Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Начально-краевая задача 15
1.1. Постановка 15
1.2. Разрешимость 16
1.3. Фундаментальное решение 29
1.4. Оператор реакции 40
1.5. Медленные волны 42
Глава 2. Динамическая система 49
2.1. Атрибуты 49
2.2. Управляемость 57
2.3. Амплитудная формула 64
Глава 3. Характеризация оператора R2T 87
3.1. Основной результат 87
3.2. Система sf 88
3.3. Система sT
3.4. Представления для А и В 112
3.5. Система с нулевой функцией отклика 126
Литература 1
Введение к работе
Актуальность темы. В работе изучается обратная задача для одномерной двухскоростной динамической системы, и дается характеристическое описание ее данных. Особенность двухскоростных систем состоит в том, что в них имеются волны двух типов, распространяющиеся с различными скоростями и взаимодействующие между собой. Это взаимодействие приводит к интересным физическим эффектам и, в то же время, осложняет исследование системы.
Многоскоростные системы встречаются в важных приложениях: геофизике, акустике, механике, теории упругости. Примерами из последней области служат балка Тимошенко (см. ], ]), стержень с остаточными напряжениями (см. ], [15]), слоистые анизотропные среды (см. ], ]), композитная балка (см. ], ]). В качестве примера из электротехники упомянем систему взаимодействующих кабельных линий. В оптике двухскоростной системой является двулучепреломляющее оптическое волокно (см. []). Соответствующие обратные задачи состоят в определении параметров таких систем по той или иной информации о решении, извлекаемой из внешних наблюдений (например, по измерениям на конце балки или оптического волокна).
Цель и результаты работы. Рассматривается начально-краевая задача
/ m \ тл і/ \ ( 1 \ ") ) I
(0 < Т < оо). Ее решение и = uJ(x,t) = I , описывает волну,
\и2(х, t) J
инициированную граничным управлением f и распространяющуюся вдоль полуоси х ^ 0. Здесь р, 7, А, В суть гладкие вещественные 2x2 матрицы-функции от х ^ 0; р = diag{pi,p2J ? 7 = diag{7i,72J ~~ матрицы с положительными элементами. Матрицы А и В удовлетворяют соотношениям AtT = —A, ~dx~ = В — BtT, (tr — транспонирование). Кроме того выполнены
условия 0 < ./— < л/—
Обратная задача состоит в восстановлении параметров (матричных коэффициентов) р, 75 ^4? ^ системы по ее оператору реакции
R2T : / н+ 7(0)^U=o,
который описывает реакцию системы на действие граничных управлений.
Главная цель работы — дать характеристическое описание оператора R , т. е. привести необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи.
В рассматриваемой обратной задаче неизвестные матричные коэффициенты описываются восемью независимыми скалярными функциями, в то время как оператор R задается набором, содержащим три функции и шесть чисел. В этой ситуации ожидать однозначного определения всех коэффициентов не приходится, и встает вопрос о ее разрешимости: при каких условиях на R существует хотя бы одна система с таким оператором реакции?
Ответ дает теорема, которая устанавливает необходимые и достаточные условия на оператор К , гарантирующие существование системы с таким оператором реакции.
Методы исследования. В работе используется метод граничного управления (boundary control method или ВС-метод). Он основан на связях обратных задач с теорией управления. ВС-метод был предложен М. И. Белишевым в 1986 году для решения многомерной обратной задачи о восстановлении плотности (см. [5]). Это подход комплексного характера, использующий результаты теории управления и теории систем, асимптотические методы для уравнений в частных производных (геометрическую оптику), функциональный анализ и др.
Доказательство основного результата следует схеме работы ]. Однако оно проводится в более сложной ситуации: при наличии большего числа свободных параметров, задающих динамическую систему. В частности, в отличие от [] скорости двух типов волн не предполагаются постоянными. Доказательство достаточности конструктивно: предложена процедура,
восстанавливающая систему по оператору реакции R . В процедуре предусмотрен выбор свободных параметров, за счет чего восстанавливаются все системы этого вида, обладающие заданным оператором реакции. Основная проблема (и трудность) состояла в их непротиворечивом выборе. Процедура использует красивый физический эффект — существование медленных волн. Эти волны суть смеси быстрой и медленной мод, распространяющиеся (несмотря на взаимодействие мод) со скоростью медленной моды. Главный фрагмент процедуры — т. н. амплитудная формула, основной инструмент решения обратных задач методом граничного управления (см. ], ]).
Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в дальнейшем при изучении систем более частного вида, определяемых меньшим количеством параметров. Например, балки Тимошенко. Возможны приложения, например, в дефектоскопии композитных систем.
Апробация результатов. Результаты работы докладывались на семинаре по теории дифракции (руководитель Бабич В. М.) в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В. А. Стеклова РАН, на семинаре лаборатории им. П. Л. Чебышева СПбГУ, а также на 4 международных конференциях: «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании» (Уфа, 2009), «Days on Diffraction» (Санкт-Петербург, 2009, 2011, 2012), «Обратные и некорректные задачи математической физики» (Новосибирск, 2012), «Обратные задачи и интегральная геометрия» (Калининград, 2014).
Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 6 печатных изданиях, 3 статьи опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК: [], [], ], 3 — в тезисах докладов.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы, и списка литературы. Полный объем диссертации составляет 135 страниц с 10 рисунками. Список литературы содержит 33 наименования.
Фундаментальное решение
В связи с тем, что функция / экспериментально не измерима, в работе [8] для системы с А = 0 задача восстановления коэффициента В только по матрице г решена «в малом».
Используя этот результат, A. Morassi, G. Nakamura и М. Sini в работе [29] решили ту же задачу «в большом».
Помимо этого, работа [29] решает прикладную задачу для композитной балки, состоящей из двух однородных балок: бетонной и стальной.
В 2009 году Rackesh и P. Sacks в [31] рассмотрели ту же модельную систему (как ив [7], [8], [25]), но без требования самосопряженности оператора С. В этой работе доказана устойчивость решения обратной задачи для такой системы. В ходе доказательства устанавливались два вспомогательных результата: корректность прямой задачи и существование медленных волн (т. е. существование функции /). Способ доказательства второго результата, как видится авторам, проще ВС-метода, хотя и использует идеи работы [25]. Доказательство первого результата аналогично приводимому в первой главе настоящей диссертации и опубликованному в статье [11]. Однако в диссертации и статье [11] доказательство проводится в более общем и сложном случае: коэффициенты в главной части уравнения, а следовательно, и скорости распространения двух мод являются переменными.
Система с переменными скоростями рассматривалась М. И. Белишевым и А. В. Зуровым в работе [10]. В ней исследовались эффекты, связанные с совпадением скоростей для системы рии — ихх + qu = 0, где оба (матричных) коэффициента предполагаются переменными. Показано, что совпадение скоростей в отдельных «резонансных» точках приводит к переходу сингулярностей волновых мод из одного канала в другой.
В работах А. С. Благовещенского [15] и В. Г. Романова [22] изучалась обратная задача для слоисто-неоднородных сред модели Ламе, которая также является двухскоростной системой. называются эйконалами. Это монотонные, строго возрастающие неотрицательные функции. С физической точки зрения ТІ (х0) — это время, за которое волна, инициированная на конце х = 0 и распространяющаяся вдоль полуоси х 0 со скоростью Cj, заполняет отрезок [0,Ж0]. Эйконалы определяют характеристики системы — кривые {(x,t)\t ± ТІ(Ж) = const}. Характеристики = Т1(х) и = 72 (ж) мы называем быстрой и медленной соответственно. Функции Жі(т), обратные к эйконалам можно представить в виде
В разделе 1.2 рассматривается прямая задача. Для управлений класса L2 ( (0, Т); Ж) определяется обобщенное і2-решение задачи и дается точное описание пространств, в которых она оказывается корректной. Метод исследования вполне традиционный: задача сводится к системе интегральных уравнений вольтеровского типа, затем устанавливается разрешимость последней в подходящем пространстве вектор-функций.
Последующие разделы главы подготавливают исследование динамической обратной задачи.
В разделе 1.3 вводится фундаментальное решение исходной системы как решение матричной начально-краевой задачи putt - №) + AUX + ви = 0, х о, о t т, U\t=0 = Ut\t=0 = 0, ж 0, U\x=0 = S(t) l , O t T, где 5 — дельта-функция Дирака. Представление фундаментального решения дается в подразделе 1.3.3 в виде суммы анзаца и невязки, определенных при помощи стандартной схемы лучевого метода (см., например, [2]). В том же подразделе детально исследуются главные особенности фундаментального решения и выводятся соотношения, связывающие матрицы А и В с (матричными) амплитудами членов первого и второго порядков в разложении лучевого анзаца. В разделе 1.4 вводится оператор реакции (RTf) (t):= 7(0) «(0, ), 0 t T, который в дальнейшем играет роль данных обратной задачи.
