Введение к работе
' і
Актуальность проблемы. В настоящей работе проводится ;даптация идей и методов группового анализа к исследованию :онечно-разносгных уравнений, разностных функционалов и >азностных сеток.
Известно, что некоторая произвольная система іифференциальньїх уравнений может быть аппроксимирована (с данным горядком) с помощью неограниченного количества разностных схем. [оэтому при конечно-разностном моделировании всегда стоит вопрос >б отборе схем, предпочтительных с какой-либо стороны. В :ачестве критериев отбора все чаще выступают фундаментальные физические принципы, присутствующие в исходной модели, - такие, сак выполнение законов сохранения, вариационные принципы и т. д.. 5 связи с этим большое значение приобретают качественные :оображения при построении численных алгоритмов, позволяющие зносить "физическое содержание" изучаемого объекта в численный «етод исследования его математической модели. Такой взгляд іривел к созданию методов построения консервативных и полностью консервативных разностных схем , к интегро-интерполяционному зодходу, к вариационным методам построения схем и другим методам, характерным для работ школы А. А. Самарского.
Инвариантность дифференциальных уравнений относительно аепрерывной группы преобразований является, безусловно, фундаментальным свойством этих моделей и отражает однородность и изотропность пространства-времени, справедливость принципа Галилея и др. свойств симметрии физических моделей, интуитивно (или на основании эксперимента) закладываемых их создателями. Поэтому адекватное отражение свойства симметрии в конечно-разностной модели, наследующей симметрию исходной дифференциальной модели, представляется важной задачей теории разностных схем и мокет служить тем критерием отбора, о котором говорилось выше.
Впервые теория непрерывных групп преобразований была сформулирована С. Ли при развитии им общих методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Дальнейшее развитие группового анализа дифференциальных уравнений и систематическое изучение структуры множества их решений, - фактически второе рождение группового анализа, - связано с работами Л. В. Овсянникова и его научной школы. В настоящее время групповой
анализ представляет собой общепризнанный метод описания непрерывных симметрии дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений математической физики.
Привлекательность теоретико-группового подхода к созданию и исследованию разностных схем заключается в том, что групповой анализ обладает мощными инфинитезимальными критериями инвариантности многообразий. Это проявляется в том, что задача нахождения (или исследования) непрерывной группы преобразований сводится к решению (исследованию) линейной системы уравнений, вне зависимости от линейности или нелинейности исходной модели.
Знание группы преобразований, допускаемой данной математической моделью, дает значительную информацию о множестве ее решений. Чем шире допускаемая группа, тем больше представляется возможностей для ее применения. Поскольку структура допускаемой группы коррелирована с алгебраической структурой множества всех решений данной системы, постольку представляется важным сохранить всю симметрию исходной непрерывной модели в ее конечно-разностном аналоге.
Впервые на возможность привлечения групповых соображений к исследованию разностных схем обратили внимание Н. Н. Яненко и Ю. И. Шокин , которые предложили использовать для этих целей первое дифференциальное приближение (ПДП) разностных схем. ПДП разностных схем представляет собой дифференциальные уравнения, занимающие промежуточное положение (в смысле аппроксимации) между исходной дифференциальной моделью и ее конечно-разностным аналогом. ПДП несет в себе определенную информацию о разностной схеме , и, будучи дифференциальными уравнениями, вполне пригодно для классического группового анализа. При таком подходе производится отбор тех разностных схем, ПДП которых допускает ту же группу, что и исходная непрерывная модель.
Многие авторы развивали подходы к групповым свойствам разностных схем, основанные на анализе дифференциально-разностных уравнений. Во всех перечисленных подходах рассматриваются локализованные объекты. Заметим, что эти локализованные различными путями объекты занимают промежуточное положение между разностными схемами и исходными дифференциальными уравнениями в смысле аппроксимации. Это положение позволяет судить о близости их решений к решению разностных уравнений, общности некоторых качественных
характеристик решений, однако вопрос о близости их групповых свойств при таком подходе остается открытым.
В настоящей работе делается анализ групповых свойств непосредственно конечно-разностных обьектов - разностных уравнений, сеток и сеточных функционалов.
