Содержание к диссертации
Введение
1 Обзор литературы 25
1.1 Теория контрастных структур 25
1.2 Начально-краевые задачи для параболических уравнений типа реакция-диффузия-адвекция 33
1.3 Примеры использования теории контрастных структур в приложениях 43
2 Стационарные контрастные структуры в уравнениях реакция-диффузия-адвекция в случае сбалансированной адвекции 49
2.1 Постановка задачи. Основные условия 50
2.2 Построение асимптотического разложения решения
2.2.1 Главные члены асимптотического разложения 55
2.2.2 Члены асимптотического разложения первого порядка 57
2.2.3 Члены асимптотического разложения второго порядка 59
2.2.4 Члены асимптотического разложения произвольного порядка 61
2.3 Основной результат главы 2 64
3 Существование решения в виде движущегося фронта у задачи типа реакция-адвекция-диффузия в случае сбалансированной адвекции 78
3.1 Постановка задачи. Основные условия 78
3.2 Построение асимптотического разложения решения
3.2.1 Главные члены асимптотического разложения 84
3.2.2 Члены асимптотического разложения первого порядка 87
3.2.3 Члены асимптотического разложения второго порядка 90
3.2.4 Члены асимптотического разложения произвольного порядка
3.3 Основной результат 97
3.4 Пример 106
4 Существование периодического решения с внутренним переходным слоем в задаче реакция-диффузия-адвекция в случае баланса адвекции 110
4.1 Постановка задачи. Основные условия 110
4.2 Построение асимптотического разложения решения
4.2.1 Главные члены асимптотического разложения 116
4.2.2 Члены асимптотического разложения первого порядка 119
4.2.3 Члены асимптотического разложения второго порядка 123
4.2.4 Члены асимптотического разложения произвольного порядка 124
4.3 Основной результат 126
Список литературы 137
Использованная литература
- Примеры использования теории контрастных структур в приложениях
- Члены асимптотического разложения первого порядка
- Главные члены асимптотического разложения
- Главные члены асимптотического разложения
Введение к работе
Актуальность темы
Использование теории контрастных структур при математическом моделировании уместно в том случае, если при описании физических процессов графики функций, характеризующих физические величины, имеют внутренние переходные слои. Исследование краевых задач, допускающих решение вида контрастных структур, позволяет детально изучить структуру переходных слоев и на основе полученного анализа конструировать математические модели, наиболее точно описывающие поведение физических величин в тех областях, где они имеют большие градиенты. В частности, теория контрастных структур используется при разработке моделей, описывающих процессы переноса в приповерхностном слое атмосферы при наличии пространственной неоднородности [], фазовые переходы на границе раздела различных сред, а также в химической кинетике, в биофизике [10], в задачах нефтедобычи [–], в физике полупроводников [,] и в физике сверхпроводников [–].
Актуальность работы как математического исследования заключается в развитии алгоритма построения асимптотического разложения решений задач типа реакция-диффузия-адвекция. Этот алгоритм предложен А. Б. Васильевой в работе [] и получил развитие в работах [, , , ]. В настоящей работе этот алгоритм обобщен на задачи вида () при условии баланса адвекции. Для доказательства существования решений с внутренними переходными слоями у краевых и начально-краевых задач весьма эффективно примененяется асимптотический метод дифференциальных неравенств [–]. В настоящей работе проведено обобщение этого метода на задачи реакция-диффузия-адвекция при условии баланса адвекции.
Диссертационная работа представляется к защите по специальности 01.01.03 и содержит исследование математическими методами математических проблем, возникающих в механике жидкостей и газов, и разработку математического аппарата для описания пространственных областей, в которых наблюдаются большие градиенты физических характеристик жидкостей и газов. Тем самым работа удовлетворяет критериям, указанным
в паспорте специальности.
Цель работы
Исследовать следующие задачи для сингулярно возмущенного уравнения реакция-диффузия-адвекция в случае баланса адвекции:
– Краевая задача
– Начально-краевая задача
– Краевая задача с условием периодичности по времени
-
Для некоторых указанных задач определить условия, при которых в рассматриваемых задачах существуют решения с внутренним переходным слоем (КСТС).