Изучение прямой задачи завершает раздел 1.5, где описывается физический эффект, свойственный двухскоростным системам и состоящем в следующем. При определенной связи между компонентами управления f\(t) и /2 ) волна (смесь мод) распространяется со скоростью медленной модыС2- Возможно, впервые этот эффект был обнаружен в [25]; там же и в более поздних работах [7], [9] он был использован для решения обратных задач. Эти работы относились к системам с постоянными скоростями; здесь рассматривается более общий случай переменных разделенных с\ и с2.
В разделе 2.1 вводятся связанные с системой пространства и операторы. Гильбертово пространство управлений ТТ := L2 ( [0,Т];М2 ) называется внешним пространством системы 5Т. Пространство 1 := L2jy0 ( [0, Жі(Т)]; Ш2 ) называется внутренним.
Медленные волны
Как отмечалось выше, любая волна в двухскоростной системе является смесью быстрой и медленной мод. В общей ситуации взаимодействие мод порождает предвестники в медленном канале, в результате чего волна11 распространяется со скоростью быстрой моды С\. Здесь мы описываем красивый физический эффект, свойственный двухскоростным системам: оказывается, при определенной связи между компонентами управления предвестник исчезает, и волна (смесь мод!) распространяется со скоростью медленной моды с - Возможно, впервые этот эффект был обнаружен в [25]; там же и в более поздних работах [7]-[9] он был использован для решения обратных задач. Эти работы относились к системам с постоянными скоростями; здесь рассматривается более общий случай переменных разделенных С\ и с .
Точнее говоря, ее передний фронт, т. е. точка на оси х, отделяющая возмущенную зону от зоны покоя Рассмотрим задачу называются медленными волнами (см. рис. 1.5). Теорема 3. Существует единственная функция І Є C- JO, оо) такая, что условие (1.68) выполнено в том и только в том случае, если компоненты управления f легко следует, что точка {х1{Т — t),s) лежит в области между характеристиками. Поэтому гладкость ядер определяется глад 1,2. Последние, как отмечалось выше, суть дважды непрерывно дифференцируемые функции. Следовательно, V1 , V2 дважды непрерывно дифференцируемы в области изменения своих переменных.
Уравнение (1.72) есть уравнение Вольтерра второго рода относительно / . С учетом вида правой части, из общей теории таких уравнений легко следует, что его решение имеет вид: где L — ядро, дважды непрерывно дифференцируемое по своим переменным и зависящее от Т как от параметра. Заметим, что соотношение (1.73) эквивалентно (векторному) равенству (1.68). Действительно, (1.73) равносильно условию (uf{x)T))1 = 0, х2{Т) х X1{T) но из известной связи между компонентами волны также есть управление, порождающее медленную волну. В силу связи (1-73) между компонентами таких управлений, первая компонента в (1-74) аннулируется для любой f2. Отсюда LTl(t, rj) — LT(t,rj) = 0 для t Т1. По произвольности Т и Т1 заключаем: LT(t,r]) = L(t,rj). Покажем, что ядро L зависит от разности аргументов: L(t,ri) = L(t-ri,0)=:l(t-ri). (1.75) Действительно, в силу независимости коэффициентов уравнения (1.65) от времени, класс управлений, порождающих медленные волны, инвариантен относительно сдвигов ь- — . Следовательно,
Можно получить уравнение, непосредственно определяющее функцию /. Взяв в (1.69) в качестве второй компоненты управления f2 = 5{t), имеем: j1 = 1 5 = 1.3 силу этого, полагая в (1.71) f2 = 5, приходим к уравнению:
Полезно отметить, что в задаче с конечным финальным моментом t = Т для выполнения условия u \t T2(x) = 0 необходимо и достаточно, чтобы связь (1.69) имела место при временах 0 t Т — т1{х2{Т)) (см. рис. 1.5). Отсюда видно, что зависимость функции / от коэффициентов уравнения балки является локальной: значения / при 0 t Т — т1{х2{Т)) определяются значениями р, 7? А, В при 0 х х2(Т) (не зависят от поведения коэффициентов при х х2{Т)). В более общем случае, если управление действует с момента/: = Т — , соотношение (1.69) должно быть выполнено приТ — t Т — Т1{х2{ )) (см. рис. 1.5).