Целью работы является разработка теории групп преобразований конечно-разностных переменных и ее применение для построения конечно-разностных моделей, полностью наследующих симметрию исходной дифференциальной модели и имеющих соответствующие инвариантные решения и законы сохранения.
Научная новизна В диссертации заложены основы нового научного направления - группового анализа конечно-разностных уравнений. Получены следующие новые результаты:
1. Выделен комплект математических объектов, необходимый для описания непрерывных симметрии конечно-разностных уравнений: пространство 2 последовательностей независимых переменных и зависимых переменных, продолженных на все порядки производных; точечные группы преобразований, продолженные в пространство 2; одна неточечная группа - нетривиальная группа Ли-Беклунда (группа Тейлора), необходимая для описания конечно-разностных переменных и уравнений в 2. Введены операторы дискретного сдвига и дифференцирования, позволяющие ввести в рассмотрение конечно-разностные переменные или образуемое ими пространство Z.
2.Введено понятие групп преобразований в сеточном
пространстве Z; выделен класс преобразований, сохраняющих смысл
h первой разностной производной. Показано, что эти группы
преобразований сохраняют смысл разностных производных любого
порядка и реализуются в 2 в виде групп Ли-Беклунда.
-
Сформулировано понятие инвариантно-равномерных разностных сеток и инвариантных неравномерных сеток. Получен критерий инвариантности для обоих классов сеток и построены примеры.
-
Изучены структурные свойства алгебры Ли инфините-зимальных операторов в сеточном пространстве. В частности, получено конечно-разностное представление группы Тейлора.
-
Получены необходимые и достаточные условия инвариантности разностных уравнений, рассматриваемых вместе с разностной сеткой. Рассмотрены примеры инвариантных разностных схем.
6.Предложен эффективный способ построения конечно-
разностной модели, наследующей все непрерывные симметрии исходной дифференциальной и аппроксимирующей ее с данным порядком, - метод конечно-разностных инвариантов.
7.Приведены примеры применения методики построения инвариантных разностных уравнений и их инвариантных решений.
-
Получены операторные тождества, - дискретные аналоги тождества Э. Нетер, - связывающие операторы группы, вариационные производные и дивергентное дифференцирование.
-
Получено конечно-разностное представление оператора Эйлера на различных разностных сетках. Показано, что вариация сеточного функционала приводит в общем случае не к уравнениям Эйлера, а к некоторым новым уравнениям, названным уравнениями квазиэкстремалей.
10. Доказан разностный аналог теоремы Нетер и построены
примеры его применения для построения консервативных разностных
уравнений.
Практическая ценность работы состоит в разработке основ теории групп преобразований конечно-разностных переменных, которая конструктивно применяется для построения разностных схем, обладающих той же симметрией, что и исходная дифференциальная модель, для построения инвариантных решений и законов сохранения разностных уравнений. Полученные результаты могут быть использованы для исследования численных моделей, описывающих различные физические, механические, биологические и пр. процессы.
Аппробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на многих конференциях и семинарах; в частности, на:
-Научной конференция Московского Физико-Технического Института (Долгопрудный, 1985);
-Всесоюзной школе молодых ученых "Вычислительные методы и математическое моделирование" (Красноярск, 1986);
-Всесоюзных семинарах (коллоквиумах) "Современный групповой анализ" (Ленинград, 1987; Баку, 1988);
-Всесоюзной школе молодых ученых и специалистов "Теоретические и прикладные проблемы вычислительной математики и математической физики" (Одесса, 1987);
-Международном симпозиуме "Симметрия структур" (Будапешт, 1989);
-Национальной летней школе по прикладной математике
(Варна. 1989, 1990);
-Международной конференции "Математическое моделирование и прикладная математики" (IMACS'90), (Москва, 1990);
-Международном семинаре "Современный групповой анализ" (Уфа, 1991);
-Международном Конгрессе по Вычислительной и прикладной катематике (Дублин, 1991).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 работах.
Структура и объем работы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы составляет 175 страниц, включая 8 таблиц и 5 рисунков. Список литературы содержит 86 наименований.