Введение к работе
В диссертации исследовано существование различных типов контрастных руктур, возникающих в нелинейных сингулярно возмущенных системах двух авнений первого порядка, а также в нелинейных уравнениях второго порядка, держащих малые параметры при первой и второй производных. Обоснования строений асимптотических разложений решений по малому параметру оводятся с использованием методов пограничных функций и фференциальных неравенств.
Актуальность темы.
В последнее время, в связи с потребностями некоторых прикладных ластей (химическая кинетика, теория полупроводников, нелинейная оптика, тематическая биофизика и т. д.), возрос интерес к изучению нелинейных стем дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при ірших производных (сингулярно возмущенные системы). В общем случае линейность системы затрудняет точное решение задачи и выражение пения через известные функции или квадратуры от них. Однако, благодаря чичию малых параметров, удается применить асимптотические методы при /чении ряда задач. Так, используя метод пограничных функций [2], во огих случаях можно построить асимптотику погранспойных решений и <азать существование этих решений.
В основе метода пограничных функций лежит идея о построении імптотического разложения решения сингулярно возмущенной задачи по тому параметру, близкого к решению вырожденной задачи во внутренних іках области и удовлетворяющего граничным условиям за счет введения в імптотику, так называемых, пограничных функций, которые поненциально малы внутри области. Благодаря своей простоте метод яется весьма эффективным в отношении исследования широкого класса ач, начиная с простейших задач для обыкновенных дифференциальных
уравнений [1] и заканчивая весьма сложными задачами для уравнений частных производных [6]. Более того, этот метод применим для изучен особого класса решений - контрастных структур [1].
Контрастной структурой называется такое решение сингуляр возмущенной краевой задачи, которое помимо пограничных ело локализованных в окрестности границы, обладает внутренним сло< локализованным в окрестности одной из внутренних точек области. Р результатов по теории контрастных структур получен в [1, 3, 4, 6, 8].
Предметом изучения в настоящей диссертации явились контрасти структуры, возникающие в системе двух нелинейных сингулярно возмущенн уравнений первого порядка, а также в нелинейных сингулярно возмущенн уравнениях второго порядка.
Цель работы. ' Применение метода пограничных функций для построения формальн асимптотики решений в виде контрастных структур в случае:
а) сингулярно возмущенного нелинейного уравнения вторе
порядка, содержащего малый параметр // при первой производи
и малый параметр ^2 при второй производной (некритический
критический случаи, а также случай решения типа всплеска);
б) системы двух нелинейных сингулярно возмущенных уравнен
первого порядка (некритический и критический случаи);
в) квазилинейного уравнения второго порядка с малым параметр
/а1 при второй производной и малым параметром Та при перв
производной.
Выявление зависимости типа контрастной структуры от особенное! системы и демонстрация этой зависимости на конкретных примерах.
Доказательство существования решений и оценка остаточных члеь асимптотик.
Научная новизна.
Исследованы решения с внутренними слоями сингулярно імущенного уравнения второго порядка, а также системы двух сингулярно (мущенных уравнений первого порядка в критическом случае.
С использованием метода дифференциальных неравенств, доказано цествование погранслойного решения квазилинейного сингулярно імущенного уравнения второго порядка, а также исследована возможность цествования решений с внутренними слоями.
Практическая ценность работы.
На основе метода пограничных функций разработаны и обоснованы оритмы построения равномерных асимптотических приближений решений іа контрастных структур системы двух нелинейных сингулярно імущенньїх уравнений,. а также уравнения второго порядка с малым эаметром fj при первой производной и с малым параметром /? при второй эизводной.
С использованием методов пограничных функций и })ференциальных неравенств разработан и обоснован алгоритм построения імптотического разложения по малому параметру погранслойного решения ізилинейного уравнения второго порядка с малым параметром JJJ ПРИ >вой производной и с малым параметром /л2 при второй производной, а же исследована возможность существования решений типа контрастных уктур.
Апробация работы.
Результаты работы докладывались на Международной конференции :вященной 90 - летию со дня рождения академика А. Н. Тихонова "Теория и шожения методов малого параметра" (Обнинск, 1996), на ежегодных :ематических чтениях МГСУ "Математические методы и приложения" їхабино, 1997), (Руза, 1998), (Руза, 1999), на Ломоносовских чтениях в МГУ
(Москва, 2000), а также неоднократно обсуждались на научных семинар кафедры математики физического факультета МГУ.
Публикации.
По материалам диссертации опубликовано 10 работ.
Структура и объем работы.
Диссертация состоит из введения, трех глав, трех приложений к главе заключения и списка литературы. Общий объем текста - 140 страниц. Спис литературы содержит 26 наименований.