Изогюйгенсовы деформации однородных дифференциальных операторов Хэкало Сергей Павлович

Введение к работе

Актуальность темы. Диссертационное исследование посвящено классической проблеме Адамара об описании линейных дифференциальных операторов (уравнений), удовлетворяющих принципу Гюйгенса.

Адамар¹ предложил математическое описание явления, названного принципом Гюйгенса в узком смысле. Физический смысл принципа Гюйгенса в узком смысле Адамара состоит в существовании заднего фронта у волны, порожденной локализованным в пространстве и времени источником.

Адамар исследовал задачу Копій для линейного гиперболического дифференциального уравнения вида

^^9г1{х)Ъх^ ⁺ ^^Ьг{х)Ч^ ^{+ С{х)Ф) =} ^ ^{ХЄКП (1)}

г,.7=1 г=1

на R^ra. Он предложил конструкцию элементарных решений уравнения (1) і анзатц Адамара). Пусть Т(х,хо) = 0 - характеристический коноид уравнения (1) , xq - вершина коноида, U_S,R - гладкие функции. Конструкция Адамара

га/2-2 оо

Е U_s(x, x₀)T^s+l-ⁿ'² + U_s(x, x₀)T^s+l-ⁿ'² ІпГ + R, п - четное,

s=0 s=n/2-l

v(x,x₀) = < (2)

J2 Usix, x₀)T^s+1~ⁿ, n — нечетное,

как отметил B.M. Бабич² "в некотором смысле уникальна: ее не удается распространить на сколь-нибудь общие уравнения высших порядков или системы таких уравнений."

Критерий Адамара гюйгенсовости уравнения (1) состоит в обрыве анзатца (2): уравнение (1) удовлетворяет принципу Гюйгенса тогда и только тогда, когда п > 2 - четно и элементарное решение (2) не содержит логарифмического члена для всех х, лежаи^их внутри характеристического коноида с вершиной в точке х₀ Є R^ra.

Первоначально Адамар поставил задачу о нахождении в явном виде коэффициентов g^li{x), Ь^г(ж), с(х) так, чтобы уравнение (1) было гюйгенсовым ІЗадача Адамара). В настоящее время вопрос о гюйгенсовости дифференциальных операторов ставится для произвольных дифференциальных операторов (произвольного порядка и не обязательно гиперболических) и в понятие "принцип Гюйгенса" вкладывается следующий смысл³'⁴: дифференциальный оператор удовлетворяет принципу Гюйгенса, если имеет фундаментальное решение (называемое главным) с носителем положительной коразмерности. Современное понимание

¹ J. Hadamard, Lectures on Cauchy's Problem, - New Haven, (1923) (или более поздние издания: J. Hadamard, Le probleme de Cauchy et les equations aux derivels partielles neaires hyperboliques, - Paris, (1932), Ж. Адамар, Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа, - М.:Наука, (1978).)

²В.М. Бабич, Анзатц Адамара, его аналоги, обобщения, приложения, - Алгебра и анализ, т.З, в.5, (1991), с. 1 - 37.

³Ю.Ю.Берест, А.П.Веселов, Принцип Гюйгенса и интегрируемость, - УМЫ. т.49, 6(300), (1994), с.8-78.

⁴А.М.Габриелов, В.П.Паламодов, Принцип Гюйгенса и его обобщения. ( В книге И.Г.Петровский, Системы уравнений с частными производными. Алгебраическая геометрия. Избранные труды.) - М.:Наука, (1968), с.449-456.

проблемы Адамара состоит в описании классов дифференциальных операторов, удовлетворяющих принципу Гюйгенса.

До 1953 года считалось, что принципу Гюйгенса удовлетворяют только волновой оператор

д² д² д²

П = —- - —₅ - ... - —^-, (t,x) Є R^ra, п = N + 1, N - нечетное,
at¹ дх{ дх^г_м

и операторы, приводимые к нему элементарными преобразованиями (невырожденной заменой переменных и умножением оператора слева или справа на ненулевую функцию). Однако К. Штельмахер⁵ установил гюйгенсовость деформаций

U — u(t,x) = U h> 2 ' А—нечетное, (3)

i=\ ⁱ

волнового оператора П потенциалами u(t, х) с неотрицательными целыми параметрами 77, Еігш_г< (N-3)/2.

Дифференциальный оператор С называется деформацией дифференциального оператора Со, если

С = С₀ + линейные члены меньшего порядка с переменными коэффициентами.

