Введение к работе
Актуальность темы. При исследовании нелинейных краевых задач, описывающих процессы загрязнения и рекреации среды, отражающих наряду с диффузией адсорбцию и химические реакции, особый интерес представляют задачи типа Стефана со свободной границей и источниками, существенно зависящими от искомого поля концентрации. В теоретическом плане для подобных задач остаются актуальными вопросы существования, единственности, стабилизации и пространственной локализации решений. В практическом плане - особенно важным представляется разработка эффективных численно-аналитических методов их решения.
Разработка эффективных методов приближенного решения задач указанного класса позволяет установить функциональные зависимости основных параметров процесса от входных данных, дающие возможность рассчитывать и прогнозировать эволюцию рассматриваемого процесса.
Среди работ, в которых рассматриваются вопросы разрешимости задач типа Стефана со свободной границей, следует отметить работы A.A. Самарского, О.А. Олейник, С.А. Каменомосткой, Л.И. Рубенштейна и др.
Цель работы. Целью данной диссертации является исследование задач со свободными границами в новой постановке, моделирующей процессы переноса и диффузии с учетом реакции загрязняющих субстанций в проблемах охраны окружающей среды; их качественному исследованию и, главным образом, разработке конструктивных методов построения приближенных решений поставленных задач.
Общие методы исследования. Результаты работы получены с использованием метода Биркгофа разделения переменных, метода нелинейных интегральных уравнений, метода Роте, а также метода эквивалентной линеаризации
Научная новизна и практическая ценность. Исследуемые в диссертации постановки задач типа задачи Стефана рассматриваются впервые. Для данного класса задач получены следующие, выносимые на защиту, основные результаты:
-
Исследованы качественно новые эффекты пространственно- временной локализации
-
Установлены необходимые условия пространственной локализации и стабилизации к предельным стационарным состояниям,
-
Доказана теорема о единственности решения задачи со свободной границей в случае условий Дирихле на известной поверхности.
-
Получены, методом разделения переменных, точные пространственно локализованные семейства частных решений вырождающихся квазилинейных параболических уравнений.
-
Разработаны эффективные методы приближенного решения одномерных стационарных задач со свободными границами на основе применения метода Роте в сочетании с методом нелинейных интегральных уравнений.
-
Получены точные пространственно локализованные решения стационарных задач диффузии с реакцией.
Результаты диссертационной работы могут быть применены при постановке и решении различных проблем современного естествознания, в частности металлургии и криомедицины, и представляются весьма эффективными методами при прогнозировании, например, воздушной среды.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре отдела математической физики и теории нелинейных колебаний Института математики НАН Украины и кафедры математической физики Киевского университета имени Тараса Шевченко, на Международной конференции "Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики" (август 1997 г.Нальчик), на семинаре математического факультета Кабардино-Балкарского государственного университета по математической физике и вычислительной математике.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ, из них 5 работ самого автора, 2 работы опубликованы в ведущих профильных изданиях, 8 работ - в сборниках научных трудов.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитированной литературы содержащего 82 наименования. Объем работы состав-