Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Одномерные дискретные модели уравнения Больцмана для смесей 19
1. Об инвариантах одномерных дискретных моделей уравнения Больцмана для смесей .19
2. Аппроксимация интеграла столкновений одномерного уравнения Больцмана для смесей дискретной моделью 32
Глава 2. О размерах дискретных моделей уравнения Больцмана для смесей .39
1. Постановка задачи.. 39
2. О размерах моделей в общем d-мерном случае 40
3. О размерах моделей в одномерном случае 47
Глава 3. Н-теорема для дискретных квантовых кинетических уравнений, уравнения Лиувилля и их обобщений 53
1. Необратимость и дискретизация 53
2. Н-теорема для дискретных квантовых кинетических уравнений и их обобщений 60
3. Временные средние и экстремали Больцмана для дискретного уравнения Лиувилля и круговой модели Марка Каца 76
4. Вариационный принцип для уравнения Лиувилля .. 90
Заключение 101
Список литературы
- Аппроксимация интеграла столкновений одномерного уравнения Больцмана для смесей дискретной моделью
- О размерах моделей в общем d-мерном случае
- Н-теорема для дискретных квантовых кинетических уравнений и их обобщений
- Вариационный принцип для уравнения Лиувилля
Введение к работе
Актуальность темы исследования. В связи с развитием
вычислительной техники и расширением границ применимости методов численного моделирования весьма актуальной становится задача создания адекватных (физически обоснованных) математических моделей различных процессов.
Адекватность дискретных моделей подразумевает требование, чтобы модель наследовала основные свойства исходного уравнения. Весьма существенным является требование консервативности, т.е. чтобы в дискретной модели присутствовали те законы сохранения, которые есть в исходном уравнении.
При дискретизации кинетических уравнений особую роль играют линейные (по функции распределения) законы сохранения. Именно они определяют переменные, возникающие при переходе к гидродинамике.
Более того, пусть для рассматриваемых уравнений справедлива Н-
теорема (закон убывания Н-функции или закон возрастания энтропии), которая
впервые была рассмотрена Больцманом в работе 1872 года (Boltzmann L.
Weitere Studien ber das Wrmegleichgewicht unter Gasmoleklen. // Wien: Akad.
Sitzungsber, 1872. Bd. 66. S. 275–370. Перевод: Больцман Л. Дальнейшие
исследования теплового равновесия между молекулами газа // Избранные
труды. М.: 1984. С. 125–189). Тогда именно линейные законы сохранения
определяют то, куда сходятся решения при времени, стремящемся к
бесконечности. Для классического уравнения Больцмана процедура
варьирования энтропии при условии, что постоянные линейных законов сохранения фиксированы, дает стационарные решения – экстремали Больцмана – максвелловское распределение, т.е. распределение, определяемое законами сохранения числа частиц, импульса и энергии. Н-теорема обеспечивает их устойчивость.
Итак, при дискретизации кинетических уравнений оказывается важной
не только консервативность, но и отсутствие лишних (spurious) инвариантов,
т.к. если в модели существуют лишние линейные законы сохранения, то в
гидродинамике, получаемой из данной модели, возникают лишние переменные,
а устойчивые стационарные решения при наличии Н-теоремы будут отличаться
от тех, которые должны быть. Например, в случае дискретных моделей
уравнения Больцмана стационарные решения будут отличаться от
максвелловского распределения.
Уравнение Больцмана является основным уравнением в кинетической
теории газов. Очень часто для моделирования тех или иных физических
процессов в газах используют различные аналоги этого уравнения. Одним из
таких объектов, активно изучаемых в последние четыре десятилетия, являются
дискретные модели уравнения Больцмана. Они широко обсуждаются в
современных публикациях (Cornille H., Cercignani C. A class of planar discrete
velocity models for gas mixtures // Journal of Statistical Physics. 2000. V. 99. № 3/4.
P. 967–991; Bobylev A. V., Vinerean M. C. Construction of discrete kinetic models
with given invariants // Journal of Statistical Physics. 2008. V. 132. № 1. P. 153–170)
и приобрели особую актуальность во многом благодаря развитию
вычислительной техники. Однако, несмотря на значительный рост возможностей вычислительных технологий, уравнение Больцмана остается сложным уравнением для моделирования. В случае однокомпонентной смеси всегда есть модели с малым числом дискретных значений импульсов: например, модель Бродуэлла. В случае смеси газов, состоящих из различающихся по массе молекул, задача построения дискретных моделей с малым числом значений импульсов рассматривалась для некоторых масс частиц компонент смеси, но в общем случае для произвольных масс частиц компонент смеси не было построено простых моделей. В связи с этим актуальна ставящаяся в настоящей диссертации задача оценки вычислительной сложности задачи моделирования уравнения Больцмана для смесей частиц,
отличающихся по массе. Вычислительная сложность пропорциональна числу дискретных значений импульсов в модели.
