Содержание к диссертации
Введение
1 Геометрия и пространства функций 11
1.1 Геометрия 11
1.1.1 Метрики 11
1.1.2 Гегулярная зона 12
1.1.3 Шапочки 12
1.1.4 Области влияния 13
1.2 Функции и поля 16
2 Система типа Ламе 18
2.1 Система Ламе 18
2.1.1 Начально-краевая задача 18
2.1.2 Конечность области влияния 19
2.1.3 Динамическая система Ламе 20
2.1.4 Управляемость 20
2.2 Система типа Ламе 22
2.2.1 Система ат 22
2.2.2 Оператор реакции 22
2.2.3 Постановка обратной задачи 23
2.2.4 Подсистема а 24
2.2.5 Подсистема а 27
2.2.6 Связь траекторий з
2.3 Разделение шапочек ЗО
2.3.1 Шапочки в подсистемах 31
2.3.2 Шапочки в системе ат 32
3 Обратная задача 37
3.1 Отображение Пт 37
3.1.1 Полугеодезические координаты 37
3.1.2 Восстановление скорости по тензору h 39
3.1.3 Представление полей 40
3.1.4 Параллельный перенос 41
3.1.5 Отображение 7г 41
3.1.6 Оператор Пт 42
3.2 Изображения 43
3.2.1 Проектирование в пространстве потенциальных полей 43
3.2.2 Оператор Кальдерона 45
3.2.3 Оператор Л 46
3.2.4 Поперечный градиент и поперечная дивергенция 47
3.2.5 Л/"т-преобразование 49
3.2.6 Акустическая подсистема а Оператор Vxdiv 50
3.2.7 Оператор UT{Vxdiv)(Ят) 52
3.2.8 Оператор изображения Xу 54
3.2.9 Оператор Iу(Vxdiv)(І7) 55
3.3 Динамика 59
3.3.1 Прямая задача. Оператор управления 59
3.3.2 Управляемость 59
3.3.3 Разрывы в прямой задаче 60
3.3.4 Двойственная система 63
3.3.5 Оператор реакции 1ZT системы а 65
3.3.6 Разрывы в двойственной системе 66
3.4 Связывающий оператор 68 3.5 Восстановление скоростей 70
4 Локализация волн в шапочках и восстановление быстрой скорости 72
4.0.1 Оператор управления системы ат 72
4.0.2 Связывающий оператор системы ат 73
4.0.3 Моделв системы ат 74
4.0.4 Моделвные шапочки 76
4.0.5 Время пробега бвістрвіх волн от точки границы до точки области 78
4.0.6 Восстановление быстрой скорости
Введение к работе
Актуальность темы исследований. Распространение упругих волн в изотропной неоднородной среде описывается системой уравнений Ламе с переменными коэффициентами. Обратная задача заключается в нахождении этих коэффициентов или их комбинаций по известной информации на границе. Можно выделить три основные постановки обратной задачи. В кинематической постановке роль данных играет время пробега волн между точками границы, в спектральной — спектр соответствующего дифференциального оператора и граничные значения собственных функций, в динамической постановке задаются амплитуды волновых полей на границе. В диссертации рассматривается динамическая обратная задача.
Конкретно, диссертация посвящена восстановлению скоростей продольных и поперечных волн в системе типа Ламе по известному оператору реакции. Скорости восстанавливаются в приграничной зоне, в которой регулярны лучевые координаты с базой на границе. Решение обратной задачи является оптимальным по времени: глубина восстановления пропорциональна времени наблюдения. Задача представляет теоретический интерес и имеет важные приложения в теории упругости и геофизике. Цель работы. Пусть Q С М3 есть ограниченная область с гладкой1 границей Г. В Q заданы гладкие положительные функции/і и к := А+2/і (А и /і — коэффициенты Ламе). Фиксируем Т Є (0, оо) и рассмотрим начально-краевую задачу:
utt = VxdivM — Totfiiotu в Г2х(0,Т), (1)
u\t=o = щ\і=о = 0 в Q, (2)
u = f на Гх [0,Т]. (3)
Соответствующую динамическую систему назовём системой типа Ламе и обозначим символом а . М3-значная функция / = f(^,t) (7 Є Г, Є [0,Т]) называется граничным, управлением, Она описывает смещения точек границы, инициирующие волновой процесс в Q. Решение и = и*(х,і) [волна) есть М3-значная функция, описывающая смещения точек среды в Q. Для гладких управлений, аннулирующихся вблизи
1 всюду, применительно к поверхностям, функциям, полям и т.д., гладкий означает С-гладкий
t = О, задача (1)-(3) имеет единственное классическое гладкое решение и = uf(x,t).