-
Разработать алгоритм построения асимптотических разложений решений типа КСТС для рассматриваемых типов задач.
-
Доказать существование решений, обладающих построенной асимптотикой.
Научная новизна
1. На основе метода пограничных функций построены асимптотические разложения решений с внутренними слоями для новых типов сингулярно возмущенных задач, содержащих малый параметр при старшей производной:
– краевая задача реакция-диффузия-адвекция в случае баланса адвекции,
– начально-краевая задача реакция-диффузия-адвекция в случае баланса адвекции,
– краевая задача реакция-диффузия-адвекция с условием периодичности по времени в случае баланса адвекции.
2. Для каждой задачи доказаны теоремы существования решения с построенной асимптотикой. Результаты по обоснованию асимптотических разложений получены путем развития метода дифференциальных неравенств на задачи исследуемого типа.
Практическая ценность
-
В работе проведено развитие математического аппарата, предложенного А.Б. Васильевой, В.Ф. Бутузовым и Н.Н. Нефедовым на новый класс задач типа реакция-диффузия-адвекция, допускающих решения с внутренними переходными слоями, при условии баланса адвекции. Исследование задач с решениями вида контрастных структур является практически необходимым, поскольку в дальнейшем они могут быть использованы для построения математических моделей, в частности, относящихся к механике жидкости и газа. Результаты диссертации представляют интерес для ученых, занимающихся математическим моделированием физических явлений в областях с пространственными неодно-родностями, вблизи которых наблюдаются большие градиенты характеристик среды.
-
Проведено обобщение асимптотического метода дифференциальных неравенств на задачи типа реакция-диффузия-адвекция при условии баланса адвекции. В дальнейшем идеи, содержащиеся в диссертации, могут быть использованы при доказательстве существования решений у более широкого класса задач.
Положения, выносимые на защиту
-
Исследование новых классов сингулярно возмущенных задач типа реакция-диффузия-адвекция, решения которых обладают внутренними переходными слоями при условии баланса адвекции.
-
Разработка алгоритма построения асимптотических разложений с внутренними переходными слоями, дающего возможность определять локализацию переходного слоя для стационарных задач и уравнение движения фронта в параболическом случае.
3. Строгое математическое обоснование результатов. Доказательство существования и устойчивости решений задач указанных типов, имеющих построенные асимптотические разложения.
Публикации
По материалам диссертации опубликовано 11 научных работ, из которых 3 статьи в рецензируемых журналах по перечню ВАК. Список публикаций приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации
Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и списка цитируемой литературы. Полный объем диссертации составляет 141 страницу. Диссертация содержит 1 рисунок. Список литературы включает 68 наименований.
Примеры использования теории контрастных структур в приложениях
Исследование сингулярно возмущенных дифференциалвных уравнений с решением, содержащим внутренний переходный слой, начато в работах А. Б. Василвевой, В.Ф. Бутузова [24-30].
Резулвтатві исследований были объединены в учебное пособие [1], опубликованное в 1990 году, где излагаются основы асимптотической теории сингулярнвіх возмущений, приводятся примеры применения теории для решения началвной задачи в скалярном случае и в случае системы уравнений и, наконец, рассматриваются задачи с решениями типа кон-трастнвіх структур. В разделе, посвященном контрастнвім структурам, рассказывается о модификации метода малого параметра для построения формалвного асимптотического разложения решения вида КСТС в задаче уравнение F(y,x) = 0 имеет 3 изолированнвгх на отрезке [0,1] корня р\(х) (/?г(ж) рг(х) и, кроме того, выполняются неравенства Fy (ip1 3(x)) 0, Fy (ip2(x)) 0. (У2) Уравнение (УЗ) Пусть выполнено неравенство J F(y,x)dy 0 при s Є (ірі, /?з) Исследование краевых задач с внутренними переходными слоями продолжено в работах [31-35]. В учебном пособии [36] для задачи в постановке (1.1) доказывается существование решения с внутренним переходным слоем при помощи асимптотического метода дифференциальных неравенств, а именно доказана следующая теорема.
