Содержание к диссертации
Введение
1 Обзор литературы 25
1.1 Теория контрастных структур 25
1.2 Начально-краевые задачи для параболических уравнений типа реакция-диффузия-адвекция 33
1.3 Примеры использования теории контрастных структур в приложениях 43
2 Стационарные контрастные структуры в уравнениях реакция-диффузия-адвекция в случае сбалансированной адвекции 49
2.1 Постановка задачи. Основные условия 50
2.2 Построение асимптотического разложения решения
2.2.1 Главные члены асимптотического разложения 55
2.2.2 Члены асимптотического разложения первого порядка 57
2.2.3 Члены асимптотического разложения второго порядка 59
2.2.4 Члены асимптотического разложения произвольного порядка 61
2.3 Основной результат главы 2 64
3 Существование решения в виде движущегося фронта у задачи типа реакция-адвекция-диффузия в случае сбалансированной адвекции 78
3.1 Постановка задачи. Основные условия 78
3.2 Построение асимптотического разложения решения
3.2.1 Главные члены асимптотического разложения 84
3.2.2 Члены асимптотического разложения первого порядка 87
3.2.3 Члены асимптотического разложения второго порядка 90
3.2.4 Члены асимптотического разложения произвольного порядка
3.3 Основной результат 97
3.4 Пример 106
4 Существование периодического решения с внутренним переходным слоем в задаче реакция-диффузия-адвекция в случае баланса адвекции 110
4.1 Постановка задачи. Основные условия 110
4.2 Построение асимптотического разложения решения
4.2.1 Главные члены асимптотического разложения 116
4.2.2 Члены асимптотического разложения первого порядка 119
4.2.3 Члены асимптотического разложения второго порядка 123
4.2.4 Члены асимптотического разложения произвольного порядка 124
4.3 Основной результат 126
Список литературы 137
Использованная литература 137
- Начально-краевые задачи для параболических уравнений типа реакция-диффузия-адвекция
- Члены асимптотического разложения первого порядка
- Главные члены асимптотического разложения
- Главные члены асимптотического разложения
Введение к работе
Актуальность темы
Использование теории контрастных структур при математическом моделировании уместно в том случае, если при описании физических процессов графики функций, характеризующих физические величины, имеют внутренние переходные слои. Исследование краевых задач, допускающих решение вида контрастных структур, позволяет детально изучить структуру переходных слоев и на основе полученного анализа конструировать математические модели, наиболее точно описывающие поведение физических величин в тех областях, где они имеют большие градиенты. В частности, теория контрастных структур используется при разработке моделей, описывающих процессы переноса в приповерхностном слое атмосферы при наличии пространственной неоднородности [], фазовые переходы на границе раздела различных сред, а также в химической кинетике, в биофизике [10], в задачах нефтедобычи [–], в физике полупроводников [,] и в физике сверхпроводников [–].
Актуальность работы как математического исследования заключается в развитии алгоритма построения асимптотического разложения решений задач типа реакция-диффузия-адвекция. Этот алгоритм предложен А. Б. Васильевой в работе [] и получил развитие в работах [, , , ]. В настоящей работе этот алгоритм обобщен на задачи вида () при условии баланса адвекции. Для доказательства существования решений с внутренними переходными слоями у краевых и начально-краевых задач весьма эффективно примененяется асимптотический метод дифференциальных неравенств [–]. В настоящей работе проведено обобщение этого метода на задачи реакция-диффузия-адвекция при условии баланса адвекции.
Диссертационная работа представляется к защите по специальности 01.01.03 и содержит исследование математическими методами математических проблем, возникающих в механике жидкостей и газов, и разработку математического аппарата для описания пространственных областей, в которых наблюдаются большие градиенты физических характеристик жидкостей и газов. Тем самым работа удовлетворяет критериям, указанным
в паспорте специальности.
Цель работы
Исследовать следующие задачи для сингулярно возмущенного уравнения реакция-диффузия-адвекция в случае баланса адвекции:
– Краевая задача
– Начально-краевая задача
– Краевая задача с условием периодичности по времени
-
Для некоторых указанных задач определить условия, при которых в рассматриваемых задачах существуют решения с внутренним переходным слоем (КСТС).
-
Разработать алгоритм построения асимптотических разложений решений типа КСТС для рассматриваемых типов задач.
-
Доказать существование решений, обладающих построенной асимптотикой.
