Введение к работе
Актуальность темы Настоящая работа посвящена исследованию начально-краевых задач для уравнения составного типа, описывающего нестационарные двумерные внутренние волны в «небуссинесковых» (т.е. сильно стратифицированных ) жидкостях.
Интерес к проблемам динамики стратифицированных жидкостей
обусловлен как практическими потребностями, так и большим теоретическим
содержанием возникающих здесь проблем. Конечно, детальное описание
волнового процесса в этих жидкостях требует достаточно развитых
математических моделей, весьма сложных, нелинейных,
многопараметрических, изучение которых эффективно лишь при помощи численных методов. Однако, очень часто первоначальное качественное представление об изучаемом круге явлений можно получить и на основе более простых линейных моделей и аналитических методов исследования.
Это характерно для задач динамики стратифицированных жидкостей. Даже в рамках линейных моделей их математические постановки весьма своеобразны и приводят к нестандартным начально-краевым задачам. Это определяет наряду с нетривиальными физическими следствиями и самостоятельный математический интерес к этим проблемам. Кроме того, изучение задач, разрешимых в явном виде, играет важную роль в исследовании любой математической модели физических явлений. Это обусловлено тем, что эти задачи являются своего рода «эталонами», позволяющими глубже понять суть изучаемой модели, а так же проводить сравнение и опенку эффективности различных асимптотических и приближенных методов, в частности, численных.
Целью данной работы является, во-первых, построение динамического углового потенциала для уравнения двумерных внутренних волн.
Во-вторых, исследование первой и второй начально-краевых задач о возбуждении колебаний при задании различных краевых режимов на двустороннем криволинейном отрезке в стратифицированной жидкости.
Причём исследование второй начально-краевой задачи потребовало сформулировать «естественное» физическое условие, гарантирующее единственность поставленной математической задачи. Поскольку вторая начально-краевая задача ставится для функции тока с краевым условием для касательной производной функции тока на границе, то, исследуя данную начально-краевую задачу, мы одновременно исследуем и первую начально-краевую задачу для потенциальной функции.
В-третьих, обобщение полученных результатов на случай системы непересекающихся криволинейных отрезков в стратифицированной жидкости.
В-четвёртых, исследование асимптотического поведения фундаментального решения оператора двумерных внутренних волн при / —> +со и при рс| —> +QO и доказательство существования «квазифронта».
Состояние вопроса. В настоящее время существует два основных подхода к изучению задач динамики стратифицированных жидкостей: первый из них связан с редукцией на основе потенциальной функции или функции тока (в двумерном случае) основной векторной системы уравнений гидродинамики к одному скалярному уравнению с последующим изучением начально-краевых задач для этого уравнения, второй опирается на непосредственное рассмотрение векторной системы уравнений. Первый подход развит в работах С.А. Габова, А.Г. Свешникова. Второй подход используется в работах В. И. Масленниковой , Н. Д. Копачевского и их учеников.
Наиболее изученным является случай малых колебаний идеальной несжимаемой стратифицированной жидкости, динамика которой описывается уравнением
~-[A}U-j32U\+a>20A2U + a2(UXiXi -/?(/) = О, (1)
5 где С00 — частота Всйсяля-Врента, ОС — удвоенная частота вращения жидкости
относительно выбранной оси Ох3, J3— параметр стратификации. Это уравнение называется уравнением гравитационно-гироскопических волн.
Уравнение (!) является неклассическим уравнением математической физики и относится к уравнениям составного типа. По-видимому, история строгих исследований уравнений типа (1) восходит к работе С.Л. Соболева, в которой было выведено уравнение малых колебаний в однородной вращающейся жидкости
л*2 ' ' '''
— A,// + eri/ = 0, (2)
получившее в дальнейшем название «уравнения Соболева». Для него было построено фундаментальное решение и изучена задача Коши. Исследования начально-краевых задач уравнения (2), начатые Соболевым, были продолжены Р.А. Александряном, Т.И. Зеленяком , В.Н. Масленниковой и целым рядом других авторов.