Рассмотрение H -теоремы как для нелинейных уравнений типа классических и квантовых кинетических уравнений, так и для линейного уравнения Лиувилля и их дискретизаций оказывается актуальной задачей, поскольку проясняет вопрос адекватности дискретных моделей. При этом определяющую роль здесь играет пространство линейных инвариантов, а его размерность дает основную информацию об асимптотических свойствах. Поэтому исследование таких пространств и поиск их размерностей также является актуальной задачей.
Степень разработанности научной проблемы. Построению
дискретных моделей кинетических уравнений с физически обоснованным числом линейных законов сохранения посвящено много работ, и здесь стоит отметить кандидатскую диссертацию С. А. Амосова (Амосов С. А. Дискретные модели кинетических уравнений для смесей: диссертация канд. физ.-мат. наук: 01.01.03 / Амосов Степан Александрович. — М., 2002.), которая посвящена построению таких моделей для классических и релятивистских газовых смесей. Постановка задачи восходит к работе С. К. Годунова и У. М. Султангазина 1971 года (Годунов С. К., Султангазин У. М. О дискретных моделях кинетического уравнения Больцмана // Успехи математических наук. 1971. Т. 26. № 3. С. 3– 51), в которой они делают следующее замечание: “Следует заметить, что способ выбора дискретных скоростей, обеспечивающих описание течения газа с законами сохранения трех компонент импульса и с сохранением энергии, в общем случае не разработан. Эта разработка связана с трудностями комбинаторно-геометрического характера”. Простых моделей для смесей газов в общем случае для произвольных масс частиц компонент смеси не построено до сих пор. Поэтому В. В. Веденяпиным была поставлена задача: оценить минимальный размер дискретных моделей уравнения Больцмана для смесей
частиц, отличающихся по массе, в зависимости от масс частиц компонент смеси.
В работах А. Пуанкаре (Пуанкаре А. Замечания о кинетической теории газов. // Пуанкаре А. Избранные труды. Т. 3. М.: Наука, 1974), В. В. Козлова (Козлов В. В. Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре. Москва–Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002) и Д. В. Трещева (Козлов В. В., Трещев Д. В. Слабая сходимость решений уравнения Лиувилля для нелинейных гамильтоновых систем // Теоретическая и математическая физика. 2003. Т. 134. № 3. С. 388–400) возникает новая форма H -теоремы: энтропия временного среднего для уравнений Лиувилля (для произвольной гамильтоновой системы) не меньше, чем энтропия начального распределения. В работе В. В. Веденяпина 2008 года (Веденяпин В. В. Временные средние и экстремали по Больцману // Доклады Академии наук. 2008. Т. 422. № 2. С. 161–163) было показано, что в случае, когда дивергенция скорости равна нулю, решение уравнения Лиувилля сходится «туда, куда надо» – временные средние определяются принципом условного максимума энтропии (принципом Больцмана). В настоящей диссертации ставилась задача обобщить этот результат на случай, когда дивергенция скорости не равна нулю. Постановка задачи рассмотрения вариационного принципа Больцмана для уравнения Лиувилля с дискретным временем для круговой модели М. Каца также возникла на основе работ В. В. Козлова (Козлов В. В. Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре).
Цели и задачи исследования. Целью настоящей работы является исследование кинетических уравнений и их дискретизаций с позиции вопроса о линейных законах сохранения. При этом для дискретных моделей уравнения Больцмана возникает задача оценки минимального числа дискретных значений импульсов такого, чтобы модель не имела лишних линейных инвариантов. Также существенной задачей оказывается продолжение линии работ Больцмана с целью расширить класс уравнений, для которых справедлив закон возрастания энтропии (закон убывания Н-функции) и процедура варьирования
энтропии при условии, что постоянные линейных законов сохранения фиксированы, которая дает стационарные решения – экстремали Больцмана. Здесь возникают задачи и рассмотрения условий, при которых справедлива H -теорема, и исследования пространств линейных инвариантов, которыми определяются экстремали по Больцману.
Научная новизна. В представляемой к защите диссертации получены оценки вычислительной сложности задачи моделирования уравнения Больцмана с помощью дискретных моделей для смесей частиц, отличающихся по массе. Доказана теорема, обобщающая результат работы В. В. Веденяпина 2008 года со случая, когда дивергенция скорости равна нулю, на более общий случай, когда существует положительное стационарное решение уравнения Лиувилля. Рассмотрен принцип условного максимума энтропии для уравнения Лиувилля с дискретным временем для круговой модели М. Каца, и получены точные формулы для размерности пространства линейных инвариантов для уравнения Лиувилля для этой модели.
Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации могут быть использованы в решении различных задач, допускающих кинетическое описание, например, в физической кинетике, в механике жидкости и газа. Предъявлены новые дискретные модели квантовой и классической химической кинетики с правильным числом линейных инвариантов.