Функции Ср = л/х, са = уД1 {са < Ср) имеют смысл скоростей продольной (быстрой) и поперечной (медленной) волн. Скорости определяют две конформно-евклидовых метрики (здесь и ниже a = p,s):
ds2a := ЦІ, (4)
с2
где \dx\ — евклидов элемент длины в R3. Через та(х,у) обозначим расстояния в этих метриках, а через
Пга:= {хеП\та(х,Г)<г} , г>0
— метрические окрестности границы (приграничные слои толщины г). Из соотношения скоростей следует тр(х,у) < rs(x,y), Qrs С Qp для любых х,у є Q [х Ф у).
Точке х Є Q сопоставим множества 7«(ж) := І7 ^ Г | та(х,^) = та(ж,Г)} ближайших точек границы. Как известно, при достаточно малом г > 0 для любого х Є Qra каждое из множеств 7«(ж) состоит из одной точки, а система полугеодезических (лучевых) координат с базой Г регулярна в Qra. Пусть T^eg суть точные верхние грани тех г, при которых такая регулярность имеет место. Приграничные слои мы называем регулярными зонами соответствующих метрик. Определим jreg ._ min{T^eg,TJeg} и общую регулярную зону QTreg := i7jreg.
С системой ат связан оператор реакции RT:
RTf = Nuf наГх [0,Т],
где N — соответствующий системе оператор Неймана. Оператор реакции описывает отклик системы на действие управлений и играет роль данных обратной задачи.
Целью работы является решение динамической обратной задачи для системы типа Ламе. По оператору реакции R , заданному при фиксированном Т > 0, и известным функциям на границе са\т, "^7Іг ІУ ~ внешняя единичная нормаль к Г; а = p,s) требуется определить скорости волн: ср в области Uz и cs в области Щ. Задача решается при дополнительном предположении Т < Treg, т.е. в регулярной зоне 2.
2тот факт, что в постановке используется R2T (а не RT), адекватен свойству конечности области влияния данных (см. [1, 2, 3])
Методы исследований. Для решения обратной задачи для системы типа Ламе используются результаты теории управления, геометрии, теории операторов и асимптотических методов в теории распространения волн. Ключевым является ВС-метод (Boundary Control method; М. И. Белишев, 1986), основанный на связи обратных задач с теорией граничного управления. Отметим, что обратная задача для системы типа Ламе в оптимальной по времени постановке была впервые решена (Белишев, 2007) с использованием разделения управлений на два класса: управления из первого класса инициируют только pволны, управления из второго класса — только s-волны [1].
Научная новизна. Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, являются новыми и состоят в следующем:
-
В динамической системе типа Ламе проведен анализ структуры достижимых множеств и установлено, что в областях специального вида (шапочках) на концах pлучей локализуются только потенциальные поля, а на концах s-лучей — только соленоидальные поля (теорема о разделении шапочек).
-
На основе ВС-метода разработана схема оптимального по времени нахождения скоростей быстрых и медленных волн в системе типа Ламе по динамическим граничным данным (оператору реакции). Она не использует специального разделения управлений на два класса — управлений, инициирующих только pволны или только s-волны соответственно. В силу этого, как мы полагаем и надеемся, предложенная схема может оказаться применимой в задаче для полной системы Ламе, где такое разделение заведомо невозможно. Её преимуществом является единообразный подход к восстановлению скоростей как быстрых, так и медленных волн: амплитудная формула, основанная на соотношениях геометрической оптики, позволяет находить изображения волн; из изображений извлекается метрический тензор соответствующей метрики в полугеодезических координатах; по нему восстанавливается соответствующая скорость в регулярной зоне.