Процесс построения деформаций также будем называть деформацией.

В 1960-х годах К. Штельмахер и Дж. Лагнезе⁶ решили проблему Адамара в классе деформаций + и{х\) с потенциалами и{х\), зависящими от одной переменной. Все такие деформации получаются преобразованиями Дарбу⁷ одномерного оператора Шредингера. Аналогом таких преобразований в диссертации выступает новый метод пошаговой калибровочной эквивалентности дифференциальных операторов^.

К концу XX века в решении проблемы Адамара определилось несколько направлений. Это топологический подход И.Г. Петровского⁹, позволивший установить для гиперболических операторов произвольных порядков с постоянными коэффициентами критерий наличия лакуны и найти новые примеры уравнений, удовлетворяющих принципу Гюйгенса¹⁰. На основе теоретико-группового подхода, П. Гюнтер¹¹, Н.Х. Ибрагимов, А.О. Оганесян¹² и другие (см., ссылки, например, в работе³) добились прогресса в описании гюйгенсовых дифференциальных операторов второго порядка с переменными коэффициентами при младших производных. Новым направлением в исследовании задачи Адамара явился предложенный

⁵K.L. Stellmacher, Ein Beispeil einer Huygennchen differentialgleichung, - Nachr. Akad. Wiss., Gottingen Math. Phys. Kl. Pa., V. 10, (1953), p. 133 - 138.

⁶J.E. Lagnese, K.L. Stellmacher, A method of generating class of Huygens' operators, - J. Math. Mech., V. 17, N 5, (1967), p. 461 -472.

⁷H.X. Ибрагимов, Группы преобразований в математической физике, - М.: Наука, (1983). ⁸С.П. Хэкало, Пошаговая калибровочная эквивалентность дифференциальных операторов, Математические заметки, т.77, в.6, (2005), с. 917-929;

⁹И.Г. Петровский, Избранные труды, т.1 - М.: Наука, (1986).

¹⁰Детальное описание топологического подхода и дальнейшее его развитие можно найти в книге В.А. Васильев, Ветвящиеся интегралы, - М.: МЦНМО, 2000.

ⁿP. Gunther, Ein Beispeil einer nichttrivialen Huygennchen Differentialgleichung mit vier unabhangigen veranderlichen, - Archive Rat. Mech. and Analysis, V. 18, (1965), p. 103 - 106.

¹²H.X. Ибрагимов, А.О. Оганесян, Иерархия гюйгенсовых уравнений в пространствах с нетривиальной конформной группой, - УМН, т.46, в.3(278), (1991), с. 111 - 146.

М.А. Семеновым-Тян-Шанским¹³ подход, основанный на теории рассеяния и примененный к волновому уравнению с многомерным временем. Результаты М.А. Семенова-Тян-Шанского позволили С. Хелгасону¹⁴, установить важные связи между принципом Гюйгенса и существованием локальной формулы обращения при преобразовании Радона.

В последние два десятилетия активно применяется метод деформаций, развитый в работах К. Штельмахера и Дж. Лагнезе⁵'⁶. В начале 1990-х годов Ю.Ю. Берест, А.П. Веселов³ и Ю.С. Молчанов¹⁵ предложили конструкцию (анзатц Береста-Веселова-Молчанова), позволяющую исследовать на гюйгенсовость деформации произвольных операторов Со, обладающих ядрами Рисса. Ядром Рисса оператора Со, называется семейство Ф^" целых по а Є С обобщенных функций на пространстве Шварца, удовлетворяющих условиям

СоФ^{_с1 = Ф^{_с7¹\ *?М (4)

где 8 - дельта-функция Дирака.

Анзатц Береста-Веселова-Молчанова отличается от анзатца Адамара (2) тем, что в нем вместо гладких функций U_s{x,xq) стоят дифференциальные операторы T>_s{C,Co;o), явно определяемые деформацией С и исходным оператором С₀ :

Ф^ = "^(С,Со;_а)Ф^'\ (5)

s=0

При этом анзатц (5) строится так, чтобы он задавал ядро Рисса (4) оператора С :

ф^) = ф^-¹)₎ Ф^ = 8.

Обрыв анзатца (5) влечет гюйгенсовость деформированного оператора С, если некоторая степень исходного оператора Со была гюйгенсова. Ряд (5) обрывается в случае так называемой калибровочной эквивалентности¹⁶ деформированного и исходного дифференциальных операторов. Вопрос о необходимости условия калибровочной эквивалентости для выполнения принципа Гюйгенса пока открыт¹⁶.