Результаты диссертации используются при чтении курса лекций “Кинетические уравнения” в МФТИ.
Методы исследования. В диссертационной работе применялись следующие математические методы:
-
Методы теории выпуклых функций.
-
Методы функционального анализа и теории линейных операторов.
-
Теория чисел.
На защиту выносятся следующие положения диссертации:
-
Теоремы-оценки минимального размера дискретных моделей уравнения Больцмана для смесей частиц, отличающихся по массе, с физически обоснованным числом линейных законов сохранения. Размер дискретных моделей определяет вычислительную сложность задачи моделирования уравнения Больцмана.
-
Исследование множества всех линейных законов сохранения уравнения Лиувилля с дискретным временем для круговой модели Марка Каца, которым определяются стационарные решения – временные средние (средние по Чезаро), совпадающие с экстремалями по Больцману. Теоремы, дающие точные формулы для размерности пространства линейных инвариантов. Ответ оказывается связанным с малой теорема Ферма и теоремой Эйлера из теории чисел (для основания степени, равного двум).
3. Теорема о совпадении временного среднего с экстремалью по
Больцману, для случая, когда существует положительное стационарное
решение уравнения Лиувилля. Этот результат является обобщением
аналогичной теоремы, новой формы H-теоремы для уравнения Лиувилля, для
случая, когда дивергенция скорости равна нулю.
Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность
полученных результатов обусловлена используемыми строгими
математическими методами исследования. Все новые научные результаты в
настоящей диссертационной работе строго доказаны. Достоверность и
обоснованность полученных результатов также подтверждается
положительными результатами их внедрения в учебный процесс.
Материалы диссертации докладывались на XVII-ой Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Алушта, 25–31 мая 2011 г.; доклад на тему “H-теорема для дискретных кинетических уравнений и их обобщений”), на второй международной конференции “Моделирование нелинейных процессов и систем” (Москва, 6–10 июня 2011 г.; доклад на тему “H-теорема для
дискретных квантовых кинетических уравнений и их обобщений”), на Международной конференции по математической теории управления и механике (Суздаль, 1–5 июля 2011 г.; доклад на тему “H-теорема для дискретных квантовых кинетических уравнений и их обобщений”), на Международной математической конференции "50 лет ИППИ РАН" (Москва, 25–29 июля 2011 г.; доклад на тему “The Н-theorem for the discrete quantum kinetic equations and for its generalizations”), на VI-ой Международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (Москва, 14–21 августа 2011 г.; доклад на тему “H-теорема для дискретных квантовых кинетических уравнений и их обобщений”), на семинаре по вычислительной астрофизике Института прикладной математики им. М. В. Келдыша (Москва, ИПМ, 16 декабря 2010 г., руководитель – д.ф.-м.н. С. В. Утюжников), на семинаре РУДН по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (Москва, РУДН, 17 ноября 2013 г., руководитель – д.ф.-м.н. А. Л. Скубачевский), на семинарах Механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова "Теория вероятностей и эргодическая теория" (Москва, МГУ, 2012 г., руководители – д.ф.-м.н. Б. М. Гуревич, д.ф.-м.н. В. И. Оселедец, д.ф.-м.н. С. А. Пирогов), “Бесконечномерный анализ и математическая физика” (Москва, МГУ, 12 марта 2012 г., руководители – д.ф.-м.н. О. Г. Смолянов, д.ф.-м.н. Е. Т. Шавгулидзе), “Гамильтоновы системы и статистическая механика” (Москва, МГУ, 2012 г., руководители – акад. РАН В. В. Козлов, чл.-корр. РАН Д. В. Трещев), на семинаре по математической физике Института прикладной математики им. М. В. Келдыша (Москва, ИПМ, 26 ноября 2013 г. и 17 ноября 2015 г., руководители – д.ф.-м.н. М. В. Масленников, д.ф.-м.н. В. В. Веденяпин, д.ф.-м.н. В. А. Дородницин, д.ф.-м.н. Ю. Н. Орлов), на семинаре “Вычислительные методы и математическое моделирование” Института прикладной математики им. М. В. Келдыша (Москва, ИПМ, 2012 г., руководители – чл.-корр. РАН Ю. П. Попов, д.ф.-м.н. М. П. Галанин), на
семинаре Добрушинской математической лаборатории ИППИ РАН (Москва, ИППИ, 19 ноября 2013 г., руководители - д.ф.-м.н. Р. А. Милос, д.ф.-м.н. М. Л. Бланк), на семинаре отдела дифференциальных уравнений МИАН (Москва, МИАН, 29 мая 2013 г., руководители - акад. РАН Д. В. Аносов, д.ф.-м.н. Ю. С. Ильяшенко), на семинаре отдела математической физики МИАН (Москва, МИАН, 6 июня 2013 г., 20 февраля 2014 г., руководитель - чл.-корр. РАН. И. В. Волович), на семинаре по теории функций многих действительных переменных и ее приложениям к задачам математической физики (Семинар Никольского) (Москва, МИАН, 19 марта 2014 г.).