Теорема. Если 1 (хо) 0, то существует решение у(х,є) задачи (1.1), которое на интервале (8,хо — 8) лежит в 8-окрестности Рг(х), а на интервале (х0 + 8,1 — 8) лежит в 8-окрестности р\(х). Это решение имеет внутренний переходный слой на множестве (хо — 8, хо + 8) с переходом от /?з к tp\, а также погранслои в окрестности точек х = 0 и х = 1. Величина 8 сколь угодно мала, но фиксирована при є — 0.
Также в работе [36] описан алгоритм получения экспоненциальных оценок для функций, описывающих переходный слой.
В 1995 году в статье [21] приведена общая схема использования асимптотического метода дифференциальных неравенств для обоснования существования у краевых задач решений вида КСТС на примере двумерной задачи ограниченная область с достаточно гладкой границей дТ . Задача рассматривается при условиях (У1)—(УЗ).
В статье [2] проведен обзор работ по теме контрастных структур в сингулярно возмущенных задачах. В частности, рассматриваются решения с внутренними переходными слоями у задачи вида (1.1) при выполнений условий (У1)—(УЗ). Помимо этого рассматривается задача
Выполнение условия (УЗк) означает, что в задаче реализуется так называемый критический случай. В этом случае согласно алгоритму построения асимптотического разложения к-ое слагаемое в разложении точки перехода (3) получается только после построения асимптотического разложения решения (к + 1)-го порядка.
В работе [7] содержится алгоритм построения асимптотического разложения решения краевой задачи для квазилинейного уравнения имеет решение у"\ удовлетворяющее условию у" (0) = у0, и решение у(г\ удовлетворяющее условию y(r)(0) = у1, и пусть A (y(l\t) О, A (y r\t) О, когда t Є [0,1]. В статье строится решение задачи (1.5), имеющее в пределе ц — О внутренний переходный слой типа ступеньки в окрестности t . Величина t ищется в виде t (fl) = to + flt\ + . .
Асимптотическое разложение решения задачи (1.5) строится в виде суммы регулярной функции и пограничной функции: В статье описан алгоритм нахождения членов асимптотического разложения регулярной и пограничной функции, а также получено уравнение для нахождения членов разложения величины t . В частности, уравнение для определения to можно записать в виде
Требование II. Пусть уравнение (1.8) разрешимо относительно to, и Ф ( о) Ф О В статье сформулирвана и доказана следующая теорема. Теорема 1. При выполнении условий I, II существует решение задачи (1.5) с внутренним переходным слоем в точке t (fi). Ряд (1.7) является асимптотическим для этого решения.
Коэффициенты ряда (1.7) и члены U асимптотического разложения t (/i) по степеням /і определяются по описанному в статье алгоритму Обобщение асимптотических методов на решение задач реакция-адвекция-диффузия проведено в работе [5]. Особенноств этой работы заключается в том, что адвекция мала.
В указанной работе рассматривается краевая задача для сингулярно возмущенного квазилинейного уравнения с малым параметром є 0: где компонентві вектора А(и,х) = {Аі(и,х),А2(и,х)}, функции В(и,х) и д{х) достаточно гладкие в области изменения и Є U и x Є T . Считается, что выполнено условие (S1). Условие (S1). Ввірожденное уравнение В(и,х) = 0 имеет ровно три корня и = РІ(Х), і = 1,3, причем рі(х) р2(х) (/?з(ж), Ви (ірі(х),х) 0, г = 1, 3, Ви (ip2(x),x) 0 при х ЕТ .
В работе доказано существование и построено асимптотическое разложение решения и(х,є) задачи (1.9) с внутренним переходнвім слоем, то еств решения, которое по разные сторонві от некоторой замкнутой кривой С, полноствю лежащей внутри области V, близко к разным решениям и = fi(x) и и = +рз{х) вырожденного уравнения В{и,х) = 0, а в малой окрестности С переходит от и = р\(х) к и = ц з(х). Положение кривой С заранее неизвестно и определяется в ходе построения асимптотического разложения. где Т — соответственно, внешняя и внутренняя подобласти области Т , разделенные кривой С, которая может бытв задана, например, пара метрически уравнениями ХІ = УІ{9), і = 1, 2. В этом случае, если n(y, С) — единичная внешняя нормаль к кривой С в точке у с направляющими косинусами щ(в,С), то взаимно однозначное соответствие между координатами дается выражениями ХІ = Уі(9) + гщ(9, С) = Хі{г\9)1 і = 1,2.