В заключение отметим, что значение /(0) можно выразить через параметры системы. Устремляя t — +0 в (1.78), найдем: Далее в работе будем считать матрицы р, 75 А и В гладкими. С учетом отмеченных свойств решениям- (см. (1.50)), задачу (1.1)—(1.3) можно записать в виде рии - Ых)х + Аих + Ви = 0) 0 х жі(Г), 0 t Т, (2.1) u\t Tl(x) = 0, (2.2) «х=о = /, О Т. (2.3) Такая запись оптимальна в том смысле, что она не содержит значений коэффициентов {р,7, 4, В}\ (т], от которых решение не зависит.
Далее задача (2.1)—(2.3) рассматривается как динамическая система. Она обозначается символом s и наделяется стандартными атрибутами теории управления. — стандартное произведение в М2) называется внешним пространством системы s . Оно содержит расширяющуюся (с ростом параметра ) цепочку подпространств := {/Є I supp / С [Т - , Т] } = 7?_е J , 0 Т , образованных запаздывающими управлениями1. Запаздывание управления ведет к запаздыванию волны: из (1.49) легко следует соотношение
Корректность задачи устанавливается той же техникой — сведением к системе интегральных уравнений Вольтерра второго рода. При управлениях / Є Л42Т (см. (1.48)) решение и = v,f(x,t) оказывается классическим и гладким. О задаче (2.8)—(2.10) можно говорить как о расширенной версии задачи (2.1)—(2.3), существующей в силу гиперболичности последней. Если управление / из (2.10) таково, что /[о,т] совпадает с / из (1.3), то решения этих задач совпадают при временах 0 t Т. Важно отметить, что решения обеих задач вполне определяются поведением коэффициентов/), 7, А В при 0 х Х\{Т) (не зависят от их поведения при х Х\{Т)).
Амплитудная формула
Легко видеть, что для каждого Є [0,Т] и А Є [0,7І2()] вектор-функция I .Т1 А I z (-,А,) является элементом пространства . Кроме того, z (, А,) является кусочно-гладкой в кубе [0,Т]3 вне плоскостей t = A, t = щ (), Л = 7i f () и поверхностей /: = 7Г ( ), Л = 7Г ( ), і = 1, 2. Картина разрывов для фиксированного Є [0,Т] обеих компонент z изображена на рис. 2.4 слева: носитель функции затенен, сплошные линии означают возможный скачок самой функции, а пунктирная линия означает возможный скачок производных.
Опишем возможные скачки функций zI}i = 1,2 для фиксированного Є (0,Т]. В силу определения, очевидно, обе компоненты функции z имеют A1 і / 0 0 0 0 0 гї /V. A, тт! ттї г 3f возможные скачки на прямых = г (), = 1,2. На прямой = ( () первая компонента оказывается непрерывной в силу перевязки компонент функций из пространства J . При Є [f (), ()] первая компонента I(,,) непрерывна, а вторая компонента может иметь скачок на диагонали = . Это следует из того, что обе компоненты вектор-функции ( )(, ,) аннулируются при = (), но компонента 2i(, ,) может иметь скачок на диагонали = , обусловленный скачком функции в нуле (см. (2.42)). Возможные скачки производных (, ,) локализованы на прямых = () и = .
Далее для каждого Є [0,] и Є [0,()] столбец (т)I(-, ,) удовлетворяет уравнению
В силу инъективности оператора г , уравнение (2.63) однозначно разреши-мо в Тх , таким образом, ( ) (, ,) Є Тх . Из уравнения (2.63) следует, что для каждого Є [0, ] обе компоненты функции ( ) (, , ) являются кусочно-гладкими с возможными скачками на прямых = / (), = 1, 2 и возможными скачками производных у обеих компонент на прямой = () (см. правые графики рис. 2.4). На диагонали = первая компонента непрерывна, но возможен скачок ее производных, вторая же компонента сама может иметь разрыв на диагонали. Поэтому скачки р\х ((ТІ ІС)) , А, "), р ((7rf()) А,) как Функции переменной Л Є [ 0,7Г2 () ] являются кусочно-гладкими с возможными разрывами при Л = 7rf (), причем р\х ((jr iO) , А, ) непрерывна при Л = 7i f (). Пусть теперь Заметим здесь, что нижний предел интеграла равен 0 и замены на щ (), как в представлении (2.48), не допускает, так как в данном случае мы действуем на функцию из пространства а не из Т{ : Здесь первое и второе слагаемые имеют носитель в квадрате \щ {С)-,71 , (0] третье слагаемое имеет носитель в прямоугольнике ук{ (),Т] X [ 0,7Г2 () ].