Научная новизна
1. На основе метода пограничных функций построены асимптотические разложения решений с внутренними слоями для новых типов сингулярно возмущенных задач, содержащих малый параметр при старшей производной:
– краевая задача реакция-диффузия-адвекция в случае баланса адвекции,
– начально-краевая задача реакция-диффузия-адвекция в случае баланса адвекции,
– краевая задача реакция-диффузия-адвекция с условием периодичности по времени в случае баланса адвекции.
2. Для каждой задачи доказаны теоремы существования решения с построенной асимптотикой. Результаты по обоснованию асимптотических разложений получены путем развития метода дифференциальных неравенств на задачи исследуемого типа.
Практическая ценность
-
В работе проведено развитие математического аппарата, предложенного А.Б. Васильевой, В.Ф. Бутузовым и Н.Н. Нефедовым на новый класс задач типа реакция-диффузия-адвекция, допускающих решения с внутренними переходными слоями, при условии баланса адвекции. Исследование задач с решениями вида контрастных структур является практически необходимым, поскольку в дальнейшем они могут быть использованы для построения математических моделей, в частности, относящихся к механике жидкости и газа. Результаты диссертации представляют интерес для ученых, занимающихся математическим моделированием физических явлений в областях с пространственными неодно-родностями, вблизи которых наблюдаются большие градиенты характеристик среды.
-
Проведено обобщение асимптотического метода дифференциальных неравенств на задачи типа реакция-диффузия-адвекция при условии баланса адвекции. В дальнейшем идеи, содержащиеся в диссертации, могут быть использованы при доказательстве существования решений у более широкого класса задач.
Положения, выносимые на защиту
-
Исследование новых классов сингулярно возмущенных задач типа реакция-диффузия-адвекция, решения которых обладают внутренними переходными слоями при условии баланса адвекции.
-
Разработка алгоритма построения асимптотических разложений с внутренними переходными слоями, дающего возможность определять локализацию переходного слоя для стационарных задач и уравнение движения фронта в параболическом случае.
3. Строгое математическое обоснование результатов. Доказательство существования и устойчивости решений задач указанных типов, имеющих построенные асимптотические разложения.
Публикации
По материалам диссертации опубликовано 11 научных работ, из которых 3 статьи в рецензируемых журналах по перечню ВАК. Список публикаций приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации
Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и списка цитируемой литературы. Полный объем диссертации составляет 141 страницу. Диссертация содержит 1 рисунок. Список литературы включает 68 наименований.
Начально-краевые задачи для параболических уравнений типа реакция-диффузия-адвекция
При условиях (А1)-(А4) построено формальное асимптотическое разложение произвольного порядка по є решения и(х,є) задачи (2) в виде КСТС с внутренним переходным слоем в окрестности точки Хо и близкое к функции ip( \x) слева от этой окрестности и к функции ip(+\x) справа от нее. Положим Хп+\ = YH=o є%хг и би-1 = — Запишем разложение решения в виде сумм Для обоснования асимптотики с помощью асимптотического метода дифференциальных неравенств потребуем также выполнения ещё одного условия. Условие А5. Пусть выполняется неравенство —— (хо) 0. Основным результатом главы 2 является следующая теорема. Теорема 1. При выполнении условий (А1)-(А5) при достаточно малом є 0 существует решение и(х,є) задачи, для которого функция Un(x,e) является равномерным на отрезке [0,1] асимптотическим приближением с точностью порядка 0(єп+1). Это решение является устойчивым по Ляпунову стационарным решением задачи (1).
В главе 3 исследуется вопрос о существовании и асимптотическом приближении решения с движущимся внутренним переходным слоем следующей начально-краевой задачи для уравнения реакция-диффузия-адвекция.
Здесь є 0 — малый параметр, Т — некоторая положительная величина, функции А (и, х) и В(и,х) достаточно гладкие в области П = V х /(и), где 1{и) — область значений функции u(x,t,e). Построено асимптотическое приближение произвольного порядка точности решения в виде движущегося фронта, доказана теорема существования. Предложен эффективный алгоритм, позволяющий получить уравнения движения точки перехода. Для обоснования построенной асимптотики используется и развивается на этот класс задач асимптотический метод дифференциальных неравенств.
Положение переходного слоя в зависимости от времени описывается функцией x (t,e), которая представляется в виде разложения по степеням малого параметра є: Начальное условие ж0(0) = х00 задачи (21) задается следующим образом. Считаем, что жоо — это точка пересечения фронта щпц{Ь,е), заданного в начальный момент времени, и кривой р(х), определенной в (17): Потребуем разрешимости этой задачи Коши. Условие В4. Пусть задача (21) имеет единственное решение, которое в каждый момент времени t Є [0,Т] принимает значения внутри интервала (0,1).
