Введение к работе
Актуальность темы исследования.
Настоящая работа относится к области применения групповых ме
тодов для анализа дифференциальных уравнений с частными производ
ными. Интерес к использованию этих методов связан с их универсаль
ностью, позволяющей исследовать с единых позиций совершенно раз
личные дифференциальные уравнения, в первую очередь нелипейпые,
а также активно использовать аналитические расчеты при помогая си
стем компьютерной алгебры. *
Кроме того разработанные в рамках группового анализа методы позволяют получать реальные практические результаты, например, находить решения дифференциальных уравнений в явном віще.
Математически содержательные сішмі грийные свойства позволяют привлекать для практического анализа, мощные алгебраические и геометрическ"е методы из других разделов математики.
Представляется многообещающим привлечение групповых методов, хорошо зарекомендовавших себя при решении многих проблем, к анализу краевых задач дифференциальных уравнений. Цель работы.
Диссертация посвящена вопросам существования н методам построения инвариантных и частично-инвариантных p«niemrii краевых задач для систем уравнений с симметриями.
Цегью работы является поиск инвариантных и частично- инвариантных решений системы уравнения двумерного ламинарного пограничного слоя, в первую очередь решений стандартной краевой задачи, отличающихся от известных классических решений Блазиуса. Среди частично-инвариантных решений интерес для исследования представляют решения нередуцируемые к инвариантным.
Задачи, решаемые в данной работе, связаны с проблемой развития методов для нахождения инвариантных решений систем дифференциальных уравнений математической физики, в первую очередь нелилейных, с эффективным учетом устовий краевых задач. Затрагиваются также проблемы разработки эффективных методов нахождения частично инвариантных решений систем дифференциальных уравнений. ..
Методы исследования.
В работе был использован метод редукции системы уравнений в частных производных к фактор-системе на подмногообразии с помощью'
группы симметрии. При исследовании редуцируемости частично инва- | рнактных решений использовалась теорема Овсянникова, содержащая достаточные условия редуцируемости. Научная новизна.
Подробно исследована система уравнений двухмерного стационарного пограничного слоя и соответствующая краевая задача.
Написана- фактор-система для инвариантных относительно произвольной одномерной подгруппы симметрии решений. Доказана существование и единственность локального инвариантного решения. Указано на существование особсностей инвариантных решений.
Для стандартной краевой задачи уравнений погранслоя найден вид всех инвариантных решений, отличающиеся от ранее известных классических решений Блазиуса.
Доказано что все решения, частично инвариантные с дефектом еди
ница относительно некоторой подалгебры Ли симметий L, редуцируют
ся к инвариантным относительно одномерной подалгебры из алгебры
L.
. В случае ре. :ений с дефектом инвариантости два определены уравнения для орбит нередуиируемых частично инвариантных решений и вид действующих подалгебр. Доказано что орбиты определяются инвариантными решениями уравнения Крокко.
Найдены в явном виде некоторые частично-инвариантные решения с использования метода многократной редукции к фактор-системе.
Практическая ценность работы.
Исследования уравнений пограничного слоя являются практически важными для многих технических задач гидро- и газодинамики. Найденные в явном виде решении являются средством проверки результатов, полученных вычислительными и другими методами. Методы редукции системы уравнении к фактор-системе позволяет значительно упростить исследования.
Разработанные методы построения инвариантных и частично ин
вариантных решений возможно применять при исследовании других
задач. '-.
Апробация результатов. Мат"риалы диссертации были опубликованы в четырех статьях и докладывались на международном семинаре "Сов; -менный групповой анали " в Уфе в 1991 г. Структура работы.
Диссертация сост< it шести глав, включая введение и заключение,
н библиографии. *