Введение к работе
Работа посвяшена исследованию решений граничных задач с нелокальными граничными условиями на ограниченной плоской области' для уравнений смешанного типа. При этом доказана фредгольмовость' граничных задач для уравнения Трикоми и Лаврентьева-Бидадзе и получено численное решение задачи для уравнения смешанного типа первого порядка.
Актуальность работы. Как известно, большинство исследований, связанных с уравнениями в частных производных, относятся к тем уравнениям и системам, которые охватываются известной типовой классификацией, т. е. принадлежат эллиптическому, параболическому или гиперболическому типу. Сравнительно небольшое число работ посвяшено уравнениям смешанного типа.
Уравнения смешанного типа - раздел теории уравнений в частых производных, развивающихся особенно интенсивно, начиная с 50-х годов.Первые фундаментальные результаты в этом направлении были получены Трикоми ф., а впоследствии Геллерстедтом С. ,Бипадзе А. , самарским А. франкль Ф. обнаружил важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой газодинамике. Академиком Векуа и. была указана значимость проблемы уравнений смешанного типа при решении задач, возникающих в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, а также в безноментной теории оболочек с кривизной переменного знака.
Бипадзе А. в. в монографии "Некорректные классы уравнений в частных производных." (Н., Наука, 1981) впервые сформулировал принцип экстремума для задачи Трикоми, который позднее был дока-
- ч- -
зан и для других краевых задач для уравнений снешанного типа, из принципа экстремума непосредственно следует единственность решения этих задач. Далее в работах Алиева Н., Бабенко К., Волкодаво-ва В., Нахушева А.. Салахитдинова Н. и других были поставлены и исследованы новые задачи для уравнений смешанного типа.
В данной диссертационной работе рассматриваются уравнения смешанного типа, а именно уравнение Трикоми и Лаврентьева-Бицад-зе. для которых исследуются граничные задачи с общими нелокальными граничными условиями на плоской ограниченной области, а для уравнения смешанного типа первого порядка получено численное решение граничной задачи с граничными условиями специального вида.
Таким образом, тема исследования данной диссертационной работы несомненно является актуальной и она представляет собой как теоретический, так и практический интерес.
Цель работы. Доказать фредгольмовость граничных задач как для уравнения Трикоми. так и для уравнения /Іаврентьева-Бицадзе с общими нелокальными линейными граничными условиями, а также получить приближенное решение задачи для уравнения смешанного типа первого порядка с граничными условиями специального вида.
Основные задачи исследования. В соответствии с указанной выше целью диссертационной работы, определены следующие задачи исследования:
1. Свести поставленные граничные задачи к интегральным уравнениям (или систене интегральных уравнений) фредгольма второго рода со слабой особенностью в ядре.
г. Свести задачу для одного уравнения смешанного типа пєрво-
го порядка к интегральному уравнению фредгольма второго рода со слабой особенностью в ядре и получить численное решение этого интеграла.
Методы исследования, в работе применены методы теории потенциала, теории интегральных уравнений и теории функций комплексного переменного.
Научная новизна. В классических постановках краевых задач для уравнений с частными производными второго порядка граничные условия (напр: Неймана или Дирихле) задаются в точках всей границы. В настоящей работе граница плоской области предполагается состоящей из двух связных дуг,на каждой из которых задается граничное условие нелокального вида, такой подход, в частности, охватывает не только классические постановки граничных условий,он также позволяет ввести в рассмотрение другие граничные условия. В этом смысле постановка задачи является новой. Следует отметить, что этот вид граничных условий устраняет разрыв, существующий между постановкой граничных задач для обыкновенного линейного дифференциального уравнения и для уравнений с частными производными, в котором число граничных условий совпадает с порядком рассматриваемого уравнения. Это дает возможность исследовать реще-ние задач для уравнений как четного, так и нечетного порядков, причем независимо от вида граничных условий всегда удается получить скачок, т. е. свести поставленную задачу к интегральному уравнению фредгольма второго рода.
В отличие от известных методов, сингулярность, которая появ-пяется в необходимых условиях,устраняется несколько своеобразно.
- б -
После регуляризации- сингулярностей. получаются регулярные соотношения, которые совместно с заданными граничными условиями дают достаточное условие фредгольмовости поставленных задач.
Назначение работы. Полученные в диссертации результаты имеют самостоятельное теоретическое значение и могут быть применены при исследовании задач, возникающих в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и в трансзвуковой газодинамике.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсухдадись на конференции молодых исследователей и аспирантов, посвяшенной 75-летию БГУ им. И.Э. Расул-заде (1994). на научной конференции аспирантов и молодых исследователей БГУ им. Н. э. Расул-заде (1995), на республиканской конференции молодых ученых и аспирантов (1995), на 37-ой конференции математиков ирана.М995)
Публикация результатов работы. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[5].
Структура и объем диссертации, диссертация изложена на HZ страницах машинописного текста, состоит из введения, 4-х глав, заключения и списка литературы. Библиография содержит НЕ наименований работ отечественных и зарубежных авторов.
Во введении дается обшая характеристика диссертации.
Первая глава содержит обзор работ, связанных с результатами диссертации. Во второй главе исследуется решение граничной задачи для уравнения Трикоми в области эллиптичности. Третья глава посвяшена исследованию решения граничной задачи для уравнения
- 7 -
Лаврентьева-Бицадзе. И наконец, в четвертой главе рассматривает
ся пример граничной задачи с нелокальными граничными условиями
для одного уравнения смешанного типа первого порядка. '