При условиях (Аі)-(АЗ), (В4) построено формальное асимптотическое разложение произвольного порядка по є решения u(x,t,e) в виде движущегося фронта, имеющее в каждый момент времени резкий переходный слой в окрестности точки Xo(t) и близкое к функции ip( \x) слева от этой окрестности и к функции tp(+\x) справа от нее.
Основным результатом главы 3 является следующая теорема. Теорема 2. Пусть выполнены условия (А1)-(АЗ), (В ). Тогда для достаточно малого є существует решение и(х, t, є) нестационарной задачи, которое в каждый момент времени имеет переходный слой вблизи точки перехода x0(t), то есть
Доказательство теоремы проведено с помощью асимптотического метода дифференциальных неравенств, доработанного применительно к задаче (15) в предположении выполнения требования (А2) — баланса адвекции.
В главе 4 рассматривается сингулярно возмущенная краевая задача Дирихле с периодическим условием по времени:
Функции A(u,x,t), B(u,x,t), v,( \t) и г/+)() достаточно гладкие в области V и обладают условием периодичности по t с периодом Т. В главе 4 исследуется вопрос о существовании и асимптотическом приближении решения с периодически изменяющимся внутренним переходным слоем краевой задачи (22). имеют Т-периодические по переменной t решения u(x,t) = tp( \x, t) и u(x,t) = tp(+\x, t), соответственно, которые определены при (x,t) Є V = {х Є [0,1]; і Є (—оо;+оо)} и удовлетворяют следующим неравенствам ip( \x,t) {x t) при (x,t) Є V, A(ip( \x,t),x,i) О, А (У+)(x,t),x,t) 0 при (х, t) Є V. Условие С2. (условие баланса адвекции) Пусть J A(u,x,t)du = 0, для всех (x,t) Є V. Условие СЗ.
В главе 4 построено формальное асимптотическое разложение решения краевой задачи (22) с внутренним переходным слоем, локализованным в каждый момент времени t Є Е вблизи точки х = x (t,e), которая определяется как разложение по степеням малого параметра є:
x (t,e) = x0(t) + exi{t) + ..., (25) и является Т-периодической функцией. Как и в главах 2 и 3 асимптотическое разложение решения строится отдельно в областях V = {(х, t) : 0 х x (t,e); t Є (—оо,+оо)} и V = {(x,t) : ж (,є) і 1;і Є (—оо,+оо)}, а затем гладко сшивается в точке ж (і, є) для каждого значения t. Коэффициенты разложения (25) точки перехода определяются из условий С1-сшивания асимптотических разложений решений задачи (22) в областях Т и V .
При условиях (С1)-(С5) построено формальное асимптотическое разложение произвольного порядка по є решения u(x,t,e) с внутренним переходным слоем, локализация которого периодически изменяется во времени в окрестности точки xo(t), близкого к функции ip( \x,t) слева от этой окрестности и к функции /?(+)(:r,t) справа от нее.
Члены асимптотического разложения первого порядка
Построение асимптотического разложения решения задачи (1.31)-(1.33) и доказательство леммы проведено по аналогии с работой [6].
Далее в статье приводятся численные результаты для различных начальных функций, которые показывают соответствие качественного описания и численных расчетов.
Асимптотическое представление задачи реакция-диффузия-адвекция (І.ЗІ)-(І.ЗЗ) позволяет полностью описать процесс формирования и динамику резкого переходного слоя, получить оценки его ширины и времени формирования, а также определить форму фронта в каждый момент времени. Указанное асимптотическое представление является достаточно простым, что чрезвычайно важно для эффективного получения оценок различных параметров системы. Кроме того, аналитическое или численное решение уравнения движения фронта, выведенного в работе на основе предложенного асимптотического подхода, позволяет адекватно описыватв динамику фронта. Исполвзование данного уравения при математическом моделировании процессов движения устойчивых фронтов различной природы существенно ускоряет получение приближенных решений при приемлемой точности вычислений, что приводит к повышению эффективности численных расчетов.
