Введение к работе
Актуальность темы.
Современым подходом к теории квантовых интегрируемых систем является квантовый метод обратной задачи, разработанный в лаборатории математических проблем физики ПОМ И под руководством Л.Д.Фаддеева. Метод был сформулирован в работе Л.Д.Фаддеева, Е.К.Склянина и Л.А.Тахтаджяна и получил дальнейшее развитие в работах Л.Д.Фаддеева, П.П.Кулиша, Н.Ю. Решетихина, Е.К.Склянина, М.А.Семенова-Тян-Шанского, Л.А.Тахтаджяна, В.О.Тарасова и других участников Санкт-Петербургской школы математической физики. Квантовый метод обратной задачи связывает с каждым решением уравнения Янга-Бакстера интегрируемую модель и обеспечивает метод построения собственных состояний гамильтониана модели при помощи алгебраического анзатца Бете. Спектр гамильтониана находится из решения системы уравнений Бете.
В приложениях часто возникают интегрируемые модели, где псевдовакуум отсутствует и, как следствие, алгебраический анзатц Бете неприменим. Примерами таких моделей являются квантовая цепочка Тоды, XXX спиновая цепочка с группой симметрии SL(2,C), имеющая приложения в теории полей Янга-Миллса(Л.Н.Липатов, Л.Д.Фаддеев, Г.П.Корчемский), а также XXX спиновая цепочка с группой симметрии SL(2, R) или модулярный XXZ магнетик. В таких случаях альтернативными подходами являются метод Q- оператора (Р.Бакстер) или метод разделения переменных (Е.К.Склянин), которые эквивалентны алгебраическому анзатцу Бете при наличии вектора младшего веса, но применимы и в более общей ситуации, когда вектор младшего веса отсутствует.
Эти методы достаточно хорошо разработаны для случая группы симметрии ранга один, но, в отличии от алгебраического анзатца Бете, обобщение на модели с группами симметрии высших рангов до сих пор неизвестно.
Для различных вариантов XXX или XXZ спиновой цепочки с алгеброй симметрии si2 ил и Uq (si2) Q-оператор строится при помощи метода Бакстера- Паскье-Годена, однако этот метод трудно распространить на модели с группой симметрии более высокого ранга и общепринятый конструктивный спо- Q
тах В.В.Бажанова, С.Л.Лукьянова и А.Б.Замолодчикова для модели с алгеброй симметрии Uq(.Si2) и в дальнейшем обобщён на Uq(sis) и алгебру суперсимметрии Uq(si(2|1)). В рамках этого метода Q-оператор строится как след специальной матрицы монодромии по вспомогательному пространству бесконечно-мерного представления g-осцилляторной алгебры. При этом используется универсальная R-матрица (С.М.Хорошкин, В.Н.Толстой).
Абстрактное представление через генераторы для универсальной R-матрицы является достаточно сложным, что приводит к техническим трудностям при обобщении на Uq(sn) данного метода построения Q-оператора. Кроме того, случай недеформированной алгебры симметрии sn должен получаться при рассмотрении предела q ^ 1, что само по себе является крайне нетривиальной технической задачей.
В работах автора с коллегами был развит другой подход к построению Q- операторов. На первом этапе были получены явные формулы для Q-операторов в моделях спиновых цепочек с алгебрами симметрии s2,s3 и s(2|1), а потом вся схема была обобщена на случай алгебры симметрии sn. Q-оператор строится аналогичным образом как след специальной матрицы монодромии по бесконечно-мерному вспомогательному пространству. Основное отличие О T XT ОДХОД Qj Бажанова-Лукьянова-Замолодчикова состоит в том, что в качестве вспомогательного пространства выбирается пространство специального
представления алгебры симметрии, которое не является аналогом представ- q
в тензорном произведении двух представлений общего положения алгебры симметрии, может быть представлена в виде произведения двух (для s2) или трёх (для s3 и s(2|1)) более простых операторов. Трансфер-матрица стро-
произведении действуют как операторы в общем вспомогательном простран-
наследуется трансфер-матрицей, которая так же распадается в произведение более простых строительных Q
ли параметры представления во вспомогательном пространстве выбрать спе-
получается представление в виде следа специальной матрицы монодромии по
бесконечно-мерному вспомогательному пространству.
гебры sn 6 С T 6 С T В 6 H H Ы M образом разбивается HQj ДВ Qj 3TS)
Q-операторов. Самый простой случай алгебры симметрии s2 используется в качестве нетривиального примера, в котором все вычисления проводятся явным образом.