-
Предложен новый способ нахождения быстрой скорости в системе типа Ламе по динамическим граничным данным, использующий локализацию волн на концах p и s-лучей. Процедура решения является адекватной версией ВС-метода, оптимальна по времени и также не использует специального разделения управлений. Её преимуществом является нагляд-
ность и шансы на численную реализацию; однако, пока таким способом удаётся восстановить в регулярной зоне только быструю скорость. Теоретическая и практическая значимость. Исследования, проведенные в настоящей работе, перспективны для численного решения обратной задачи для системы типа Ламе и могут послужить основой для решения обратной задачи для полной системы Ламе. Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинаре лаборатории динамики упругих сред СПбГУ (руководитель Б. М. Каштан), на семинаре по теории дифракции и распространению волн в ПОМИ им. В. А. Стеклова РАН (руководитель В. М. Бабич), на семинаре кафедры высшей математики и математической физики СПбГУ (руководитель Т. А. Суслина) и на двух международных конференциях: "Проблемы Гсокосмоса"(С.-Петербург, 20-24 сснт., 2010 г.), "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач" (Новосибирск, Академгородок, 8-13 окт., 2013 г.).
Личный вклад автора. Результаты работы, связанные с анализом достижимых множеств системы типа Ламе, получены автором совместно с М. И. Белишевым, все остальные — самостоятельно. Публикации. Основные результаты по теме диссертации представлены в двух публикациях [А1] и [А2] в рецензируемых научных изданиях, рекомендованных ВАК РФ для опубликования научных результатов диссертаций, в статье [A3] в научном журнале, индексируемом РИНЦ, а также в тезисах докладов [А4] и [А5] международных конференций. Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, разбитых на разделы, заключения и списка литературы. Полный объём диссертации составляет 86 страниц с 4 рисунками. Список литературы содержит 41 наименование.
Шапочки
Целью работы является решение динамической обратной задачи для системы типа Ламе. По оператору реакции R2T, заданному при фиксированном Т 0, и известным функциям на границе са\г, " fr (и — внешняя единичная нормаль к Г; а = р, s) требуется определить скорости волн: Ср в области Qp ис8в области Qj. Такая постановка адекватна свойству конечности области влияния данных. Задача решается при дополнительном предположении Т Treg, т.е. в регулярной зоне.
Методы исследований. Для решения обратной задачи для системы типа Ламе используются результаты теории управления, геометрии, теории операторов и асимптотических методов в теории распространения волн. Ключевым является ВС-метод (Boundary Control method; М.И. Белишев, 1986), основанный на связи обратных задач с теорией граничного управления. Отметим, что обратная задача для системы типа Ламе в оптимальной по времени постановке была впервые решена (Белишев, 2007) с использованием разделения управлений на два класса: управления из первого класса инициируют только р-волны, из второго — только s-волны [16].
Научная новизна. Основные результаты диссертации, которые выносятся на защиту, являются новыми и состоят в следующем: 1. В динамической системе типа Ламе проведен анализ структуры достижимых множеств и установлено, что в областях специального вида (шапочках) на концах pлучей локализуются только потенциальные поля, а на концах s-лучей — только соленоди-дальные поля.
2. На основе ВС-метода разработана схема оптимального по времени нахождения скоростей быстрых и медленных волн в системе типа Ламе по динамическим граничным данным (оператору реакции). Она не использует специального разделения управлений на два класса — управлений, инициирующих только pволны или только s-волны соответственно. В силу этого, как мы полагаем и надеемся, предложенная схема может оказаться применимой в задаче для полной системы Ламе, где такое разделение заведомо невозможно.
3. Предложен новый способ нахождения быстрой скорости в системе типа Ламе по динамическим граничным данным, использующий локализацию волн на концах p и s-лучей. Процедура решения является адекватной версией ВС-метода, оптимальна по времени и также не использует специального разделения управлений.
