Введение к работе
Актуальность темы. Одним из основных направлений современной математической физики является исследование математических моделей, в основе которых лежат нелинейные дифференциальные уравнения. Нелинейный подход дает возможность охватить тонкие, наиболее важные черты явлений, ускользающие при линейной трактовке. Однако в математическом плане его реализация усложняется серьезными затруднениями как в фундаментальных исследованиях нелинейных краевых задач, так и при доведении этих исследований до практически реализуемых алгоритмов.
Диссертационная работа посвящена исследованию двумерных краевых задач типа Стефана, возникающих при математическом моделировании проблем криохирургии, включая вопросы качественного анализа и разработку конструктивных методов решения с доведением до алгоритмов и программ численных расчетов на ЭВМ.
Многочисленные научные публикации, экспериментальные и клинические исследования свидетельствуют о бурном развитии криохирургии в настоящее время, показывают ее перспективность как клинического метода лечения самых разнообразных заболеваний. Криохирургия считается точным и управляемым процессом, но знакомство с литературой показывает, что в ее использовании много неясного и неизученного. До настоящего времени не достаточно исследованы медико-биологические, биофизические и инженерные аспекты криохирургии. Четко не сформулированы показания и противопоказания, отсутствуют методики применения при различной патологии, не изучены общие и локальные реакции организма на криохирургическую операцию. Недостаточно оценены отдельные результаты. Все это приводит к тому, что криохирургические операции проводятся эмпирически, врач не знает, каким будет объем образующейся деструкции в зависимости от выбора той или иной экспозиции, температуры криоинструмента, геометрии его аппликатора.
Для ряда теоретических и поставленных клиникой практических задач необходимо выяснить целый ряд вопросов. Наиболее важным является определение динамики температурного поля в охлаждаемых и замораживаемых биотканях, позволяющее рассчитывать экспозицию и время достижения стационарного состояния, изотермические поверхности криопоражения и замораживания, по конфигурации которых находятся объемы разрушаемой и замораживаемой области, то есть устанавливаются все параметры, необходимые для расчета, прогноза и оптимизации процесса.
Математические модели эволюции температурного поля
в замораживаемых и охлаждаемых биотканях представлены
наиболее сложными задачами математической физики - зада
чами типа Стефана со свободной подвижной границей и с ис
точниками, зависящими нелинейно от искомых полей. Зада
чам типа Стефана, имеющим место при криогенных процес
сах, посвящены работы А.А.Березовского,
А.А.Белолипецкого. Для таких задач остаются актуальными
вопросы существования и единственности решения, а также
разработка эффективных аналитических и приближенных
численно-аналитических методов решения с доведением до
алгоритмов и программ численных расчетов на ЭВМ. Разра
ботке эффективных методов решения подобных задач посвя
щены работы А.А.Самарского, Б.М.Будака, В.И.Мажукина.
Вышеизложенное говорит об актуальности диссертационной темы.
Цель работы. Целью работы является исследование двумерных краевых задач типа Стефана, возникающих при математическом моделировании динамики тепловых процессов в криомедицине, включающее рассмотрение вопросов разрешимости, разработку эффективных конструктивных методов решения, детальный их анализ и решение конкретных типичных задач, важных для практической медицины.
Общие методы исследования. В работе применяются методы квазилинеаризации нелинейных уравнений, сглаживания коэффициентов, локально-одномерный метод.
Научная новизна и практическая ценность. В диссертационной работе
-
Предложены новые по постановке двумерные двухфазные задачи типа Стефана для нелинейных, нестационарных эволюционных уравнений, моделирующих распространение тепла в биоткани при проведении криохирургических операций.
-
Адаптированы к этим задачам ранее известные конструктивные методы исследования: метод сглаживания, позволяющий рассматривать задачи во всей области без явного выделения границы раздела фаз, метод квазилинеаризации, при помощи которого была достигнута сходимость итерационных процессов, локально-одномерный метод, сводящий решение исходной двумерной нелинейной задачи к решению последовательности одномерных задач.
-
Предложены итерационные методы решения нелинейных краевых задач и численно исследована их сходимость.
-
Поставлены и численно решены двумерные краевые задачи типа Стефана в прямой и обратной постановке для крионнст-рументов в форме прямоугольной и треугольной призмы, цилиндра, конуса.
-
Численно исследована зависимость скорости распространения границ фазовых переходов от коэффициентов теплообмена между криоинструментом и биотканью, внешней средой и организмом, размеров и формы аппликатора и т.д.
-
Обнаружено в результате численных расчетов, что изотерма границы зоны замерзания ткани близка к форме инструмента в начальной фазе процесса, а затем сглаживается.
-
Показано, что время стабилизации при температуре криоин-струмента -90С составляет 300-350 секунд, что соответствует реально наблюдаемым данным.
Полученные в диссертации результаты могут быть применены к расчету режимов низкотемпературного воздействия на биоткань, определению значения параметров процесса замораживания, а также при конструировании и совершенствовании криоинструментов.
Апробация работы. По материалам диссертации сделаны доклады на международной научно-технической конференции «Системные проблемы надежности, математического моделирования и информационных технологий» (Сочи, 1998-2000 гг.), на объединенном семинаре по математической физике и вычислительной математике МФ КБГУ (2000 г.), на семинаре по современному анализу, информатике и физике НИИ ПМА КБНЦ РАН (2000 г.).
Публикации. Основные результаты выполненных исследований опубликованы в 8 работах.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения, списка литературы (165 назв.) и содержит 108 страниц машинописного текста. Содержание работы.