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения и списка литературы из 64 наименований. Объем диссертации - ПО страниц, включая оглавление и список литературы.
Аппроксимация интеграла столкновений одномерного уравнения Больцмана для смесей дискретной моделью
Основное содержание настоящего параграфа опубликовано в [4]. В этом параграфе обсуждается гипотеза о том, что не существует одномерных симметричных моделей без лишних законов сохранения, кроме модели Амосова-Веденяпина [1], [12], [13], [20], [21] и модели Монако-Прециози [70]. В широком классе моделей эта гипотеза окажется верной, и во многих случаях укажем конкретный вид лишних инвариантов.
Отметим, что в пространствах большей размерности, чем один, для любых рациональных отношений масс компонент смеси всегда можно построить симметричную модель без лишних инвариантов [12], [13].
Выясним, когда функционал 1 = /л1/1 сохраняется для пространственного однородной версии системы (1). Имеем: = 2 Vi&kl [fkfl fifj)= Ej ак1 ifkfl fifj A"/ + Mj - Mk Ml) Необходимым и достаточным условием сохранения функционала І = Тм,ї, г=1 является выполнение для всех столкновений (ij) r (k,l) из S условия JUk + jU, = jUt + JU-. (1-1) Достаточность условия (1.1) очевидна, а необходимость следует из того, что равенство — = 0 должно выполняться, в частности, и для ft = expfa), i = l,...,n. Отметим, что рассмотрение сохранения функционалов Е/Лу х для полной г=1 R системы (1) сводится к пространственно-однородному случаю [13 (глава 10)]. Для уравнения Больцмана существует ровно r + d + \ инвариант, отвечающий сохранению числа частиц каждого из г сортов, d компонент импульса и полной энергии. Эти законы сохранения называются классическими или стандартными. Именно такую ДМУБ, которая имеет ровно r + d + \ классический инвариант (т.е. не имеет лишних законов сохранения), будем, следуя [12], [13], [48], называть нормальной. Функционал называется лишним инвариантом, если он сохраняется в силу дискретной модели, но не является одним из стандартных законов сохранения, т.е. не представляется в виде линейной комбинации инвариантов уравнения Больцмана. Для функционала виде линейной комбинацией векторов, определяющих классические инварианты.
Условие (1.1) эквивалентно условию ортогональности вектора ц всем векторам e lj =ег +еу -ек -ег (е, - базисный орт с единицей на /-м месте и нулями на остальных), где ((/j) ( ,/))є S. Обозначим через J линейную оболочку векторов ef/, через J1 - ортогональное дополнение, т.е. пространство законов сохранения (пространство векторов ц, определяющих инварианты), тогда их размерности связаны соотношением:
В дальнейшем будем рассматривать ДМУБ для смеси частиц двух сортов (г = 2) с массами М и т , м т, в одномерном случае, т.е. d = 1. Тогда правильное число инвариантов равно г + d +1 = 4. Без ограничения общности будем считать шаг h = \.
Из (7) и (8) видно, что для частиц одного сорта параметр а = 0, и поэтому в силу (4) в результате столкновений происходит просто обмен импульсами сталкивающихся частиц. Вклад таких столкновений как в правые части уравнений (1), так и в интеграл столкновений уравнения Больцмана равен нулю. Поэтому далее будем рассматривать только столкновения частиц разных сортов.
Законы сохранения импульса и энергии для любого столкновения между двумя частицами, принадлежащими различным компонентам смеси, имеют вид (3), где вектора в одномерном случае становятся скалярами:
Далее мы рассмотрим две одномерные симметричные нормальные модели. То, что они не содержат лишних инвариантов, получается из того, что размерность dim ), вычисленная для них по формуле (1.2), равна r + d + l = 4.
Затем мы доказываем, что в широком классе моделей других симметричных нормальных ДМУБ нет, показывая, что dim ), вычисленное по формуле (1.2), больше четырех, либо представляя вектор ц, не являющийся линейной комбинацией векторов, определяющих стандартные законы сохранения.
Отметим, что вычисление dim (./J упрощается, если использовать индуктивную процедуру [12], [13], [62]. Мы будем неявно использовать индуктивную процедуру, а именно: при добавлении к некоторой модели значений импульсов мы будем рассматривать, насколько при этом изменилась разность в правой части (1.2) по сравнению с тем, что было для исходной модели. Насколько она изменилась, настолько же изменилось число инвариантов.
Значения импульсов легких частиц будем обозначать крестами, тяжелых -кружками. Импульсы частиц обозначим их значениями, волнами обозначим импульсы тяжелых частиц.