Достоверность результатов. Все полученные результаты обоснованы строгими математическими доказательствами.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Исследования, проведенные в настоящей работе, перспективны для численного решения обратной задачи для системы типа Ламе и могут послужить основой для решения обратной задачи для полной системы Ламе.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинаре лаборатории динамики упругих сред физического факультета СПбГУ (руководитель Б. М. Каштан), на семинаре по теории дифракции и распространению волн в ПОМП им. В. А. Стеклова РАН (руководитель В. М. Бабич), на семинаре кафедры высшей математики и математической физики физического факультета СПбГУ (руководитель Т. А. Суслина) и на двух международных конференциях: "Проблемы Геокосмоса"(С.-Петербург, 20-24 сент., 2010 г.), "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач" (Новосибирск, Академгородок, 8-13 окт., 2013 г.). Личный вклад автора. Результаты работы, относящиеся к анализу структуры достижимых множеств системы типа Ламе, получены автором совместно с М. И. Белишевым, все остальные — самостоятельно.
Публикации. Основные результаты по теме диссертации представлены в двух публикациях [17] и [18] в рецензируемых научных изданиях, рекомендованных ВАК РФ, и в статье [19] в научном журнале, входящим в базу данных РИНЦ: 1. М. И. Белишев, В. Г. Фоменко. О достижимых множествах динамической системы типа Ламе.// Проблемы математического анализа, 2013. Вып. 70, с. 57-70. Перевод: Journal of Mathematical Sciences, V. 191 (2013), No. 2, P. 162-177. 2. В. Г. Фоменко. Динамическая обратная задача для системы типа Ламе (ВС-метод).// Записки научных семинаров ПОМП, 2014, 426, 218-259. 3. В. Г. Фоменко. Оператор реакции системы Ламэ.// Сложные системы и процессы, 2010, 1(17), 13-18; а также в тезисах докладов [20] и [21] международных конференций. Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, разбитых на разделы, заключения и списка литературы. Полный объём диссертации составляет 86 страниц с 4 рисунками. Список литературы содержит 41 наименование.
В первой главе изложены вводные сведения, касающиеся геометрии и используемых функциональных пространств. В разделе 1.1 определены метрики, регулярные зоны, шапочки и области влияния. В разделе 1.2 введены необходимые пространства функций и векторных полей.
Вторая глава посвящена системе типа Ламе. В разделе 2.1 рассматривается прямая начально-краевая задача для полного уравнения Ламе, определены внутреннее, внешнее пространства и достижимые множества динамической системы Ламе. Обсуждается свойство приближённой граничной управляемости. В разделе 2.2 рассматривается система типа Ламе ат. Вводится оператор реакции RT. Поставлена обратная задача восстановления быстрой и медленной скоростей в соответствующих регулярных зонах по оператору реакции R . Описываются акустическая и максвелловская подсистемы Q!p и «J; обсуждаются их свойства. В разделе 2.3 проведён анализ структуры достижимых множеств системы ат и доказана теорема 2.3.1 о разделении шапочек.
В третьей главе приведено решение обратной задачи для системы типа Ламе. В разделе 3.1 определяются полугеодезические координаты с базой на границе и выкройка многообразия; вводятся пространства продольных и поперечных полей. Описывается параллельный перенос в быстрой метрике и оператор Пт, переводящий продольные поля в области в поля на выкройке, нормальные к границе. В разделе 3.2 рассматривается проектирование в пространстве потенциальных полей и вводится Л/ -преобразование, переводящее соленоидальные поля в продольные. Определяется оператор изображения Xу и устанавливается структура оператора (Vx div)(XT) (теорема 3.2.2). В разделе 3.3 рассматривается векторная акустическая подсистема сер. Изучаются разрывы в прямой задаче, двойственная система и её свойства. Вводится оператор реакции 1ZT системы ар" и показывается, что он определяется оператором реакции RT системы ат (формула 3.3.27). Установлена амплитудная формула, связывающая разрывы волн в двойственной системе с изображением на выкройке (лемма 3.3.2). В разделе 3.4 вводится оператор Ст, связывающий скалярные произведения внешнего и внутреннего пространств системы ар". В разделе 3.5 предыдущие рассмотрения подытожены в виде общей схемой решения обратной задачи (теорема 3.5.1).
В четвёртой главе излагается альтернативная схема восстановления быстрой скорости (в регулярной зоне) в системе типа Ламе. Используется локализация волн на концах р- и s-лучей и теорема 2.3.1 о разделении шапочек. Определяется понятие модели системы ат и модельные шапочки; выводится формула (4.0.2), устанавливающая время пробега быстрых волн от точки границы до точки области. В конце главы приведена схема восстановления быстрой скорости по оператору реакции R2T.