Цель работы.
Основной целью работы является явное построение общих решений уравнения Янга-Бакстера с группой симметрии SL(n, C) и использование полученных R-матриц для конструкции Q-операторов и оператора перехода к представлению разделённых переменных. В рамках общей задачи требуется разработать технику, применимую к наиболее сложному для анализа случаю групп большого ранга.
Рассмотрены следующие конкретные проблемы:
конструкция общего решения уравнения Янга-Бакстера с группой симметрии SL(n, C) для представлений непрерывных серий, модулей Верма и конечномерных представлений
Q-операторов
переменных
симметрии: si2 ^ Uq(si2) ^ алгебра Склянина. Методы исследований.
В работе активно используются методы теория представлений: метод индуцированных представлений и конструкция Гельфанда-Наймарка, теория сплетающих операторов и их связь с представлениями симметрической группы. Также использованы квантовый метод обратной задачи рассеяния и технические приемы, разработанные при вычислении диаграмм Фейнмана - метод уникальностей и интеграрование цепочек. Активно используются специальные функции, являющиеся q-аналогами и эллиптическими аналогами Г-функции Эйлера.
Теоретическая и практическая ценность.
Диссертация имеет теоретический характер. Разработанные в ней методы и полученные результаты могут быть применены для дальнейшего изучения
интегрируемых моделей и их применения в современной теоретической фи-
рангов и для случая бесконечномерных
ІірвДСТсІВЛвНИИ ЯВЛЯ6ТСЯ С6ГОДНЯ 9iK
туальной задачей, вокруг которой работают многие специалисты по теории интегрируемых моделей.
Часть материалов диссертации составило содержание специальных курсов для студентов и аспирантов
обучающихся по специальности теоретическая
и математическая физика. Научная новизна.
В диссертации получены следующие новые научные результаты. Спиновые цепочки с группой инвариантности ранга один:
Методом Бакстера-Паскье-Годена построен Q-оператор для спиновой цепочки с пространством состояний, являющемся тензорным прозведе- нием бесконечно-мерных й2-модулей Верма.
Построена общая R-матрица, общая трансфер-матрица, Q-оператор и оператор перехода к представлению разделённых переменных для представлений основной унитарной серии. Явным образом вычислена мера Склянина В ПрGfZ^CTcLBЛ6НИИ р^ЗД1^6Л6ННЬ1Х n6p6lVl6HHbIX.
ки.
ной алгебры симметрии: si2 ^ Uq(si2) ^ алгебра Склянина.
Спиновые цепочки с группами инвариантности высших рангов:
Построено общее й3-инвариантное решение уравнение Янга-Бакстера.
операторов и аналогичная факторизация трансфер-матрицы в произве- Q
Полученная схема пост роения R-матриц и Q-операторов перенесена на случай суперсимметричной спиновой цепочки с супер-алгеброй симметрии si(2|1).
Построено общее йп-инвариантное решение уравнение Янга-Бакстера. Установлена связь с теорией сплетающих операторов.
торов.
ИHcLH'X'H0(3 XІ,рб^С'іОіВЛбНИ6 для
трансфер-матрицы с конечномерным вспомогательным пространством. Уравнения Бакстера для Q
между трансфер-матрицами являются прямым следствием полученного дбтбрмин9іНТного представления
Апробация работы.
Результаты, полученные в диссертации, неоднократно докладывались и обсуждались на семинарах ПОМИ и ИТЭФ. Результаты ^ИССбрТЭ)! ЩИ были представлены автором на научных семинарах в институтах теоретической физики Университетов Лейпцига, Бохума, Регенсбурга и Бонна (Германия), в отделах теоретической физики Орсэ и Сакле (Париж,Франция), Университетов Йорка и Лидса (Англия), а также на многочисленных международных конференциях по различным областям теоретической и математической физики, в частности на конференциях:
"Модели квантовой терии поля" (Санкт-Петербург) МКТП-2008
(5.11-7.11.2008) и МКТП-2010 (18.10-23.10.2010), посвященных ПЕМЯТИ
Александра Николаевича Васильева;
(21.06-23.06.2010) IPhT Saclay;
Протвино, CQIS-2009 (27.06-2.07.2009) Черноголовка, CQIS-2007 (22.0125.01.2007) Дубна;
HBj «і
Петербург.
Публикации.
В ходе исследований по теме диссертации опубликованы 19 статей в ведущих отечественных и зарубежных рецензируемых научных журналах из списка ВАК.
Структура и объем диссертации.