Введение к работе
Актуальность темы. В последние годы внимание математиков, физиков стали привлекать уравнения, содержащие дробные производные как по времени, так и по пространственным переменным. Эти уравнения встречаются в физике, механике при описании сложных объектов и систем различной природы, при этом все чаще используются новые геометрические представления. Первым, кто ввел такие представления, сопоставляя классическую геометрию с новой - фрактальной геометрией, был Б. Мандельб-ройт(1982г.).
Примерами фракталов (или фрактальной среды) могут служить очертания гор, извилины берегов, очертания облаков (с размерностью Хаусдорфа-Безиковича d=1.36), график дробного броуновского движения (d=3/2), полимерные материалы, сильно пористые среды (Бэгли Р.Л., ТорвикГ. Дж., 1984; Федер Е., 1991).
Наряду с геометрическими фракталами рассматривают и временные фракталы (Нигматуллин P.P., 1986; Кочубей А.Н., 1990; Нахушев A.M., 1995). Так уравнение переноса, полученное для сильно пористой (фрактальной) среды, часто называют уравнением медленной диффузии (Чукбар К.В., 1995; Шогенов В.Х., Кумыкова С.К., Шхануков М.Х., 1996). Таким образом, решение краевых задач для обобщенных уравнений переноса или уравнений диффузии дробного порядка стали актуальными. В диссертационной работе исследуются как классические задачи для модифицированного уравнения влагопереноса, так и задачи для обобщенного уравнения влагопереноса с дробной по времени производной.
Цель работы. Целью работы является установление корректности краевых задач для модифицированного уравнения влагопереноса, а также разработка методов решения краевых задач для обобщенного уравнения влагопереноса в средах с фрактальной геометрией.
Общие методы исследования. Результаты получены с использованием метода Фурье, теории уравнений Вольтерра, метода априорных оценок, метода прямых решений краевых задач для дифференциальных уравнений.
Научная новизна и практическая ценность. В диссертации впервые исследован класс краевых задач для уравнений диффузии дробного порядка. В ней получены следующие результаты:
-
Для решения краевых задач (первой и третьей) для модифицированного уравнения влагопереноса получены априорные оценки, откуда следует единственность решения рассматриваемых задач. В частности, для гиперболического уравнения третьего порядка получена априорная оценка из класса W^ (О,/).
-
Методом Фурье доказано существование решения первой краевой задачи для некоторых классов обобщенных уравнений диффузии дробного порядка.
-
Для решения начально-краевых задач для различных классов обобщенных уравнений переноса получены априорные оценки, откуда следует единственность решения рассматриваемых задач. Отдельно изучен случай, когда знак эллиптической части оператора неопределен.
-
Доказана сходимость метода прямых для первой и третьей краевых задач для обобщенного уравнения диффузии дробного порядка.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинаре по современному анализу, информатике и физике НИИ ПМА КБНЦ РАН, на семинаре математического факультета Кабардино-Балкарского государственного университета по математической физике и вычислительной математике, на III Всероссийском симпозиуме "Математическое моделирование и компьютерные технологии", посвященном 80-летию академика А.А. Самарского (Кисловодск, 1999 г.)
Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1] - [6]. Из них [2] выполнена в соавторстве с М.Х. Шхануко-вым, которому принадлежит постановка задач.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, библиографического списка, содержащего 65 наименований. В первой главе - четыре параграфа, во второй -семь, в третьей - четыре. Объем диссертации - 76 страниц, набранных в среде Microsoft Office 97 (стиль Times Roman).