Легкие частицы имеют значения импульсов - 0, ±1, а тяжелые - ±1, ±2. В модели возможны три столкновения: (lj) - (оД), (-1,-ij - (o,-2J и (і,-ї) - (-ід). Частицы каждого из рассматриваемых сортов имеют значения импульсов -±1. В модели возможно одно столкновение: (і,-ї) - (-1Д).
В этой модели число инвариантов равно трем. Т.к. все импульсы имеют одинаковую величину, то законы сохранения энергии для каждой компоненты смеси и общей энергии следуют из законов сохранения числа частиц.
Для того чтобы модель имела физический смысл, необходимо, чтобы в ней было хотя бы одно столкновение. Будем считать, что любое значение импульсов, принадлежащее модели, присутствует в каком-то столкновении. Если это не так, т.е. существует значение импульса частиц какого-то сорта, не участвующее ни в одном столкновении, то мы имеем закон сохранения числа частиц этого сорта с этим значением импульсов, а значит, в модели возникает лишний инвариант.
О размерах моделей в общем d-мерном случае
Предположим, что выполняется противоположное утверждение, т.е. предположим, что (D()-N())ID() является сократимой дробью. Тогда она может быть представлена в виде несократимой дроби N1-)/D-), где D(\-) D(). Получаем, что =N{)ID{)=\-{D{)-N{))ID{)=\-N{\-)ID{\-)={D{\-)-N{\-))ID{\- ), где D{\-) D{). Это противоречит определению D ), являющемуся наименьшим знаменателем дроби . Поэтому справедливо утверждение леммы.
В соответствии с определением Sd(M/m) существует нетривиальная ДМУБ с отношением масс M/m размера Sd(M/m). Это означает, что (6) выполняется для некоторого столкновения с обменом энергией, принадлежащего рассматриваемой модели. Следовательно, существуют вектора p , p и a с целочисленными координатами такие, что уравнение (6) справедливо для них, где p 2 -p2 Ф О, а p и p принадлежат множеству векторов с началами в начале координат и с концами, принадлежащими d-мерному кубу с центром в начале координат, с ребрами, параллельными координатным осям, и с длинами ребер, равными 2Sd(M/m). Т.к. 2(a,p -p) является четным целым числом и т.к. p 2-p2 0 и 1-т1М0, то мы получаем из (6), что (p 2 -p2\\-т/м) является ненулевым четным целым числом. б/-( (М/ш))2 тах(p 2,p2) p 2-p2, т.к. pf и p2 не больше, чем длина половины диагонали /-мерного куба, рассмотренного выше. Сначала исследуем случай, когда N(M/m) и D(M/m) нечетные. Т.к. согласно лемме D(l-m/M)=D(m/M), D{mlM)=N{Mlm) и т.к. (p 2 -p -т/м) является ненулевым целым числом, то \p 2-p2\ D(\-m/M) = N(M/m). Таким образом, d-(Sd(M/mf p 2 -p2 N(M/m). Поэтому выполняется оценка (2.2). Теперь обсудим случай, когда одно из чисел N(Mlm) и D(Mlm) четное. Т.к. в соответствии с леммой D{\-mlM)=D{mlM)=N{Mlm\ N{\-mlM)=D{mlM)-N{mlM)=N{Mlm)-D{Mlm) нечетное и т.к. (p 2 -p Х-т/м) является ненулевым четным целым числом, то \p 2-p2\ 2D(l-m/M) = 2N(M/m). Таким образом, d (sd(M/m)f \p 2 - p2 2N(M/m). Поэтому справедлива оценка (2.3).
Пример 1. Пусть компонентами смеси являются протоны и электроны. Если мы возьмем М/т=1836, тогда N(M/m)=1836, и мы не сможем построить нетривиальную ДМУБ для смеси протонов и электронов размера, меньшего 35, при d=3, не большего 42, при d=2, меньшего 61, при d=\.
Далее рассмотрим оценки для Sd(M/m), которые зависят только от значения дроби М/т и не содержат функции ЩМ/т) и D{Mlm). Теорема 2.3. Для наименьшего размера d-мерных нетривиальных моделей с отношением масс М/т справедливы следующие оценки: Sd(M/m) \ М/т , (2.4) v [d\M/m-2K\J где 2К - ближайшее к М/т четное целое число, не равное ему (если существует два таких числа, то мы можем взять любое из них), Sd(M/m) 2 J , (2.5) dK \d\Mlm-{2K + \}\ где 2К+1 ближайшее к М/т нечетное целое число, не равное ему (если существует два таких числа, то мы можем взять любое из них).
В дополнение к оценкам (2.1), (2.4) и (2.5) мы будем строить ДМУБ, стараясь при фиксированном размере модели максимизировать правую часть оценок (т.е. зависимость от М/т).