Итого, при каждом Л Є [О, ) ] второй столбец (рт) (-,А,) матрицы рт(-,Х, ) удовлетворяет уравнению
Носитель функции затенен, сплошные линии означают возможный скачок самой функции, а пунктирная линия означает возможный скачок производных.
Для каждого Є [0,Т] возможные скачки правой части локализованы на прямых t = 7if( ), і = 1,2 и Л = 7i f (). На диагонали t = X возможны скачки производных. Из уравнения (2.64) следует, что столбец (р ) (,А,) также имеет возможные скачки (см. рис. 2.5) на прямых t = 7г/ (), і = 1,2, Л = щ () и скачки производных на диагонали t = А. Отсюда следует, что амплитуды скачков (р ) (\7Г,; ()) , А,) являются кусочно-гладкими функциями переменной А Є [ 0,7Г2 ( ) ] с возможными скачками при А = щ (). Более того, из
Приведем соотношение, используемое ниже при характеризации данных. Из представлений (2.38)—(2.41) и (2.58) легко видеть, что при гладком управле-нии / скачки проекции 7- / могут иметь место лишь при t = щ (). Величина скачков находится из этих же представлений, и простой анализ приводит к следующему результату. В следующем предложении используется обозначение і, введенное в (1.11).
Образовавшееся пространство обозначим т. Поскольку т есть изоморфизм (Предложение 7), новая метрика эквивалентна исходной, a J- и состоят из одних и тех же элементов. Это обстоятельство мы используем в обозначениях: / есть J-f , рассматриваемое как подпространство пространства . АнаЛОГИЧ-но понимаются и г = Т1 .
Отметим связь между операциями сопряжения: для ограниченного (в J-и, равносильно, в ) оператора имеем равенство странстве , есть ортогональный проектор в на подпространство . Оператор управления f подсистемы sj , рассматриваемый как оператор из / на 7iX2( \ в силу (2.66), оказывается унитарным. Как видно из (2.55), он играет роль преобразования, диагонализующего семейство проекто-ров \Vl }о т в смысле спектральной теоремы.
Из представления (2.5) нетрудно видеть, что кусочно-гладким управлениям соответствуют кусочно-гладкие волны. Более того, характер гладкости ядра (,) в (2.5) таков, что интегральное слагаемое непрерывно (по ) при любом Є J- . В силу последнего, оказывается верным и обратное: разрывы у волны могут появиться только при наличии разрывов управления. Величины (амплитуды) разрывов связаны соотношениями ( Т )г2()) = -(2())()), 0 , = 1,2, (2.68) (см. обозначения (1.7)) легко следующими из (2.5).
Соотношение (2.70) называется амплитудной формулой (АФ): в нем волны выражаются через амплитуды разрывов, возникающих при действии проекта р торов Vi на управления. Отметим особенность АФ, используемую при решении обратных задач [7], [24]. Столбец в ее правой части содержит только объ-екты внешнего пространства — управления и проекторы 7 . Для построения проекторов достаточно располагать оператором С и функцией /. Вспоминая связь (2.15) и представление (2.11), легко видеть, что столбец в АФ определяется расширенным оператором реакции R (матрицами і/, ши функцией отклика [0,2Т]) и функцией /[0тгт(Т)]- В дальнейшем этот факт сыграет ключевую роль. ГТ1
Представления для А и В
Представим Э/ = у — If- Поскольку элемент у гладкий и If Є С0 ( [0, /г]; М2 ), имеем в/ Є С0 ( [0, /г]; М2 ). Для компонент управления / это влечет /і[7Гт ())Т/] Є C[7if ( ),Т/], /2[7Гт (0)Т/] Є C[7if (0,T ]. Из связи компонент при Є [7гГ(0,7гГ(0] следует f\\ {іі) т т Є С ГЮ ГК)]- Поэтому возможные разрывы f\ и f i могут иметь место только при t = щ (0 и = 7Г () соответственно. Однако как видно из (3.18), их наличие привело бы к разрывам компонент элемента у в точке х = Жг(0 чт0 невозможно по его гладкости. Значит, разрывов нет. Таким образом, улучшена гладкость: из первоначального / Є tf 4 последовало / Є jf Є П С ([0, Т ]; R2 .
