Введение к работе
Актуальность темы Работа относится к топологической квантовой теории поля и также тесно связана < гомотопической алгеброй и алгебраической топологией Исследуется задача построения дискретного варианта топологической неабелевой BF-теорпи на многообразии (в лагран-жевом формализме), связанного с триангуляцией многообразия и обладающего конечномерным пространством полей
Для случая абслсвой BF-тсории задача дискретизации была решена в [1] и было продемонстрировано вычисление корреляторов наблюдаемых в этой дискретной модели, в точности равных соответствующим корреляторам исходной топологической теории поля Случай неабелевой BF-теории является более счожным и интересным, в частности, с точки зрения алгебраической топологии, поскольку корреляторы этой модели дают более тонкие инварианты узлов и многообразий (см [9]) В данной работе мы занимаемся только лишь действием дискретной iJF-теории и не занимаемся наблюдаемыми Обсуждаемая здесь конструкция действия дискретной BF-теории как эффективного действия для исходной топологической теории в формализме Баталина-Вилковысского, была предложена автору А С Лосевым в -устной беседе и дает a pi юн эквивалентную теорию поля Также в работе обсуждается эффективное действие данной модели на когомологиях де Рама многообразия Это эффективное действие дает некоторый инвариант многообразия, являющийся "квантовым пополнением "рационального гомотопического типа многообразия (см [27]) Более того, показано на примере что это квантовое пополнение является более тонким инвариантом, чем просто рациональный гомотопический тип Переход от действия топологической jBF-тсории к действию
дис кретиой BF-теории, а также переход к действию на ко-гомологиях, в свою очередь интерпретируется как квантовое пополнение гомотопического переноса алгебраической структуры на пространстве дифференциальных форм на многообразии го значениями в "калибровочной"алгебре Ли g на комплекс g-значных клеточных коцепей триангуляции и далее на когомологии де Рама с коэффициентами в g При этом классические формулы гомотопического переноса Loo-структуры в виде сумм по деревьям (см [20]) получают интерпретацию как древесные фейнмановскис диаграммы, возникающие при пертурбаливном вычислении интеграла, определяющего эффективное действие
Построение дискретной BF-теории можно считать шагом на пути к построению дискретных вариантов теории Черна-Саймонса и пуассоновой сигма-модели Эти две модели топологической квантовой теории поля особенно важны, поскольку первая дает важные инварианты узлов и 3-многообразий [30], а вторая тесно связана с задачей деформационного квантования пуассоновых многообразий |19], [10| С помощью дискретных вариантов данных моделей можно было бы заменить континуальные интегралы необходимые для вычисления корреляторов в них, па некоторые конечнократные интегралы
Таким образом, тематика работы актуальна
Цель работы. Исследование действия дискретной BF-теории
Используемые методы Существенно используется формализм Баталина-Вилковысского для калибровочных теорий поля, а также метод фейнмановских диаграмм для вычисления ряда теории возмущений для континуального интеграла
Научная новизна Все основные результаты диссертации являются новыми
Практическая и теоретическая ценность. Работа
носит теоретический характер Бе результаты и методы могут быть использованы в алгебраической топологии для нос гроения инвариантов учлов и многообразий в терминах конечно-кратных интегралов и для построения квантового пополнения теории рационального гомотопического типа
Апробация работы Результаты работы неоднократно докладывались па семинарах ПОМИ РАН, па семинарах ЕТН Цюриха, на конференции "Poisson sigma-models, Lie algebioidb, clefoimations, and higher arialoguebMB институте им Шрсдингсре, (Австрия Вена) летом 2007 г Также па основе работы был прочитан мини-курс в City Univeisity of New Yoik (США, Нью-Йорк) весной 2007 г
Публикации. По теме диссертации опубликованы работы [31] и [32]
Структура и объем диссертации Диссертация состоит из 7 разделов (первые три являются вводными), изложена на 215 стр Список литературы включает 32 названия