Система типа Ламе
Из (2.1.11) следует, что любое векторное поле у Є L2 p (П [сг];Е3 ), локализованное в подобласти, захваченной медленной модой, может быть аппроксимировано (с любой точностью) волной и?(,Т) при надлежащем выборе управления / Є .MT[S ]. В теории управления это свойство трактуется как приближенная локальная граничная управляемость системы аТ.
К финальному моменту t = Т волны, инициированные управлениями / Є J-"T[S ], заполняют "быструю" область П [сг], содержащую "медленную" подобласть П [сг]. Соотношение (2.1.11), грубо говоря, означает, что форма волны и?( ,Т) в П [сг] может быть любой. В то же время, это заведомо не так в подобласти П [a]\Q [a]. Какое-либо эффективное описание частей и?( ,Т) в П [сг]\П [сг] до сих пор не найдено. Именно это обстоятельство приводит к трудностям в обратной задаче (см. [22]) и вынуждает нас перейти к упрощенной модели системы (2.1.4)—(2.1.6) — системе типа Ламе. В этой модели требуемое описание будет получено и использовано. 2.2 Система типа Ламе
Все атрибуты динамической системы, — внешнее и внутреннее пространства, их подпространства и прочее, — у систем Ламе и типа Ламе одни и те же. Отметим лишь, что теперь внутреннее пространство есть И = L2 (П;К3). Характер управляемости систем одинаков: соотношение (2.1.11) остаётся в силе.
Оператор реакции адекватен информации, которой располагает внешний наблюдатель, проводящий измерения на границе и изучающий систему по её отклику на воздействие управлений.
Здля полной системы Ламе вид оператора реакции в подобной записи установлен в [19] Постановка динамической обратной задачи такова. По оператору реакции R , заданному при фиксированном Т О, требуется определить скорости волн: ср в области П HCSB области Qj.
Тот факт, что в постановке используется R2T (а не RT), адекватен свойству конечности области влияния данных [16, 30, 31]. С физической точки зрения, удвоение времени наблюдения имеет ту же причину, что и в эхолокации. Волна, инициированная в момент t = 0 на границе и зондирующая среду, продвигается вглубь П с конечной скоростью и за время Т проходит приграничный слой "толщины" Т. Она порождает отраженные волны, возвращающиеся (с той же скоростью) к границе и несущие информацию о среде. Волны, отраженные от неоднородностей, наиболее удаленных от границы, успеют вернуться к ней не раньше, чем через 2Т единиц времени. Поэтому, для получения информации о всем слое, временной интервал наблюдений на границе, в течение которого регистрируются отраженные волны, должен быть не меньше, чем [0,2Г].
В системе типа Ламе, в отличие от общего случая, естественным образом выделяются две подсистемы — акустическая и максвелловская. Рассмотрим скалярную начально-краевую задачу и = с2рА в QT (2.2.9) p\t=o = Pt\t=o = 0 вО (2.2.10) = g на ЕТ, (2.2.11) где Ср := \[н. При управлениях класса Лір (1.2.5) она имеет единственное классическое гладкое решение р = Lp9(x,t). Соответствие g \— Lp9, заданное на Лір, непрерывно из L2(ST) в С ([0,Т]; Ь2(П)), что позволяет определить (обобщённое) решение для g Є ТТ = L2(ST) и установить его существование и единственность [30]. Соответствующую динамическую систему назовем акустической и обозначим aj. Её внешнее и внутреннее пространства суть Т и Tip := L2(Q).