В статве [9] теория контрастных структур успешно применяется для описания поля скорости ветра в пространственно-неоднородном расти-телвном покрове. Задача адекватного описания процесса турбулентного обмена между пространственно неоднородным растителвным покровом и приземным слоем атмосферы является чрезвычайно важной при изучении процессов переноса тепла, водяного пара, углекислого газа и других парниковых газов между земной поверхностью и атмосферой. В модели, предлагаемой в статье, для решения задачи обтекания воздушным потоком некоторого препятствия в виде лесополосы учитывается приток энергии и ее поглощение в системе при помощи теории диссипативных контрастных структур.
Для решения задачи о распределении поля скоростей ветра при обдувании препятствия в виде лесополосы в работе предложена система из двух уравнений движения и уравнения неразрывности. Эта система, записанная в безразмерных величинах, имеет вид: . eft и і rcftu du n.du і п,,д а \ 1 ( ЭР
Здесь V — усредненное значение скорости ветра за некоторый промежуток времени, и и w — ее горизонтальная и вертикальная компоненты, а функции Fi и F2 описывают взаимодействие воздушного потока с растительностью. Величина u(x,z) — заданное начальное распределение горизонтальной компоненты скорости ветра, Р — давление, є = 0.1 — малый параметр.
Вводятся две величины: Uapen — скорость ветра на открытой местности и и forest — скорость ветра внутри леса. Неоднородности в правых частях (1.34) выбираются следующим образом: Функция s(x, z) — безразмерная функция плотности растительного покрова, Cd — безразмерный коэффициент аэродинамического сопротивления элементов растительности воздушному потоку. Функция ip(x,z) подбирается, опираясь на результаты работы [5] таким образом, чтобы решение задачи (1.34) содержало стационарный внутренний переходный слой на границе области, в которой распределена растительность.
Далее в работе приводятся результаты численных экспериментов, которые показали применимость теории диссипативных контрастных структур для решения системы осредненных уравнений Навье-Стокса и неразрывности и расчета поля скорости ветра.
В работе [39] теория контрастных структур используется для разработки математической модели, описывающей урбоэкосистему, а именно, городскую среду. На базе уравнения Фитц-Хью-Нагумо для описания взаимодействия антропогенных и природных факторов в городской среде авторами предложена следующая система уравнений: f - єА.0 = \ Ни - а(х))(и - 1) + uv), f - eDv$ = {- yv + 0и) при начальных и краевых условиях ux(0,t)=ux(L,t) = 0, vx(0,t) = vx(L,t) = 0, ІЄ(0,Т], (1.38) и(х, 0) = щ(х), v(x, 0) = vo(x), XE[0,L]. где и — функция интенсивности активатора (антропогенных процессов), v — функция интенсивности ингибитора (природных процессов), а — параметр активации системы, обратно пропорциональный плотности распределния населения, 7 0 — кинетический параметр затухания потенциала ингибитора, /3 0 — кинетический параметр затухания потенциала ингибитора, Du и Dv — коэффициенты диффузии активатора и ингибитора, 0.1 sDu 1, 0.01 sDv 0.1, 0 є 1 — параметр, характеризующий скорость распространения активатора и ингибитора. Наличие множителя - в правой части уравнения (1.37) означает, что скорость изменения и значительно больше скорости изменения V. Глава 2
Стационарные контрастные структуры в уравнениях реакция-диффузия-адвекция в случае сбалансированной адвекции.
В данной главе изучаются стационарные решения с внутренними переходными слоями (контрастные структуры) сингулярно возмущенного параболического уравнения, называемого в приложениях уравнением реакция-диффузия-адвекция. Построено асимптотическое приближение произволвного порядка точности таких решений и доказана теорема существования. Предложен эффективнвш алгоритм построения асимптотического приближения точки перехода. Для обоснования построенной асимптотики исполвзуется и развивается на этот класс задач асимптотический метод дифференциалвнвіх неравенств, позволивший также уста-новитв устойчивоств по Ляпунову таких стационарных решений. 2.1 Постановка задачи. Основные условия
Главные члены асимптотического разложения
В данной главе исследуется вопрос о существовании и асимптотическом приближении решения с движущимся внутренним переходным слоем следующей начально-краевой задачи для уравнения реакция-диффузия-адвекция іє(f?-f) = АМШ + в х) (х )єD = іхє ( !); є ( т)і
Здесь є 0 — малый параметр, Т — некоторая положительная Бели-чина. Считаем, что функции А(и, х) и В(и, х) достаточно гладкие Б области П = D х 1(и), где /(и) — область значений функции и(х, t, є). Требуемый порядок гладкости функций А(и,х) и В{и,х) связан, как обычно, с порядком строящейся асимптотики и легко устанавливается.