Условие (S2). Для любого (г,9) є [—#;#] х [0,в(С)] сепаратриса, выходящая из седла (ірі (г, 9) , 0) представима в виде v = v (, г, 9), й = м(-_-) (, г, 9) и пересекает линию u = ip2 (г, 9), при этом точке пересечения отвечает значение = 0, а седлу — значение = —оо. Сепаратриса, входящая в седло ( /?з (г, 9) , 0) представима в виде v = й (,r, 0), й = й (, г, б1) и пересекает линию и = ір2 (т, 9), при этом точке пересечения отвечает значение = 0, а седлу — значение = +оо.
Члены асимптотического разложения первого порядка
Далее в работе приводятся результаты численных экспериментов, которые показали применимость теории диссипативных контрастных структур для решения системы осредненных уравнений Навье-Стокса и неразрывности и расчета поля скорости ветра. В работе [39] теория контрастных структур используется для разработки математической модели, описывающей урбоэкосистему, а именно, городскую среду. На базе уравнения Фитц-Хью-Нагумо для описания взаимодействия антропогенных и природных факторов в городской среде авторами предложена следующая система уравнений: f - єА.0 = \ Ни - а(х))(и - 1) + uv), f - eDv$ = {- yv + 0и) при начальных и краевых условиях ux(0,t)=ux(L,t) = 0, vx(0,t) = vx(L,t) = 0, ІЄ(0,Т], (1.38) и(х, 0) = щ(х), v(x, 0) = vo(x), XE[0,L]. где и — функция интенсивности активатора (антропогенных процессов), v — функция интенсивности ингибитора (природных процессов), а — параметр активации системы, обратно пропорциональный плотности распределния населения, 7 0 — кинетический параметр затухания потенциала ингибитора, /3 0 — кинетический параметр затухания потенциала ингибитора, Du и Dv — коэффициенты диффузии активатора и ингибитора, 0.1 sDu 1, 0.01 sDv 0.1, 0 є 1 — параметр, характеризующий скорость распространения активатора и ингибитора. Наличие множителя - в правой части уравнения (1.37) означает, что скорость изменения и значительно больше скорости изменения
Стационарные контрастные структуры в уравнениях реакция-диффузия-адвекция в случае сбалансированной адвекции.
В данной главе изучаются стационарные решения с внутренними переходными слоями (контрастные структуры) сингулярно возмущенного параболического уравнения, называемого в приложениях уравнением реакция-диффузия-адвекция. Построено асимптотическое приближение произволвного порядка точности таких решений и доказана теорема существования. Предложен эффективнвш алгоритм построения асимптотического приближения точки перехода. Для обоснования построенной асимптотики исполвзуется и развивается на этот класс задач асимптотический метод дифференциалвнвіх неравенств, позволивший также уста-новитв устойчивоств по Ляпунову таких стационарных решений. 2.1 Постановка задачи. Основные условия
В этой главе исследуются вопросы существования и устойчивости ста-ционарнвіх и нестационарнвіх решений с внутренними слоями задачи Є і тг - =А(и,х) + В(и,х), 0 ж 1, 0; u(0,t) = u, u(l,t)=u\ (2-І) щх, 0) = Uinit{x), где А(м,ж) и В(и,х) — достаточно гладкие функции, є 0 — малый параметр. Уравнение в (2.1) в приложениях называют уравнением реакция-адвекция-диффузия . Стационарные решения (2.1) являются решениями сингулярно возмущенной краевой задачи для обыкновенных дифференциалвных уравнений второго порядка е% = А(и,х)% + В(и,х), 0 1, и(0) = и, и(1) = и1. Если положитв в (2.2) є = 0, то получим вырожденное уравнение решения которого, вообще говоря, не удовлетворяют двум краеввім условиям задачи (2.2). Пуств выполняется следующее условие. (А1)Вырожденное уравнение (2.3) с дополнительным условием и(0)=и имеет решение и = ір(- \х), а с дополнительным условием и{1)=и1 — решение и = ip(-+\x), причем
В настоящей работе получены условия существования у задачи (2.2) решения вида контрастной структурві типа ступенвки, то еств такого решения, которое при малвіх є близко к ір( \х) при х ж , где ж Є (0,1), и близко к tp(+\x) при х ж , а в малой окрестности ж имеет резкий переходнвій слой от ір( \х) к /?(+)(ж).