С системой «J свяжем оператор реакции R : J f — J-"J, Domi J = Лір. Для произвольного д Є Лч его действие определено формулой В силу (2.2.14) (при t = Т) и условия suppg( ,Т) С а, следующего из suppg С волна tp9(-,T) удовлетворяет всем условиям на q в правой части (2.2.17). Следовательно, левая часть вложена в правую. Поэтому, нарушение (2.2.17) означало бы существование Vg, ортогонального всем V(/?fl(-,T). Для него, в предположении достаточной гладкости q, имеем 0=(Vg,W(-,T))w= j Vq-V (-,T)dx = = J fy{.,T)dY- J Aq (.,T)dx Щ ЭЩ[а\ Щ[а\ = J Lg(.,T)dT- J Aq pP(-,T)dx. (2.2.18) Управления g Є Лч [Е ] с условием g(- ,Т) = 0 плотны в J [E ]. Соответствующие волны Lp9(- ,Т) плотны в %р[Г2р [ т]]. Используя такие g в (2.2.18), заключаем, что Aq = 0 в VE [а]. Возвращаясь в (2.2.18) к произвольным g Є Лч [Е ], имеем 0 = J g(-,T)dT, а, значит, т \а = 0. Итак, q удовлетворяет условиям СУП 0. Aq = 0 в ПІ\а], q\{dQT[a])V = 0, Отсюда легко следует q = 0. Случай негладкого q сводится к рассмотренному выше с помощью адекватной регуляризации: см. [22], Appendix А2.
Закончим рассмотрение системы a J ещё одним вспомогательным результатом. Расширим достижимое множество (2.2.15), перейдя к управлениям, локализаванным на Щ[(т] D Е (см. рисунок 1.2): где с, := д/Д ср, фд — касательная составляющая вектора ф (см. (1.2.1)), х — векторное произведение в К3. При управлениях h Є .Mf она имеет единственное классическое гладкое решение ф = фн(х, Ї). Заметим, что отображение h н фн, определенное на гладком классе .Mf, не является непрерывным из J-J в L2 ((0,Т); L2(f2; R3)) [32]. Это осложнение имеет технический характер, и в дальнейшем мы сможем обойтись гладкими управлениями и решениями.
Соответствующую динамическую систему назовем максвеллов ской и обозначим erf. Её внешнее пространство есть Т . Внутренним удобно считать считать пространство L2(fl;M.3), однако существенно следующее.
Представление полей
Здесь подготавливается один из шагов схемы решения обратной задачи. Пусть Т Treg. В этом случае, выкройка (3.1.1) подобласти QT есть От = Г х [О, Т]. Отображение і : QT — GT индуцирует на выкройке две метрики (два тензора) дик такие, что i l есть изометрия (От,д) на QT с евклидовой метрикой и изометрия (QT,h) на QT с быстрой метрикой 4. По (3.0.1) метрики дяк конформно-эквивалентны: h = с 2д. Предположим, что нам известен тензор h на От. Имеет место следующее утверждение, доказанное в [31]. Ввиду его важности, приведём доказательство.
Доказательство. Обозначим через Кд и Kh скалярные кривизны многоообразий (0Т,д) и (QT,h) соответственно; в силу евклидовости первого, Кд = 0. Вопрос о представлении метрики h в форме с 2д есть частный случай задачи Ямабе: найти множитель с2 такой, чтобы конформная деформация c2h = g обладала предписанной постоянной (в данном случае нулевой) скалярной кривизной. Решение этой задачи сводится к решению эллиптического уравнения Ал - Л V?, = 0 на 6Т (3.1.6) (А/,, — лапласиан в /г-метрике). Так как функции у/с и -j// = \ J J известны на Г, то, как данные Коши для уравнения (3.1.6), они однозначно определяют решение у/с. По скорости с = с(7, т) на выкройке От находится евклидова метрика: g = c2h. Тензор g определяет соответствие г-1: От — QT. Действительно, пусть х1,х2,х3 — декартовы координаты в QT; в силу их гармоничности, имеем Agxk = 0 на 6Т (3.1.7) (А9 — лапласиан в (/-метрике). Поскольку хк и - г известны на Г, то эллиптическое уравнение (3.1.7) определяет функции хк = хк(гу,т) на От единственным образом. Соответствие г 1 есть отображение (7, т) — X(J,T) = {ж1(7,т),ж2(7, т),х3( , т)}. 4 мы обоначаем пересаженные тензоры теми же буквами д и h Скорость в QT восстанавливается по формуле 1/2