В случае невращающейся жидкости {а = 0) и двумерных колебаний, т.е. независящих от одной из пространственных переменных (для определённости от х2, уравнение (1) принимает вид
~[д22(/]+й^іГі=0 (3)
Уравнение (3) носит название уравнения внутренних гравитационных волн.
Обращаясь к обзору результатов относительно уравнения (3), следует остановится на важном частном случае - уравнении внутренних гравитационных волн в приближении Буссинеска. С физической точки зрения приближение Буссинеска означает предположение о слабой стратификации жидкости. Формально уравнения в приближении буссинеска могут быть получены из уравнений (1), (3), если положить величину /3 = 0. Случай приближения Буссинеска в определенном смысле можно считать изученным
6 полностью. Целый ряд авторок как у нас в стране, так и за рубежом рассматривали в своих работах вопросы, связанные с изучением частных случаев уравнений (I), (3) приближения Буссинеска и основных начально-краевых задач для него. Систематическое исследование задач динамики идеальной стратифицированной жидкости в приближении Буссинеска можно найти в монографиях С. А. Габова и А Г. Свешникова. Среди последних работ в этой области следует отметить работы И. А. Боровикова, СТ. Симакова, где рассматривается случай переменной частоты Вяйсяля-Брента й)0 = су0(х,).
Одним из наиболее плодотворных методов исследования граничных задач является метод потенциалов. Применение этого метода к изучению уравнений типа Соболева потребовало построения так называемых динамических потенциалов, которые являются аналогами класических объемного потенциала и потенциалов простого и двойного слоя. Динамические потенциалы для уравнения Соболева были построены и изучены Б. В. Капитоновым и В. В. Сказкой. Теория динамических потенциалов для уравнений гравитационно-гироскопических волн приближения Буссинеска была развита С. А. Габовым и А. Г. Свешниковым. Следует отметить, что С.А. Габовым были построены динамические логарифмический и угловой потенциалы - аналоги соответствующих потенциалов для уравнения Лапласа. Полученные результаты были эффективно использованы для доказательства классической разрешимости начально-краевых задач для уравнений (1), (3) в приближении Буссинеска. Дальнейшее развитие теория динамических потенциалов для уравнения (1) в приближении Буссинеска получила в работах С. А. Габова и Ю. Д. Ллстнера. Приложениями теории динамических потенциалов к краевым задачам и многосвязных областях для классических уравнений и некоторых уравнений составного типа посвящены работы П. А. Крутицкого.
Изучению начально-краевых задач для полных уравнений составного типа посвящены работы Ю. Д. Плетнсра, где было построено фундаментальное решение для общего уравнения «псевдоэллиптического» типа:
^^{[),)1^1),М^О + сОЩЫ^»^ 0, (4)
здесь jceR",/eR , а —действительные постоянные, с — произвольная комплексная постоянная, R(D,), 0(Dt) -дифференциальные полиномы с постоянными коэффициентами, причём
^(# = ^ + ^(#.0( = ^ + ()./eN, а /^),2(^)-
произвольные полиномы степени меньшей / Кроме того, исходя из связанной с двумерными уравнениями составного типа в приближении Буссинеска системы, аналогичной системе Коши-Римана, построен новый класс обобщенных аналитических функций. Также были построены динамические потенциалы для трехмерных и двумерных уравнений составного типа, возникающих в гидродинамике и плазмодинамике. Отметим также работы Л. Г. Свешникова, X. Лллахвердиева, А. В. Красножон, посвященные начально-краевым задачам для полных уравнений составного типа. Среди зарубежных исследований отметим работу Appleby J. С., Grighton D.G.
Практическая ценность. Полученные результаты представляют как прикладной, так и математический интерес Они могут быть применены для решения задач геофизики, связанных с изучением движений идеальной несжимаемой стратифицированной жидкости.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинаре кафедры математики физического факультета МГУ, на научном семинаре под руководством доктора физико-математических наук профессора И. А. Шишмарева, на международной конференции «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования», 23-27 марта 1998 г., Москва.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-3].
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и четырёх глав, содержит 97 страниц текста. Список цитируемой литературы включает 64 работы.