Рассмотрим следующую систему двух уравнений первого порядка от-носителвно функций й(,х) и Ф(,ж). с условиями м(—оо,ж) = /?(- -)(ж), м(+оо,ж) = /?(-+-)(ж), Ф(±оо,ж) = 0. Переменная ж выступает здесв как параметр. Эта система назвшается присоединенной системой для уравнения (2.2).
Разделив второе из этих уравнений на первое, получим задачи для определения фазовых траекторий системы (2.4) на плоскости (й,Ф): то на фазовой плоскости (й, Ф) при ж = жо существует фазовая траектория, соединяющая точки ( /?("), 0) и ((/?(+),0). Это условие является необходимым (но не является достаточным) для существования у задачи (2.2) решения с внутренним переходнвім слоем.
Задача (2.2) изучаласв в ряде работ (см. [7] и ссвілки в этой работе), где, в частности, изучалисв контрастнвіе структуры. При этом предпо-лагалосв, что уравнение имеет простые корни. Там же было показано, что при этих условиях задача (2.2) может иметь решения с внутренними переходными слоями, локализованными вблизи точек, являющихся корнями уравнения (2.6). Однако в ряде приложений возникает ситуация, когда 1{х) = 0 в области рассмотрения. Такая ситуация представляет интерес и с точки зрения теории сингулярных возмущений. В этом случае мы называем задачу (2.2) задачей со сбалансированной адвекцией. Пусть выполнено условие.
Условие (A2) означает, что фазовая траектория, соединяющая ((/?(- -),0) и ( /?(+),0) на фазовой плоскости (й, Ф) существует при каждом значении х Є [0,1].
Отметим, что в отличие от ранее рассмотренных задач для (2.2) нами применяется подход, основанный на асимптотическом методе дифференциальных неравенств, позволяющий наряду с существованием контрастной структуры установить ее устойчивость по Ляпунову как стационра-ного решения параболического уравнения (2.1) (см. [21,40,41]). Этот подход реализуется в два этапа: построение формального асимптотического разложения, а затем конструирование верхнего и нижнего решений за дачи (2.2) (см. задачу (1.20) и определение верхнего и нижнего решений для нее) как модификации построенного асимптотического разложения. В 2 строится формальное приближение решения, в 3 предлагается модификация формального асимптотического разложения и формулируется основной результат работы.
Главные члены асимптотического разложения
В данной главе исследуется вопрос о существовании и асимптотическом приближении решения с движущимся внутренним переходным слоем следующей начально-краевой задачи для уравнения реакция-диффузия-адвекция іє(f?-f) = АМШ + в х) (х )єD = іхє ( !); є ( т)і
Здесь є 0 — малый параметр, Т — некоторая положительная Бели-чина. Считаем, что функции А(и, х) и В(и, х) достаточно гладкие Б области П = D х 1(и), где /(и) — область значений функции и(х, t, є). Требуемый порядок гладкости функций А(и,х) и В{и,х) связан, как обычно, с порядком строящейся асимптотики и легко устанавливается.
Решения с внутренними переходными слоями для уравнения реакция-диффузия-адвекция часто встречаются в приложениях, например, в экологии при математическом моделировании изменения температуры или концентрации газов в приповерхностных слоях атмосферы, а также в химической кинетике (подробнее см. гл. 1).
Теоретическое исследование начально-краевых задач, имеющих решения такого вида является одной из актуальных проблем математической физики.
Настоящей работе предшествует серия публикаций, касающихся исследования решений с внутренним переходным слоем в начально-краевых задачах типа реакция-диффузия-адвекция. В частности, в работах [46,47] были рассмотрены решения в виде стационарных внутренних переходных слоев у задач типа реакция-диффузия-адвекция. Исследования движущихся фронтов в задачах реакция-диффузия содержатся в работах [4,6]. Работа [8] посвящена движению фронта в задаче реакция-диффузия-адвекция.