Важным результатом применения анзатца (5) к гиперболическим операторам второго порядка явилось расширение класса изогюйгенсовых деформаций волнового оператора на основе теории М. Рисса¹⁷ при помощи потенциалов Калоджеро-Мозера³

^ (Р,Х)² ' ^W

/?є7г₊ ^v ' >

Здесь 1Z₊ - положительные корни произвольной корневой системы в R^w, (,)-стандартное скалярное произведение в R^w, nip - неотрицательные целозначные функции на корневой

¹³М.А. Семенов-Тян-ШанскиЙ, Гармонический анализ на римановых симметрических пространствах отрицательной кривизны и теория рассеяния, - Изв. АН СССР, сер. матем., т. 40, (1976), с. 562 - 592.

¹⁴S. Helgason , Integral Geometry and Multitemporal Wave Equation, - Com. Pure and Appl. Math., V. 51, (1998), p. 1035 - 1071.

¹⁵Y.Berest, Y.Molchanov, Fundamental solution for partial differential equations with reflection group invariance, - J.Math.Phis. V.36(8), (1995), p.4324-4339.

¹⁶Y.Berest, Hierarchies of Huygens' Operators and Hadamard's Conjecture, - Acta Appl. Math. V.53, (1998), P.125-185.

¹⁷M. Riesz, L'integrale de Riemann-Liouville et le probleme de Cauchi, - Acta Math., 81, (1949), p.1-223.

системе, инвариантные относительно действия соответствующей группы Вейля. Операторы (6) обобщают изогюйгенсовы деформации Штельмахера (3). Принцип Гюйгенса для них выполняется в случае нечетного N, удовлетворяющего неравенству

N>3 + 2 Y^ ^тЧ-

ІЗЄП+

Проблема Адамара для дифференциальных операторов высоких порядков с переменными коэффициентами, несмотря на значительные усилия, изучена в меньшей степени. Еще в 1950 - 60-х годах Л. Гординг¹⁸, Б.Р. Вайнберг и С.Г. Гиндикин¹⁹ обнаружили гюйгенсовы однородные гиперболические операторы высоких порядков с постоянными коэффициентами, а С.А. Гальперн²⁰ и В.Б. Творогов²¹ гюйгенсовы негиперболические операторы высоких порядков. Однако, сказать что-либо о изогюйгенсовых деформациях таких операторов долгое время не удавалось поскольку ни анзатц Адамара, ни критерий Петровского не применимы к операторам высоких порядков с переменными коэффициентами (более подробно, см., например, работы ²'⁴'⁷ и указанные там ссылки).

Построенный же Ю.Ю. Берестом, А.П. Веселовым и Ю.С. Молчановым анзатц (5) работает с произвольными операторами. В результате его применения, в работах Ю.Ю. Береста²² и автора²³ построены первые примеры изогюйгенсовых деформаций однородных гиперболических операторов высоких порядков.

В работе автора²⁴ доказана гюйгенсовость одного из негиперболических операторов Кэли-Лапласа, используемого в задачах интегральной геометрии²⁵. Однако полностью описать класс гюйгенсовых негиперболических радиальных однородных дифференциальных операторов Кэли-Лапласа не удавалось. Это было связано с вопросом о функциональном равенстве для дзета-функции Игузы²⁶ (см. рисунок на стр. 12 и комментарий к нему). Пусть х -вещественная прямоугольная п х т—матрица, 'х - транспонированная матрица, Ttp - преобразование Фурье функции <р, и Г_т - гамма-функция конуса вещественных симметрических т х m-матриц. Для дзета-функции Игузы²⁶

а —> Z\_x\(ip, а — п) = I \х\^а~^п ip(x) dx, (7)

J^nXm

¹⁸L. Garding, The solution of Cauchy's problem for two totally hyperbolic differential equations by means of Riesz integrals, - Ann.Math. 48(4),(1947), p.785-826.

¹⁹Б.Р. Вайнберг, С.Г. Гиндикин , Об усиленном принципе Гюйгенса для одного класса дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, - Труды Моск. матем. о-ва 16, (1967), с.151-180.

²⁰С.А. Гальперн, Лакуны негиперболических уравнений, - ДАН СССР, т. 132, N 5, (1960), с. 990 - 993.

²¹ В.Б. Творогов, Резкий фронт и особенности решений одного класса негиперболических уравнений, -ДАН СССР, т. 244, N 6, (1979), с. 1327 - 1331.