Пример 3 (оптимальность оценок (2.1), (2.4) и (2.5)). В дополнение к неравенствам (2.1), (2.4) и (2.5) рассмотрим следующее множество моделей для d=2. Возьмем q = (-l,s), q = (-s,6), a=(s,0), где SGZ, тогда p = (о,о), p=(s-M), и согласно (5) м/т = 2s2 -2s+ l. Т.к. М/т 1, то SGZ\{0,\}. Модель получается добавлением всех симметричных столкновений к исходному. Чтобы целое число S было бы размером модели, оно должно принадлежать множеству iV\{l}. Введем функцию s(Mlm), определяемую равенством м/т = 2s2 - 2s +1 с множеством значений N\{\}. Область определения этой функции будем обозначать через Р. Т.к. множеством значений s{Mlm) является iV\{l}, то в соответствии с M/m = 2s2-2s + \ функция s{Mlm) однозначно определяется формулой s(M/m)=l + 2M/m , где М/тєР. Таким образом, значение функции s(Mlm) в некоторой точке М/т є Р является размером обсуждаемой ДМУБ с отношением масс М/т. Пусть есть некоторые функции х{М1т) иу{М1т) такие, что х{М1т)+, у(М/т)+ при М/т, стремящемся к некоторому пределу А (конечному или бесконечному). Будем говорить, что закон роста х{М1т) отличается от закона роста у{М1т) при М/тК некоторым множителем тогда и только тогда, когда при умножении у{М1т) на этот множитель мы получаем эквивалентную х{М1т) функцию при М/тА. Мы будем говорить, что х{М1т) и у{М1т) имеют одинаковый закон роста при М/тК, если и только если этот множитель равен единице. Т.к. s(M/m) (МІН] при М/т+, где М/т є Р, то мы имеем такой же
Если мы добавим симметричные столкновения только относительно координатных осей, то получим полусимметричную [12], [13] модель, но в ней будет один лишний инвариант. Симметричная модель, получаемая добавлением всех симметричных столкновений, будет также с одним лишним законом сохранения. Поэтому мы должны строить более сложные модели добавлением значений импульсов частиц и столкновений для того, чтобы избежать лишних инвариантов.
Если мы добавим к такой симметричной ДМУБ размера s следующее множество узлов для значений импульсов легких частиц: {(х,у): если х=-1,0,1, то y=-s,-s+1,…,s-1,s, и если у=1,0,1, то x=-s,-s+1,…,s-1,s}, и добавим все возможные столкновения, тогда с помощью индуктивной процедуры [12], [13], [62] может быть доказано, что такая ДМУБ (Рисунок 2.1), использующая нерегулярную сетку, не имеет лишних законов сохранения. Эта модель использует меньшее число узлов: 6(2s+1), чем ДМУБ с регулярной решеткой: количество узлов равно 2(2 +1)2. Для первой модели количество узлов линейно по s, а для второй квадратично по s.
Н-теорема для дискретных квантовых кинетических уравнений и их обобщений
Итак, обобщение теорем из [9], [12], [13] в виде теоремы 3.1, оказывается существенным для квантового марковского процесса в случае несимметричных констант реакций (когда KJm KJ).
Дискретные модели квантовых кинетических уравнений уже используются для исследования дисперсионных соотношений в Бозе-газах [58]. При этом важно использовать модели без лишних инвариантов. В силу теоремы 3.1 задача о лишних законах сохранения сводится к исследованию пространства векторов ц, ортогональных всем векторам столкновений а-р. Для дискретных моделей уравнения Больцмана, в том числе и для случая смесей частиц, отличающихся по массе, эта задача хорошо исследована. А значит, она исследована и для дискретных моделей уравнений Юлинга-Уленбека для смесей частиц, поскольку вектора столкновений у обоих видов дискретных моделей одни и те же.
В [2, глава 2 настоящей работы] исследуется вычислительная сложность задачи моделирования уравнения Больцмана для смесей частиц с помощью симметричных дискретных моделей уравнения Больцмана. Эти результаты без каких-либо изменений переносятся и на случай моделирования квантовых кинетических уравнений для смесей с помощью их дискретных моделей.
Проблема построения Я-функции (т.е. убывающего функционала с доказательством Я-теоремы) для квантовых случайных блужданий, для которых не выполняется условие детального баланса (3.33), остается открытой.
Принцип максимума энтропии при условии линейных законов сохранения дает экстремали по Больцману [51]. В стохастической эргодической теореме [42] доказывается существование временных средних или средних по Чезаро. В [15] доказывается совпадение этих величин - временных средних с экстремалями по Больцману. В этом и следующем параграфе настоящей главы обсуждаются примеры и обобщения, выходящие за рамки работы [15].