В регулярной зоне эйконал является гладким; он определяет поле евклидовых нормалей к поверхностям Гг и(х) := ZT[Xl, хЄПт, 0 Т T reg . Заметим, что здесь и\-р есть внутрення нормаль к границе. Любое векторное поле у в QT может быть представлено в виде У = Ув + Уи, где yv := {у и)и, уд := у — yv — продольная и поперечная компоненты у. Пусть г = г{х) есть радиус-вектор точки х = х( у, т) в IR3; 71,72 т п.г.к. в трубке Вр (см. (3.1.2)), содержащей х; обозначим (а = 1,2): дг дг векторы Г\, г2 касательны, а вектор Го нормален к поверхности Гг. Поле у в трубке можно представить в виде У = Уага + уг0 = ув + Уг0 . Соглашение 3.1.2. Мы будем пользоваться матричным представлением,, отож дествляя у = у TQ + ув со столбцом I .Уе. Скажем, что поле v продольное, если v = уГо (т.е. VQ = 0). Напомним известные соотношения для евклидова метрического тензора gafi = га rp; goo = r0 r0 = с2 . (3.1.8) 3.1.4 Параллельный перенос Ниже будет использован параллельный перенос в метрике (3.0.1). Пусть Bj есть трубка, покрываемая системой п.г.к. 71 72 г и пусть v{x) = v(x)ro(x) — вектор в точке х Є J, ортогональный поверхности Тт(-Х\ Обозначим v := v(x); вектор есть результат параллельного переноса исходного вектора v(x) из точки х Є Гт(х в точку 7(ж) Є Г вдоль геодезической быстрой метрики; он, очевидно, ортогонален к Г. Быстрая и евклидова метрики конформно-эквивалентны; скалярное произведение в быстрой метрике инвариантно относительно параллельного переноса. Из сказанного следует, что для любых двух продольных векторов u,v выполнено равенство с2(х) с2{ ((х))
Пусть Т Treg и пусть v есть продольное поле в QT; сопоставим ему поле на выкройке От — функцию от ( У, г), значения которой суть векторы, ортогональные поверхности Г, по правилу (7rW)(7,r):=[W(x(7,r))]A, (7,т)єЄт Следующие свойства отображения 7Г следуют из определения: 1. пусть ір есть скалярная функция в QT; тем ж;е самым символом обозначим опе рацию умножения полей на ip; справедливо равенство ігір = іріг, (3.1.10) понимаемое с учётом соглашения 3.1.1; 2. обозначим CO(J,T) := с(7,0); из (3.1.9) следует, что отображение v - TV есть поточечная изометрия в смысле евклидовой нормы: -)(Ът) =\ь(х(Ът))\, (7,г)євт; (3.1.11) со / 3. пусть - есть ковариантная производная (в быстрой метрике); на гладких полях выполнено соотношение
Связывающий оператор системы ат
В этой главе предложена процедура нахождения быстрой скорости в системе типа Ламе (по оператору реакции), использующая теорему 2.3.1 о разделении шапочек1. Как и схема из предыдущей главы, она не использует разделения управлений на два класса (см. Введение) но, в отличие от неё, является более наглядной и, возможно, лучше подходит для численной реализации (в той части, в которой определяется тензор h на выкройке). Заметим, что пока таким способом восстанавливается только быстрая скорость ср в регулярной зоне Qp] вопрос о нахождении этим способом cs остаётся открытым.
С динамической системой типа Ламе ат (2.2.1)—(2.2.3) связан оператор управления WT, реализующий соответствие "вход - состояние" WT: ТТ — 1ЇТ, DomWT = Л4Т WTf = uf(-,T). (4.0.1) Он непрерывен, а при временах Т Т инъективен [15] KerWT = {0}. (4.0.2) м. [17] и [21] Напомним, что в разделе 2.3.1 были введены обозначения достижимых множеств системы типа Ламе UT:=U[ET] = {Uf(.,T)\feMT[ET] } ; сравнивая это определение с (4.0.1), видим, что UT = BjmWT = WTҐ1. 4.0.2 Связывающий оператор системы ат Оператор Ст: Ґ1 -Л Тт, DomCT = Мт Ст := (WT) WT. (4.0.3) называется связывающим оператором системы аТ. Это непрерывный неотрицательный в Тт оператор, такой, что
Таким образом, Ст связывает скалярные произведения внешнего и внутреннего пространств динамической системы. Поскольку ядра WT и Ст совпадают, в силу (4.0.2), имеем КегСт = {0}, Т Т , (4.0.5) т.е. при временах, меньших времени заполнения области П волнами, идущими от границы, связывающий оператор инъективен.
