Введение к работе
Актуальность темы. В последние десятилетия проводились активные исследования идемпотентной линейной алгебры, т.е. конечномерных полумодулей над полукольцами с идемпотентной билинейной операцией. Эти исоледования, частично лодитоженные в монографии Р.Каннингхэыа - Грина " jQ%CtvCrriasx аде-ъа " 1979 г. развивались далее в работах В.П.Маолова, В.В.Белова, С.Н.Самборского, М.Гондрана и др. Интерес к этой теме был связан в первую очередь с теы фактом, что идешотентная линейная алгебра является весьма.адекватным аппаратом для формализации и исследования дискретных задач оптимизации. Первые'шаги к исследованию более общих линейных операторов были сделаны И.В.Романовским в конце 60-ых годов. Эти работы подготовили, построение общего анализа на лолумодулях непрерывных функций со значением в полукольце с идемпотентным. сложением, т.е. идемпотент-ного анализа. Стимулирующим фактором для создания этой теории послужило также замечание В.П.Маолова (1983 г.) указавшего, что разрешающий оператор обобщенных решений задачи Ком для уравнений Гамильтона - Якоби и Беллмана должен быть'лина иным в полу-модулэ функций со значением в полукольце с операциями = тСп , О - -f- , так что построение обобщенных решений нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка можно провести, используя Соболевскую концепции слабых решений, но с иным законом суперпозиции. Отметим, что теория обобщенных решений уравнений первого порядка развивалась ранее многими авторами (Э.Хопр , З.А.Олейник, С.Н.Крукков, М.Г.Крэндол, П.Л.Лионе), при этом зля этой цели применялись совсец другие идеи, в основном, метод введения исчезающей вязкости.
' 4
С другой стороны, развитие квантового стохастического исчисления и квантовой теории фильтрации (Р.С.Хадсон, К.Р.Парта-сарати, Л.Лккарди, А.С.Холево, В.П.Белавкин и др.) дало новые постановки задач в теории непрерывно наблюдаемых и управляемых квантовых систем, вызвавшие необходимость построения теории возмущений для линейных (в смысле идемпотентных структур) уравнений.
Важным источником идей, направивших развитие идемпотентно-го анализа явился также обнаруженный рядом авторов факт (Р.Ва-радан, С.Н.Молчанов, В.П.Маслов, Б.Саймон, Б.Хелфер, Д.Сьест-ранд), что обобщенные решения уравнений Гвмильтона - Якоби определяют логарифмические пределы экспоненциальных асимптотик для решений некоторых известных задач математической физики (квантование в окрестности вакуума, туНнелирояание, поведение решений в области тени). Общий класс соответствующих псевдодифференциальных уравнений был определен в 1965 г. В.П.Масловыи и назван иы классом уравнений туннельного типа. Одной из наиболее важных задач, связанной с теорией таких уравнений является построение экспоненциальных мультипликативных асимптотик нижних собственных функций оператора Шредингера- и экспоненциально малых по параметру h-* О величин расщепления нижних собственных значений в случае потенциала с набором симметричных минимумов. В более общем виде - это задача околовакуумного квантования Разумеется, здесь требуется уже значительно больше, чем построение логарифмического предела асимптотики, (являющееся лишь первым шагом), необходимо получить полные мультипликативные, асимптотические разложения. Этой задачей занимались как многие
математики (в частности, БаЛ.Маолов, Б.Сайыон, Е.М.Харрел, Е.Херинг, Б.Хелфер), так и (особенно в контексте квантовой теории поля и в многочастичных задачах), физики-теоретики (А.М.Поляков,, Т'Хоф? , С.Коулмен, М.Гутцвиллер, П.Фрэмптон и.многие другие). Следует особенно выделить серию из шести работ Б.Хелг фера и Д.Съестранда 84 - 87 г.г., обобщивших и систематизировавших основные результаты по асимптотикам нижних собственных функций и значений операторов Шрадингера, полученные до настоящей работы.
Целью данной работы являлось поотроание идемпотентного анализа, исследование его приложений и анализ указанных выше проблем, теории экспоненциальных асиыптотик.
Общая методика исследования опирается на теорию квазиклао-сических асимптотик ВКБ - Маслова, теорию дифференциальных и квантовых стохастических уравнений, а также на спектральный анализ и теоремы о неподвижной" точке.
Научная новизна. В диссертации содержатся следующие новые результаты.
I. Построен общий анализ на полумодуле функций со значением
в полукольце с идемпотентиьш сложением, доказаны теоремы об ин- .
тегральном представлении общих линейных операторов (или эндомор
физмов) на таких полумодулях, исследована структура обратимых
и компактных линейных операторов,' а также более общих аддитив
ных и однородных, построена теория (идешютентных) обобщенных
функций. . " - —
* 2. Построена теория нестационарных и стационарных обобщенных решений дифференциальных уравнений Гамильтона - Якоби и Бал-лмана, получено новое уравнение, описывающее динамику множеств
Парето в вариационных задачах о'векторный интегральный функционалом, получены фориулы теории возиущений для некоторого класса уравнений, близких к линейный уравнениям идемпотентного«анализа и зти фориулы прииевены для вычисления основных характеристик долго длящихся управляемых квантовых процессов при учете влияния прибора наблюдения.
3. Предложен метод вычисления мультипликативных экспоненциальных асимптотик (в любой порядке по иалоиу параметру h > О величины расщепления нижних уровней оператора Шредингера в об--щей случае нескольких симметричных яи, как точечных, так и организованных в невырожденные многообразия; также приводится мультипликативная асимптотика нижних собственных функций. *
Теоретическая и практическая значимость работы. Результаты полученные в работе могут применяться в теории квазиклассического квантования в окрестности вакууиа,. в общей теории экспоненциальных асимптотик туннельных систем, при анализе-наоліада-еаых квантовых систем слежения, а также в некоторых задачах оптимального управления (векторные критерии, асимптотика реше7 ний на больших временах).
Апробация работы и публикации. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на семинарах кафедры Прикладной математики МИЭМ, мех.-мат. и ВМК факультетов МП, на семинарах МИАН, ВЦ Академии наук, Института проблем механики и Института новых технологий, на международной конференции ИФАК (Владивосток, 1991г.), на всероссийских школах - конференциях по нелинейным уравнениям (Львов, 1988г., Одесса, 1990г.), на всесоюзной конференции "Геометрия, анализ, управление" (Кемерово, 1988 Основные результаты работы опубликованы в [.1-Ю].
Структура и.объем работы. Диссертация состоит из аннота-ш и трех глав, каждая из которых снабжена своим введением и шоком литературы. Общий объем работы 241 страница машинописно текста. Библиография содержит 86 названий.