, охлаждения и затвердевания двухслойных систем, также при численной реализации этих задач.
Апробация работы. По материалам диссертации сделаны доклады на научно-исследовательском семинаре кафедры высшей и прикладной математики КБГСХА, на Международном симпозиуме «Экономика и право - стратегия 3000» в г. Киловодске (1996 г.), на научно-исследовательских семинарах математических кафедр КБГУ, на конференции «Математические чтения, посвященные Мухтарову Х.Ш.» в г.Махачкала (1999).
Публикации. Основные результаты выполненных исследований опубликованы в семи работах, две из которых выполнены в соавторстве.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа объемом b&Z страниц состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и библиографического списка из 78 наименований.