Рассуждая вполне аналогично, можно установить кусочную С -гладкость функции /, а затем исключить разрывы производных при t = щ () и прийти к/є JpnC QO jR2 ).
Продолжая очевидным образом, получим / Є J l П Ск ( [0,T ];R2 ) с лю-бым к, что равносильно включению / Є Л41 .
Определение, свойства, представление Ориентируясь на соотношение (2.7), во внутреннем пространстве определим оператор L : 7ih — 7ih, DomL = Доказательство. Выберем у Є DomL : suppy С [a,/3], где 0 a [5 h. Покажем, что suppLy С [a,/3]. 1. Из условия на носитель имеем у Є ЛГ13, откуда Ly С ЛГ13 в силу (3.45), т. е. suppLy С [0,/3]. Значит, L не расширяет носитель вправо. 2. Выберем управление / Є Л41 ,Т2 а\ аннулирующееся вблизи t = Т . Такие управления плотны в подпространстве J? Ма). В силу (3.43) (для = Т2(СЇ)), соответствующие волны УЦ / содержатся в подпространстве l La и плотны в нем. Кроме того, у _L T La в силу suppy С [а, /3].
В равенствах (b) и (bb) для упрощения записи опущен оператор вложения ef . Равенство ( ) — результат интегрирования по частям. При пронесении производных через оператор С используются обращение управления /вОв окрестности і = 0 и ( = Т и равенство (Ст /)(Т") = vf(T ) = 0, следующее из вида ядра интегральной части оператора С (см. (3.2)). Далее, сопоставляя начало с концом и учитывая плотность волн УЦ / в 7ia, получаем Ly _L 7ia, что равносильно suppLy С [а,/3]. Следовательно, действие L не расширяет носитель влево.
Проводя весьма длинные выкладки, можно проверить, что подстановка представлений (3.34) и (3.18) в правую часть (3.44) и последующее интегрирование по частям приводят к выражению
Оператор L можно расширить на распределения, определив действие расширения через правую часть (3.48). Поскольку распределения аппроксимируются гладкими финитными функциями, расширение наследует локальность (3.46). Действуя правой частью на распределения у = 5, {Ss( ) мера Дирака с носителем в х = s), нетрудно убедиться, что следующее из локальности условие supp Ly С suppy = {s} может выполняться только при
Подведем промежуточный итог. В ходе построений из исходных данных (оператора (3.1)) извлечены матрицы-функции {р,7, Л, В}\ ,, удовлетворя-ющие условиям (1.4) и (1.5). Такой набор определяет систему sj через задачу (2.31)—(2.33) с финальным моментом t = Т . Эта система имеет свой оператор управления Wf . С другой стороны, набору был сопоставлен оператор УЦ (см. (3.17)) и через него определены решения (3.49) задачи (3.50)—(3.52). Результат Леммы 15 означает, что эти задачи идентичны. В силу последнего, имеем равенство
Следующий результат устанавливает достаточность условий Теоремы 4 и, тем самым, завершает ее доказательство. Лемма 16. Справедливо равенство R2T = К2Т. Доказательство. 1. Равенства v = v ж UJ = UJ обеспечены выбором параметров в подразделе 3.2.1: замечание в конце Шага 4. Остается проверить равенство гр гр 2. Установим связь между системами s и sj . Их внутренние пространства идентичны: ґНХі(Т) = %х (т) = %h\ Сопоставляя решения задач (3.54)-(3.56) и (3.50)—(3.52), легко видеть, что выполнено равенство есть оператор, введенный в (3.10). Отметим, что Ran Tf,_T С J-f , поскольку принадлежность к J-f не накладывает связи на компоненты управления при Т — Т t Т . В силу этого, правая часть (3.57) корректно определена. Далее имеем соотношения:
В конце подраздела 3.2.2 был описан способ нахождения матриц Л и В на отрезке [0, h]. Ниже мы излагаем этот способ в форме пошаговой процедуры, пригодной для численной реализации. Кроме того, предлагается второй способ определения А и В. Первые 4 шага в обоих способах одинаковые. Шаг 1. По известным функциям /, q, pi, 7« тіі %іі Щ находим представление для операторов (е1 1 для каждого Є [0,Т"] с матричным ядром к (t, s,), определенным в области