²²Y.Y.Berest, The theory of lacunas and quantum integrable systems, - CRM Series in Math. Ph., Springer-Verlag, (2000).

²³С.П. ХэкАЛО, Изогюйгенсовы деформации однородных дифференциальных операторов, связанных со специальным конусом ранга 3, Математические заметки, т.70, в.6, (2001), с.927-940.

²⁴С.П. ХэкАЛО, Дифференциальный оператор Кэли-Лапласа на пространстве прямоугольных матриц, Известия Академии Наук, Математическая серия, т.69, 1, (2005), с. 195-224;

²⁵Е.Е. Петров, Преобразование Радона в пространстве матриц, - МГУ, Труды сем. по вект. и тенз. ан., 15, (1970), с.299-315.

²⁶Жан Денеф, О локальной дзета-функции Игузы, (Труды семинара Н. Бурбаки за 1991г.) - М.:Мир, (1998), с.300-330.

|ж| = (det 'хх)^1/2, а Є С, flea > т - 1, <р Є S(R^nxm), Е.Е.Петров ²⁵, Дж. Фаро и А. Корани²⁷ и Дж. Клерк²⁸ доказали функциональное равенство

Z\_x\( ₌ __{ram/2 (Q}__ra) Z_N(^,-Q!)

Г_т(а/2) Г_т((га-а)/2) ^^;

при существенных ограничениях (см. ниже стр. 11). Автору²⁹ удалось доказать равенство (8) при произвольных п > т путем выхода из области одного комплексного переменного в многомерную комплексную область. В результате, автором³⁰ был полностью описан класс гюйгенсовых радиальных однородных негиперболических дифференциальных операторов Кэли-Лапласа. Одновременно, Б.С. Рубин³¹ нашел другое доказательство формулы (8). В его исследованиях были существенно использованы аппарат специальных функций Бесселя матричного аргумента и теория И.Н. Бернштейна³² аналитического продолжения обобщенных функций по комплексному параметру. Идея работы ²⁹ о переходе к дзета-функциям комплексного векторно-значного аргумента была позднее применена Е. Орничевой и Б. Рубиным к исследованию косинус-преобразования на многообразиях Штифеля³³.

С помощью формулы (8), на основе работ ³⁴'³⁰ легко прослеживается связь между наличием формулы Фугледе для интегрального преобразования Радона³⁵'³⁶ и выполнением усиленного принципа Гюйгенса для операторов Кэли-Лапласа. Такая связь аналогична связи между принципом Гюйгенса и локальностью формулы обращения при преобразовании Радона, обнаруженной в работах Семенова-Тян-Шанского¹³, Хелгасона¹⁴ и Гельфанда-Гиндикина-Граева³⁷.

Проблема построения изогюйгенсовых деформаций дифференциальных операторов произвольных порядков далека от завершения. В настоящее время предпринимаются активные усилия в отыскании интересных, с различных точек зрения, калибровочно эквивалентных гюйгенсовых деформаций дифференциальных операторов. Данная работа находится в русле этих усилий. Она основывается на использовании введенного автором понятия пошаговой

²⁷J. Faraut, A. Koranyi, Analysis on symmetric cones, - Clarendon Press, Oxford, (1994).

²⁸J.-L. Clerc, Zeta distributions associated to a representation of a Jordan algebra, - Math. Z., 239, (2002), p.263-276.

²⁹С.П. Хэкало, Дзета-функция Игузы, ассоциированная со сложной степенной функцией на пространстве прямоугольных матриц, Матем. заметки, т.78, 5, (2005), с. 773-791.

³⁰С.П. Хэкало, Сильно однородные дифференциальные операторы на пространстве прямоугольных матриц, Препринт ПОМИ РАН, 11,(2004), с. 1-13.

³¹ Rubin В., Riesz potentials and integral geometry in the space of rectangular matrices, - Advances in Math., 205, (2006), p. 549-598.

³²И.Н. БернштеЙн, Аналитическое продолжение обобщенных функций по параметру, - Функц. аназиз и его прил., т.6(4), (1972), с.26-40.

³³Е. Ournycheva, В. Rubin, The composite cosine transform on the Stiefel manifold and generalized zeta integrals, - Contemp. Math., 405, (2006), p. 111-123.

³⁴E. Ournycheva, B.Rubin, An analogue of the Fuglede formula in integral geometry on matrix space, -Contemp. Math., 382, (2005), p.305-320.