Решения с внутренними переходными слоями для уравнения реакция-диффузия-адвекция часто встречаются в приложениях, например, в экологии при математическом моделировании изменения температуры или концентрации газов в приповерхностных слоях атмосферы, а также в химической кинетике (подробнее см. гл. 1).
Теоретическое исследование начально-краевых задач, имеющих решения такого вида является одной из актуальных проблем математической физики.
Настоящей работе предшествует серия публикаций, касающихся исследования решений с внутренним переходным слоем в начально-краевых задачах типа реакция-диффузия-адвекция. В частности, в работах [46,47] были рассмотрены решения в виде стационарных внутренних переходных слоев у задач типа реакция-диффузия-адвекция. Исследования движущихся фронтов в задачах реакция-диффузия содержатся в работах [4,6]. Работа [8] посвящена движению фронта в задаче реакция-диффузия-адвекция.
Доказательство существования у краевых задач решений с внутренними переходными слоями основано на принципе сравнения [22] и проводится с помощью асимптотического метода дифференциальных неравенств. Развитие этого метода на широкий класс сингулярно возмущенных начально-краевых задач содержится в работах [21, 23]. Особенностью настоящей работы является исследование движущегося фронта в случае баланса адвекции.
Будем предполагать, что в начальный момент времени уже существует сформированный фронт, то есть функция uinit(x,e) имеет внутренний переходный слой в окрестности некоторой внутренней точки Жоо интервала (0,1). В данной главе построено асимптотическое разложение и доказано существование у задачи (3.1) решения в виде движущегося фронта, то есть решения, имеющего внутренний переходный слой, который в каждый момент времени t локализован в окрестности точки ж (,є) Є (0,1). Слева от указанной окрестности решение u(x,t,e) задачи (3.1) близко к решению дифференциального уравнения с начальным условием и(0) = и \ а справа — к решению уравнения (3.2) с начальным условием и(1) = и . Существование этих решений обеспечивается следующим требованием.
Уравнение (3.2) с дополнительным условием и(0) = и имеет на отрезке [0,1] решение и(х) = /?(-_-)(ж), а с дополнительным услови ем и(1) = и — решение и(х) = (/?(+)(:г), и на всем отрезке х Є [0,1] выполняются неравенства
Функция x (t,e) описывает изменение положения переходного слоя в зависимости от времени. Будем искать ее в виде разложения по степеням малого параметра є. x (t,e) =x0(t)+exi(t) + ..., (3.3) с коэффициентами Xk(t),k = 0,1,..., которые будут определены в ходе построения асимптотики.
Каждую из функций U и U представим в виде суммы регулярной части и функции, описывающей поведение решения в окрестности переходного слоя, зависящей от растянутой переменной (x,t) = U \x,t,e) = и{т\х,є) + Q(,t,e). Здесь U — регулярная часть; Q — функции переходного слоя.
Регулярные части асимптотических разложений — функции U (х,є) определяются как решения уравнений e = A(U{T),x) — + B(U{T),x), х є [0,1] (3.9) іж аж с дополнительными условиями U(0) = и и U(І) = и . Для того, чтобы получить уравнения для функций переходного слоя, нужно переписать дифференциальные операторы в уравнении (3.1) Потребуєм также выполнения стандартного для функций переходного слоя условий убывания на бесконечности: Построение асимптотического разложе-ния репіения 3.2.1 Главные члены асимптотического разложения Регулярная часть
Известно (см., например, [41, 44]), что существование упорядоченных нижнего и верхнего решений гарантирует существование решения u(x,t,e) задачи (3.1), удовлетворяющей неравенству a(x,t,e) u(x,t,e) (3(x,t,e) для всех (x,t) Є V и достаточно малом є. Будем считать, что кривые xa(t,e) и xp(t,e), определяющие положения внутренних переходных слоев для соответственно нижнего и верхнего решений, задаются следующим образом:
Главные члены асимптотического разложения
В данной главе исследуется вопрос о существовании и асимптотическом приближении решения с внутренним переходным слоем краевой задачи (4.1) с периодическим условием по параметру t. Проводится построение формалвного асимптотического разложения решения такого вида. Доказателвство существования решения, приближаемого построеннвім асимптотическим разложением, проводится при помощи метода диффе-ренциалвных неравенств [3,21,22]
Будем рассматриватв задачу (4.1) при определеннвіх предположениях. Положив в уравнении (4.1) є = 0, получим так называемое ввірож-денное уравнение: где t рассматривается как параметр. Будем решатв это дифференциалв-ное уравнение с каждым из краеввіх условий задачи (4.1): Существование этих решений обеспечивается следующим требованием. (С1) Пуств задачи (4.2), (4.3) и (4.2), (4.4) имеют решения u{x,t) = ip( \x,t) и u(x,t) = t/?(+)(:r,t), соответственно, которвіе определенві для переменных (x,t) Є V = {х Є [0,1]; і Є (—оо;+оо)}. Эти решения Т-периодичнвіе по переменной t и удовлетворяют следующим неравенствам
Для того, чтобы сформулироватв ел едущее условие, введем функцию I(x,t) и предположим, что выполняется следующее тождество. (С2) Условие баланса адвекции: l(x,t) = 0, V(x,t)eV. Также потребуем выполнение следующего неравенства (СЗ) A (u,x,t) du О Lp(-){x,t) для всех s Є ((/?(_)(x,t),(/?(+)(x,t)) и \/ж Є (0,1), t Є R.