Пусть и - линейный оператор в гильбертовом пространстве X, и норма и равна единице: / = 1. Тогда справедлива теорема, называемая стохастической эргодической теоремой фон Неймана-Рисса [42]. Для каждого z из X временные средние и-1 Pnn{z) = {n-mYYlJkz к=т при п-т, стремящемся к бесконечности, сходятся сильно, т.е. по норме, порождаемой скалярным произведением гильбертова пространстве X, к некоторому элементу Рс =Pc(z). Этот элемент инвариантен относительно U: и(рс) = Рс . Эта теорема и называется стохастической эргодической теоремой. Она определяет временные средние или средние по Чезаро Рс =Pc(z)= lim Pnm(z).
Сформулируем и докажем уточнение и усовершенствование теоремы из [3], [15]. Здесь мы откажемся от условия / = 1, которое присутствовало в стохастической эргодической теореме фон Неймана-Рисса и в теореме из [3], [15]. Определим экстремаль по Больцману как элемент Рв, где энтропия достигает условного максимума при условии, что постоянные линейных инвариантов фиксированы. Более точно, определим множество линейных законов сохранения / = X, иєі, если (Ux,u)=(x,u) (3.34) при всех хєХ. Пусть для оператора U существует аналог энтропии, т.е. есть строго вогнутый функционал s(x), не убывающий при действии и: S(Ux) S(x). (3.35)
Пусть Xz - это множество всех элементов из X с теми же самыми константами линейных законов сохранения, что и z: Xz = {XGX:(X-Z,U) = 0\/UGI}. Рассмотрим условную экстремальную задачу: найти, где достигается supS(.x) при условии, что постоянные всех линейных законов сохранения фиксированы по начальным данным (по элементу z), т.е. при условии х є Х2. Аргумент функционала S(x), при котором достигается этот условный экстремум, назовем экстремалью по
Доказательство. Следуя [42], определим в X два подпространства. Одно из них, 7, пусть состоит из элементов x-Ux и их пределов. Другое подпространство Z неподвижных элементов оператора U х2 є Z : и х2 = х2. Там же доказывается, что X есть прямая сумма этих пространств. Действительно, прямо из определения сопряженного оператора вытекает тождество (x-Ux,y) = (x,y-U y), а из него в свою очередь следует, что множество элементов, ортогональных всем x-Ux, совпадает с множеством элементов, инвариантных относительно U , и следовательно, подпространства Y и Z служат ортогональными дополнениями друг друга. Из (3.35) и (3.36) норма элементов Ukz для всеx = 0,1,2,... ограничена сверху некоторой постоянной, и поэтому Рс{у) = 0 при у є Y, как в [42]. Поэтому все точки Xz имеют, как и Y, одно и то же временное среднее (в силу линейности оператора и), а значит, в частности, PC(Z) = PC{PB(Z)), (3.38) и Х2 представляет собой замкнутое линейное многообразие (поскольку Y замкнуто). Любой строго вогнутый функционал имеет на замкнутом линейном многообразии банахова пространства единственный максимум, если выполняется условие (3.36). Поэтому первый пункт доказан. Поскольку P„(z)el, то PC(Z)G!,. Значит, S(PB(Z)) S(PC(Z)). Из-за единственности экстремали по Больцману нам осталось доказать равенство в этом неравенстве. Но из-за выпуклости S для любого z s(pJz))=s(—Yukz) —Ys(ukz) —Ys(z)=s(z), поэтому s(pc:(z)) s(z). Применяя это неравенство к PB(z) вместо z и используя (3.38), имеем S{PC(Z)) = S{PC{PB(Z))) S{PB(Z)). Итак, доказано и обратное неравенство, а потому и совпадение временных средних и экстремалей Больцмана.
Вариационный принцип для уравнения Лиувилля
Пусть выполнены условия теоремы 3.4 и существует функциональный базис гладких линейных законов сохранения, т.е. функциональный базис из к функций: q(x)={g1(x),g2(x),..., (x)}, в пространстве линейных законов сохранения причем qt (х)/ (х)єС1(і?й) для всех і = 1,2,..„к. Тогда экстремаль Больцмана (которая существует, единственна и совпадает со средним по Чезаро в силу теоремы 3.4) имеет вид: / (х) = 1 (x)j/(0,q(x)/ (x),il/)/(q(x)/ (x),il/ /il/. где (x) = J (q(x)/ (x),V)/(q(x)/ (x),V A#, V(x)S { (х ),у/2 (х),..., П_, (х)} - гладкие координаты на множествах q(x)/ (x) = const, т.е. y/t для всех і = 1,2,...,п-к, Причем совокупность (q/,\/) дает гладкую систему координат в R", j(q/g,\\i) -якобиан перехода к этой системе координат. Начальные данные и стационарное решение (х) под интегралами выражены через координаты (q/,\j/). Отметим, что доказанная теорема справедлива и для чезаровских средних при времени, стремящемся к -оо - это обобщение результатов из [21].
Примеры, в том числе, показывающие существенность условия теоремы, приведены в [15] для бездивергентного случая.