³⁵E. Ournycheva, B.Rubin, Method of mean value operators for Radon transforms in the space of matrices, - Intern.J.Math., 19, (2008), p.245-283.

³⁶E. Ournycheva, B.Rubin, Semyanistyi's integrals and Radon transforms on matrix spaces, - The Journal of Fourier Analysis and Applications, 14, 1, (2008), p.60-88.

³⁷И.М. Гельфанд, С.Г. Гиндикин, М.И. Граев, Избранные задачи интегральной геометрии , -М.Добросвет, (2000).

калибровочной эквивалентности ³⁸ применительно к деформациям однородных дифференциальных операторов. Задача диссертации - найти решение проблемы Адамара в классе пошагово калибровочно эквивалентных деформаций однородных априори гюйгенсовых дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами и описать все пошагово калибровочно эквивалентные изогюйгенсовы деформации радиальных однородных дифференциальных операторов.

Эта задача представляет интерес для специалистов в областях математической и теоретической физики, обобщенных функций, интегральных преобразований, комплексного анализа и дифференциальных уравнений в частных производных.

Целью работы является построение изогюйгенсовых деформаций однородных дифференциальных операторов в частных производных с постоянными коэффициентами и полное описание класса изогюйгенсовых деформаций типа Штельмахера (3) для однородных операторов.

Научная новизна диссертационного исследования состоит в следующем:

1. Аналитическими методами изучены дзета-функция Игузы (7) и ее обобщение, связанное со сложной степенной функцией Гиндикина многих комплексных переменных;

2. Приведено полное описание класса гюйгенсовых радиальных однородных негиперболических дифференциальных операторов высоких порядков и соответствующих им по-тенцилов Рисса многих комплексных переменных;

3. В явном виде решена проблема Адамара для введенного класса пошагово калибровочно эквивалентных однородных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами.

Теоретическая и практическая ценность работы заключаются в том, что разработанные в ней методы и полученные на их основе результаты могут быть применены к широкому кругу задач разных разделов математики (помимо дальнейшего изучения проблемы Адамара, к теории интегрируемости дифференциальных уравнений в частных производных, к задачам интегральной геометрии, интегральных преобразований и др.)

Апробация работы. Результаты диссертационного исследования обсуждались и докладывались на международных конференциях: "Symposium theory of partial differential equations and special topics of theory of ordinary differential equations "Dedicated to 150th Anniversary of Birthday of Sofia V. Kovalevskaya (2000, С-Петербург), "Differential equations and dynamical systems"(2000,2002,2004,2006,2008 Суздаль,), "Differential equations and related topics" (Dedicated to the Centenary Anniversary of I.G. Petrovskii) (2001,2004, Москва), "Day on diffraction"(2002-2005, C-IIeTep6ypr),"Kolmogorov and contemporary mathematics" (2003, Москва), "Международная научная конференция по топологическим и вариационным методам нелинейного анализа и их приложениям, ТВМНА"(2005, Воронеж;), "Дифференциальные уравнения и топология", посвященная 100-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина (2008, Москва), на семинаре по дифракции и распространению волн под руководством В.М.

³⁸С.П. Хэкало, Решение проблемы Адамара в классе пошагово калибровочно эквивалентных деформаций однородных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами - Алгебра и анализ , т. 19, 6, (2007), с. 200-218.

Бабича в ПОМИ РАН им. В.А. Стеклова, на семинаре им. В.И. Смирнова в ПОМИ РАН им. В.А. Стеклова, на семинаре отдела дифференциальных уравнений под руководством Д.В. Аносова в МИАН им В.А. Стеклова, на семинаре по математической физике под руководством Л.Д. Фаддеева в ПОМИ РАН им. В.А. Стеклова, на семинаре по математической физике под руководством B.C. Владимирова в МИАН им. В.А. Стеклова и на семинаре по математике под руководством В.А. Голубевой в Коломенском государственном педагогическом институте.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]—[15], список которых приведен в конце реферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация, объемом в 163 страницы, состоит из оглавления; введения; четырех глав, которые разбиты на 19 параграфов и списка литературы, содержащего 102 наименования. Каждая глава снабжена кратким введением, где даются сжатый обзор известных результатов, непосредственно связанных с содержанием данной главы, а также сводка полученных результатов.

Похожие диссертации на Изогюйгенсовы деформации однородных дифференциальных операторов

Изогюйгенсовы деформации инвариантных дифференциальных операторовХэкало Сергей Павлович