В дальнейшем мы построим формальное асимптотическое разложение решения для краевой задачи (4.1), содержащее внутренний переходный слой в области кривой х = x (t,e), где ж будет определено в ходе построения асимптотики.
Будем искать функцию x (t,є) в виде разложения по степеням малого параметра є: x (t,e) =x0(t)+exi(t) + ..., (4.5) где коэффициенты Xk(t),k = 0,1,... — Т-периодичные функции, которые будут определены в ходе построения асимптотики.
Введем обозначения Асимптотическое разложение U(x,t,e) решения задачи (4.1) будем строить отдельно в каждой из подобластей V и V : Построенные функции U( \x,t,e) и [/(+)(ж, t,e) будем гладко сшивать при х = ж (,е) для каждого t. Будем считать, что значение функции U(x,t,e) в точке ж в каждый момент времени t равно U(x ,t,e) = U(T)(x„t,e) = tp(x ,t) = - ( -\x„t) + +)(x„t)) , (4.6) здесь функции tp( и tp(+ определены условием (СІ). В окрестности переходного слоя введем растянутую переменную:
Будем искать асимптотическое разложения решения U(x,t,e) задачи в виде здесь, как и ранее, Ui(x,t) — регулярные периодические функции; Qi(jt) — периодические функции, описывающие переходный слой.
В подобластях Х ( ) и Т (+) будем рассматривать краевые задачи где p(x,t) определено выражением (4.6). Асимптотическое разложение U(x,t,e) решения задачи (4.1) будем строить отдельно в каждой из областей V и V :
Для определения функций Xi{t) в разложении (4.5) мы будем использовать условие С1-сшивания. Функции, описывающие переходный слой, определяются из следующих уравнений: 92Q№ dxJt,e)dQ dQW Основным отличием от (3.10) является периодическая зависимоств от времени функций A(u,x,t) и B(u,x,t), входящих в эти уравнения. Краевые условия для функций Q (, t, є) получаются из условия непрерывности асимптотических разложений в каждый момент времени и имеют вид
Потребуем также выполнения стандартного для функций переходного слоя Q (, ) условий убывания на бесконечности: Дифференциальное уравнение второго порядка (4.11) при каждом значении параметра t эквивалентно системе двух дифференциальных уравнений первого порядка (2.4) Разделив второе уравнение системы на первое, перейдем к следующему уравнению для функции Ф du Отсюда после интегрирования с учетом условия на бесконечности (см. (4.11)) получаем следующее дифференциальное уравнение первого порядка для функции и (, , ж ):
При каждом t Є [0,T] это уравнения фазовых траекторий на плоскости (м,Ф), одна из которых выходит из точки ( /?(-_-), О) при — — оо, а другая входит в точку (ір(+\0) при — +оо. Условие (С2) означает, что в каждый момент времени t Є [0,Т] для любого значения х Є (0,1) на фазовой плоскости (й,Ф) существует кривая, соединяющая точки ( /?("), 0) и ( +),0). Из условия (С2) следует равенство Ф(-0,і,ж ) = Ф(+0,і,ж ). (4.13) Отсюда, а также из непрерывности функций A(u,t,x ) и ір (х ,Ь) в выражениях (4.12), следует непрерывность функции Ф(,і,х ) по