Введение к работе
Настоящая диссертационная работа посвящена вопросам некоммутативного анализа. Некоммутативный анализ, или анализ на некоммутативных алгебрах имеет долгую историю и многочисленные применения в различных разделах математической физики. Матричный анализ, анализ на алгебре кватернионов и алгебрах Клиффорда и g-аналпз являются примерами некоммутативного а,-нализа. Другим примером являются хорошо известные понятия суперанализа, изучавшегося В.С.Владимировым и И.В.Воловичем, и параграссмаяова анализа. Некоммутативный анализ оказывается связанным с многими областями математики. Например, в работе И.Я.Арефьевой и И.В.Воловина отмечалось совпадение меры Хаара-Вороновича на квантовой группе и меры Хаара на кольне целых р-адических чисел. В последнее, время значительный интерес вызывает применение методов р-адического анализа в математической физике.
В настоящее время большой интерес вызывает концепция некоммутативной геометрии, введенная А.Конном. Наиболее известным примером некоммутативной геометрии является квантовая груапа, изучавшаяся в работах В.Г.Дринфельда, МДжимбо, Л.Д.Фаддеева, Н.Ю.Решетихина, Л.А.Тахтаджяна, С.Л.Вороповича и других. Предпринимались попытки построения на этой основе теории элементарных частиц. Для разработки этих идей требуется дальнейшее развитие методов некоммутативного анализа и некоммутативной дифференциальной геометрии.
Также следует отметить связь квантовой группы 5'( ',(2) и некомму глтивной теории вероятности Войкулеску, см. [4].
В настоящей диссертационной работе исследуются такие вопроси некоммутативного анализа как представления алгебры функций на квантоюй группе, построение пучка со значением в алгебре функций на квантовой группе, р-адические аналоги (/-интегралов и «-экспонент.
Одним из основных результатов диссертации является доказательство свойства стабильности для регулярного представления алгебри функций на квантовой группе 577,(2).
Как известно, теория представлений квантовых групп имеет два аспекта.
-
Под представлением квантовой группы понимается структура комодуля над алгеброй функций на квантовой группе. В этом случае терпя представлений квантовых групп вполне; аналогична теории представлений соответствующих классических групп.
-
Под представлением квантовой группы понимается структура модуля над алгеброй функций на квантовой группе. В .этом случае герия представлений квантовых групп не имеет классического аналога. г)гот аспект теории представлений менее разработан. В связи с этой тематикой следует отметить работы Л.Л.Ваксмана и Я.Е.Сойбсльмана.
Исследование этих вопросов представляет шачптельньтй интерес. В частности, представляется интересным следующий вопрос: как описывается с точки зрения теории представлений алгебры Хопф:: функций па квантовой группе
операция коумяожеяия А в давяой алгебре Хопфа. Ответом на этот вопрос является операция умножения на множестве представлений алгебры Хопфа функций на квантовой группе, для двух представлений S и Г принимающее вид ST = (S Т)Л. Представления образуют полугруппу относительно данного умножения- В настоящей диссертации рассматривается эта полугруппа для квантовой группы (/,(2). Дозазано, что существует представление П алгебры функций на данной квантовой группе, обладающее следующим замечательным свойством, см. [2]. При умножении Я на любое другое представление получается снова представление П. Как следствие получается некоторое тождество для базисних гипергеометрических рядов. В настоящей диссертации, см. также [2], это представление Л называется стабильным. Представление П является нулем в полугруппе представлений относительно рассматриваемой операции умножения.
В настоящей диссертации, см. также [1], доказано, что стабильное представление П унитарно эквивалентно регулярному представлению алгебры функций на квантовой группе SUq(2).
В диссертационной работе исследуются также другие вопросы некоммутативного анализа. Исследуется представление q-деформированной алгебры Гайзенберга в пространстве функций на поле р-адических чисел, строятся р-адические д-интегралы и ^-экспоненты.
Прьводнтся пример квантовогруппового карального поля я изучаются возникающие перестановочные соотношения.
Актуальность ТЄМЬІ. В многочисленных современных работах развиваются приложения некоммутативного анализа к различным областям физики и математики, в частности, к теории элементарных частиц. В этой связи представляется существенным изучение квантовогруппового карального поля и исследование связи некоммутативного анализа с р-адическим.
ЦеЛЬ раООТЫ. Исследование структуры полугруппы на представлениях алгебры функций на квантовой группе. Изучение связи некоммутативного анализа, р-адического анализа и разностных уравнений. Рассмотрение возможности применения в физике теории представлений алгебр функций на квантовых группах на примере квантовогруппового киралыгого поля.
Методика исследований. Используются методы функционального а-нализа (теория операторов, спектральная теорема), теории представлений, р-адического анализа.
Научная новизна.
1) Исследована структура полугруппы на представлениях алгебры функций
па квантовой группе 51/,(2). Доказана теорема о стабильном представлении алгебры функций па квантовой группе SU,(2).
-
Доказана теорема об унитарной эквивалентности стабильного и регулярного представлений алгебры функций на квантовой группе S(7,(2).
-
Построены р-адические q-интегралы и 9-экспонепты.
-
Построен пример киралыюго поля со значением в квантовой группе. Построена алгебра с кубическими перестановочными соотношения, возникающая при джфференшіровапии рассмотренного киралыюго ноля.
Теоретическая И Практическая ЦеННОСТЬ. Настоящая диссертационная работа представляет теоретическую ценность. Возможно использование изложенных результатов в теории квантовых групп, некоммутативного анализа, теории элементарных частил.
АпробаЦИЯ работы. Результаты настоящей диссертационной работа би.тії доложены на семинарах в Математическом Инт иі vie имени В.А.С'теклова РАН, механико-математического факультета МТУ имени М.В.Ломоносова, Объединенного Института Ядерных Исследований (Дубна). Результаты диссертации изложены в четырех публикациях, список которых Приведен в конце автореферата.