Доказательство существования у краевых задач решений с внутренними переходными слоями основано на принципе сравнения [22] и проводится с помощью асимптотического метода дифференциальных неравенств. Развитие этого метода на широкий класс сингулярно возмущенных начально-краевых задач содержится в работах [21, 23]. Особенностью настоящей работы является исследование движущегося фронта в случае баланса адвекции.
Будем предполагать, что в начальный момент времени уже существует сформированный фронт, то есть функция uinit(x,e) имеет внутренний переходный слой в окрестности некоторой внутренней точки Жоо интервала (0,1). В данной главе построено асимптотическое разложение и доказано существование у задачи (3.1) решения в виде движущегося фронта, то есть решения, имеющего внутренний переходный слой, который в каждый момент времени t локализован в окрестности точки ж (,є) Є (0,1). Слева от указанной окрестности решение u(x,t,e) задачи (3.1) близко к решению дифференциального уравнения с начальным условием и(0) = и \ а справа — к решению уравнения (3.2) с начальным условием и(1) = и . Существование этих решений обеспечивается следующим требованием.
Уравнение (3.2) с дополнительным условием и(0) = и имеет на отрезке [0,1] решение и(х) = /?(-_-)(ж), а с дополнительным услови ем и(1) = и — решение и(х) = (/?(+)(:г), и на всем отрезке х Є [0,1] выполняются неравенства
Условие баланса адвекции в настоящей работе означает выполнение следующего требования: Потребуем также выполнения следующего условия: (-B3) Пусть для всех s Є ((/ \х), ір +\х) и каждого х Є (0,1) справедливо неравенство
Функция x (t,e) описывает изменение положения переходного слоя в зависимости от времени. Будем искать ее в виде разложения по степеням малого параметра є. x (t,e) =x0(t)+exi(t) + ..., (3.3) с коэффициентами Xk(t),k = 0,1,..., которые будут определены в ходе построения асимптотики. Введем обозначения V{ ] = {(x,t) :0 x x (t,e);tE [0,Т]}, V{+) = {(x,t) : x (t,e) x l;t Є [0,T]}. Асимптотическое разложение U(x,t,e) решения задачи (3.1) будем строить отдельно в каждой из областей V и V :
Каждую из функций U и U представим в виде суммы регулярной части и функции, описывающей поведение решения в окрестности переходного слоя, зависящей от растянутой переменной (x,t) = U \x,t,e) = и{т\х,є) + Q(,t,e). Здесь U — регулярная часть; Q — функции переходного слоя.
Заметим, что функция й(,х ) является непрерывной при є К в силу краевого условия при = 0 задачи (3.11). Ниже мы покажем, что условие (-В2) баланса адвекции обеспечивает непрерывность функции
При каждом і є [0,Т] это уравнения фазовых траекторий на плоскости (и,Ф), одна из которых выходит из точки ( /?(-_-), О) при — —оо, а другая входит в точку ( /? +\о) при — Условие (В2) означает, что в каждый момент времени t Є [0,Т] для любого значения х Є (0,1) на фазовой плоскости (й, Ф) сущесвует кривая, соединяющая точки ( /?(-_-),0) и ( /?(-+-), 0). Из условия (В2) следует равенство Ф(-0,ж ) = Ф(+0,ж ). (3.15)
Главные члены асимптотического разложения
В данной главе исследуется вопрос о существовании и асимптотическом приближении решения с внутренним переходным слоем краевой задачи (4.1) с периодическим условием по параметру t. Проводится построение формалвного асимптотического разложения решения такого вида. Доказателвство существования решения, приближаемого построеннвім асимптотическим разложением, проводится при помощи метода диффе-ренциалвных неравенств [3,21,22]