Ключевая роль связывающего оператора определяется тем, что он явно выражается через оператор реакции. Введём оператор нечётного продолжения ST: Тт — Т2Т, и оператор интегрирования J2T: Т2Т — Т2Т t (J2Tf)(-,t):= j f(-,s)ds, 0 t 2T. о Обозначим Мт := {/ Є Мт \ STf Є М2Т} ; отметим включение STMT С Dom R2T и равенство ((S TY f ) (-, ) = /(-, ) - /(-,2T - t), 0 t 2T. Лемма 4.0.1. На полях класса М. справедливо представление СТ = -(ST)j2TR2TST. (4.0.6) Доказательство аналогично представленному в [15]. Из (4.0.6) видно, что для нахождения Ст достаточно располагать значениями R2T лишь на STЛЛТ .
Будем говорить, что гильбертово пространство Ыт, оператор WT: Тт — Ыт и унитарный оператор UT: Ыт — U составляют модель ат := UT, WT, UT системы ат, если WT = UTWT . (4.0.7) Оператор WT назовем модельным оператором управления. Во внешнем пространстве Ґ1 рассмотрим семейство подпространств ТТ := {/ є J /(., t) = 0, 0 t Т - Є} , 0 І Т , (4.0.8) образованных запаздывающими управлениями м отвечает семейство множеств Z/ := WTTT = {uf(-,0 \feTT}, 0 Т , образованных состояниями системы ат, достижимыми к моменту = . Последнее равенство в определении следует из стационарности системы а . Стационарность приводит также к тому, что выполнено свойство управляемости (2.1.11) (с заменой Т надмножества Ъ := WTTTA С йт , 0 Т , играют в модели роль достижимых множеств. Оператор управления WT, как и всякий замкнутый оператор, допускает полярное разложение (см., например, [41]) WT = VT\WT\ , (4.0.9) в котором WT: Тт — Тт есть неотрицательный квадратный корень из оператора
Пусть точка а(7 ) — конец отрезка длины соответствующего луча, исходящего из 7 Є Г по нормали к Г. Следующий результат описывает поведение шапочек при є — 0 (см. [22], Lemma 1). Предложение 4.0.1. При временах Treg справедливо равенство Оно показывает, что при є — 0 шапочка и4 є[ 7є(7)] стягивается к точке жа(7 ) расположенной на конце соответствующего луча, исходящего из точки 7 п0 нормали к границе Г.
Обозначим аналог введённого в разделе 4.0.17 достижимого множества (подпространства) системы аТ состоящего из волн, инициированных запаздывающими управлениями (время задержки Т—). Как следствие стационарности системы типа Ламе, получаем аналог теоремы 2.3.1 о разделении шапочек где С[о; є[(т]], J[a4 e[ 7]] — подпространства потенциальных и соленоидальных полей, локализованных в соответствующих шапочках. Далее, определим достижимое подпространство в модели \ат\ ЙГМ7)] := (M?eM?")nW[S [a(7)]]- (4.0.19) Следствием унитарности оператора VT и соотношений (4.0.11), (4.0.12), (4.0.13) является равенство мГМт)]= (ОЧ,еМ7)Ь Из этого равенства, унитарности VT и (4.0.16) следует нГЫт)] n Wfh ] = {vTY (Ч Мт)] п й\і\)3. В результате мы приходим к следующему предложению. Предложение 4.0.2. ЙГМ7)]п М [У] Ф {0} = Ч Мт)] n й [У] {0}. 3достижимое множество иг[у ] определено формулой (4.0.14) 4.0.5 Время пробега быстрых волн от точки границы до точки области
Фиксируем положительное Т Treg; пусть 7, т — Две различные точки границы Г, xa{liC) (а = Pi s) — точка области П, расположенная на конце соответствующего луча, выходящего из 7 п0 нормали к границе (0 Т); П [7;] — метрическая окрестность4 точки 7 в соответствующей метрике. Выберем (малое) є 0. Обозначим время пробега р- или s- волн от точки У до соответствующей шапочки и4 є[ тє(7)] через rQ,(7/, ,[cr(7)]).