В [13, стр. 61-65] рассматривается уравнение Лиувилля для случая, когда траекториями динамической системы являются уравнения геодезических риманова многообразия. Пишутся уравнения Эйлера-Лагранжа для случая, когда действие есть длина кривой: glJx xJdt, где ggdx dxJ - метрика риманова многообразия, хек", а g!;(x) - п2 функций. Уравнение для функции распределения по пространству и скоростям оказываются, вообще говоря, с дивергенцией, отличной от нуля. Переход к бездивергентному виду осуществляется двумя способами. Первый способ - это переход к переменным координата-импульс. Там же показано, что этот способ обосновывается тем, что для любой гамильтоновой системы дивергенция равна нулю. Второй способ - это переход к инвариантной мере в пространстве координаты-скорости: вместо функции распределения / вводится новая функция распределения F = f/g, где g - определитель матрицы gy, являющийся стационарным решение уравнения неразрывности, как в замене (3.52). Как g в этом примере определяет инвариантную меру gdxdv, так и положительное стационарное решение уравнения Лиувилля (3.50): (х), определяет инвариантную меру fr. Для новой функции распределения (3.52) число частиц в области G записывается в виде: N(t,G) = $F(t,x)(x)dx. F не растет вдоль траекторий динамической системы, т.к. полная производная от нее есть ноль, и поскольку число частиц сохраняется, то мера %dx сохраняется тоже.
Уравнение фон Неймана (квантовое уравнение Лиувилля). Это уравнение Ш— = [H,sl на неизвестную самосопряженную матрицу s(t) (матрицу плотности, оператор плотности), где h - постоянная Планка, [H,S] = HS-SH -коммутатор, н - гамильтониан, заданная самосопряженная матрица. Пусть заданы начальные условия: s(o) = S0. Линейные законы сохранения - это такие самосопряженные матрицы А, что Sp(AS) = const вдоль решений (Sp - след матрицы, 5/?(AS) - это скалярное произведение матриц А и S). Поскольку О = ±(Sp(AS))= Sp{ А ] = i (A[H,S]) = - ([A,H]S), dr v " Я dt) ih v L v ih u J ! то матрицы А линейных законов сохранения находятся из условия [А,Н] = 0. Отметим, что всегда есть линейный закон сохранения, являющийся тождественным преобразованием Е, т.е. Sp(s) = const, поскольку тождественное преобразования Е всегда коммутирует [Е,Н] = 0. Определим средние по времени формулой Sr =-\s(t)dt, а экстремаль Больцмана - SB = argmin (sinS-As), где А - матрица, определяющая линейные законы сохранения, причем 5p(ASB)=5p(AS0). Для сохраняющейся энтропии - Sp(s In s) выполняются условия теоремы, поэтому применима теорема, и тогда lim Sr =SB. Отметим, что SR находится из условия
Величина - (sinS) называется энтропией фон Неймана, а полученный результат означает, что среднее по Чезаро совпадает с экстремалью по Больцману. Временное среднее - это то, что меряет макроскопический прибор, не замечая быстрых колебаний. Поэтому наблюдатель видит то, что коммутирует с гамильтонианом н. Это, с одной стороны, обосновывает стационарную задачу квантовой механики - разности собственных значений, как известно, дают спектры излучения, и потому делает ненужной эргодические гипотезы в квантовом случае. С другой стороны, это показывает недостаточность уравнения Шредингера - шредингеровской картины, так как аналогичное рассуждение показывает, что все ненулевые собственные значения теряются для него при больших временах. Поэтому требуется Гейзенберговская картина. Но это рассуждение послужило также основанием для введения фон Нейманом матрицы плотности.
Приведем пример c неравной нулю дивергенцией ( const), в котором вычислим экстремаль Больцмана и непосредственно докажем, что энтропия от нее не меньше, чем энтропия от функции распределения в любой момент времени t.
Пример 9. Рассмотрим уравнение Лиувилля, соответствующее уравнению dx/dt = v(x)Ф const, с периодическими граничными условиями при 0 х L: Его стационарное решение находится из уравнения —(V(X\E(X)) = 0: g(x) = A/v(x). Чтобы существовало положительное стационарное решение периодической граничной задачи (вида (x) = A/v(x)), определенное при всех возможных х из [0,L], без ограничения общности, потребуем, чтобы v(x) 0. Тогда если А 0, то g(x) 0.
Уравнение (3.56) имеет один линейный интеграл - это закон сохранения числа частиц: \f(t,x)b. Варьировать надо {ЫУ/ М/К (3.57) где Л - множитель Лагранжа. После варьирования получаем экстремум функционала (3.57) с дальнейшим определением Я из законов сохранения, что дает f(x) = \f0,x)dx \1v(x))dx . Согласно теореме 3.4 fc=fB . fc обратно пропорционально v(x), что соответствует тому, что частицы пребывают дольше там, где скорость меньше.