Будем рассматриватв задачу (4.1) при определеннвіх предположениях. Положив в уравнении (4.1) є = 0, получим так называемое ввірож-денное уравнение: ди A(u,x,t)— + B(u,x,t) = 0, (4.2) где t рассматривается как параметр. Будем решатв это дифференциалв-ное уравнение с каждым из краеввіх условий задачи (4.1): u(0,t)=u{-\t), (4.3) u(l,t)=u(+)(t). (4.4) Существование этих решений обеспечивается следующим требованием. (С1) Пуств задачи (4.2), (4.3) и (4.2), (4.4) имеют решения u{x,t) = ip( \x,t) и u(x,t) = t/?(+)(:r,t), соответственно, которвіе определенві для переменных (x,t) Є V = {х Є [0,1]; і Є (—оо;+оо)}. Эти решения Т-периодичнвіе по переменной t и удовлетворяют следующим неравенствам
В дальнейшем мы построим формальное асимптотическое разложение решения для краевой задачи (4.1), содержащее внутренний переходный слой в области кривой х = x (t,e), где ж будет определено в ходе построения асимптотики. Будем искать функцию x (t,є) в виде разложения по степеням малого параметра є: x (t,e) =x0(t)+exi(t) + ..., (4.5) где коэффициенты Xk(t),k = 0,1,... — Т-периодичные функции, которые будут определены в ходе построения асимптотики. Введем обозначения V{ ] = {(x,t) :0 х x (t,e);te (-оо,+оо)}, V{+) = {(x,t) :x (t,e) x l;te (-oo,+oo)}. 112 Асимптотическое разложение U(x,t,e) решения задачи (4.1) будем строить отдельно в каждой из подобластей V и V :
Построенные функции U( \x,t,e) и [/(+)(ж, t,e) будем гладко сшивать при х = ж (,е) для каждого t. Будем считать, что значение функции U(x,t,e) в точке ж в каждый момент времени t равно здесь, как и ранее, Ui(x,t) — регулярные периодические функции; Qi(jt) — периодические функции, описывающие переходный слой.
Основным отличием от (3.10) является периодическая зависимоств от времени функций A(u,x,t) и B(u,x,t), входящих в эти уравнения. Краевые условия для функций Q (, t, є) получаются из условия непрерывности асимптотических разложений в каждый момент времени и имеют вид
Потребуем также выполнения стандартного для функций переходного слоя Q (, ) условий убывания на бесконечности: Главные члены асимптотического разложения Главные регулярные члены асимптотики определяются условием (С1)
Для функций нулевого порядка разложения по є, описывающих переходный слой, Q0 и Q0 получаем следующие краевые задачи Дифференциальное уравнение второго порядка (4.11) при каждом значении параметра t эквивалентно системе двух дифференциальных уравнений первого порядка (2.4) Разделив второе уравнение системы на первое, перейдем к следующему уравнению для функции Ф
При каждом t Є [0,T] это уравнения фазовых траекторий на плоскости (м,Ф), одна из которых выходит из точки ( /?(-_-), О) при — — оо, а другая входит в точку (ір(+\0) при — +оо. Условие (С2) означает, что в каждый момент времени t Є [0,Т] для любого значения х Є (0,1) на фазовой плоскости (й,Ф) существует кривая, соединяющая точки ( /?("), 0) и ( +),0).
В силу предположений (C1),(C3) эти задачи имеют единственные решения, удовлетворяющие следующим оценкам Подставив функции Q ( ,t,e) в виде разложения по степеням є в уравнение (4.10) и условия сшивания (4.8) и приравнивая коэффициен-тві при є1, получим задачи для определения функций переходного слоя
Построим члены асимптотического разложения второго порядка по є решения задачи (4.1). Регулярные функции Регулярные функции будут определяться из задач Копій А{т\х,і)Щ = -W (u,x,t)U2T) + ff\x,t), u{-\o,t) = o, U(2+\l,t) = 0, U{2±\x,t + T) = U{2±\x,t), где функция W (u,x,t) определяется выражением (4.18), а функция jlj (ж, ) имеет вид аналогичный (3.2.3). Функции U2(x,t) могут быть выписаны в явном виде по аналогии с (4.19) и также как и U\{x,t) являются Т-периодическими по переменной t. Функции, описывающие переходный слой Функции переходного слоя второго порядка Q2 (,) определяются как решения следующих задач: где функция f2 (, ) имеет вид аналогичный (3.27). Из условия гладкого сшивания (4.9) во втором порядке по є с учетом разложения (4.5) аналогично тому, как это было сделано в гл. 3