Введение к работе
Актуальность темы. Теория интегрируемых по Лнувилл» свстем привлекает к себе в настоящее время большое внимание. Квантовый метод обратпой задачи (рассеяния) (КМОЗ), развивающийся с 1978 года, позволяет систематически описывать и изучать классические г квантовые интегрируемые системы. В рамках КМОЗ найдены новые конечномерные интегрируемые системы и предъявлены их общие решения, построены частные решения многих вволгопионных нелинейных дифференциальных уравнений. До открытия метода обратной задачи исследования интегрируемых систем (волчки Лагранжа, Ковалевской, Горячеаа-Чаллыгнна, Каебша, система Неймана и т.д.) были основаны на использовании искусственных приемов, специфических для каждой задачи. В данной работе наш интерес направлен в осеовном на изучение квантовых аналогов известных классических интегрируемых систем. Алгебраические результаты для квантового случая справедливы и для классического аналога, поскольку, обе системы связаны квазиклассическим пределом.
Будем исходить из основных понятий КМОЗ [1]. Широкий класс квантовых интегрируемых систем кяассифгащруется представлениями (L-операторами) квадратичных аигебр двух типов [1,2]. В диссертации предъявлены и изучены некоторые новые представления этих алгебр в случае двумерного вспомогательного пространства и R -матрицы XXX и XX 2 типов.
Для каждого представления одной из важнейших зала' является нахождение спектра коммутативных е-дементов квад ратичных алгебр. Поскольку указанные коммутативные эле менты обычно интерпретируются как порождающие фушшиз интегралов движения квантовых систем, речь, тем самым, идеї о нахождении спектра гамильтониана и коммутирующих с еи\ ннгегралов движения - одной из важнейших: задач квантової механики.
Наиболее популярным способом решения данной задачі о спектре, которому ХМОЗ обязан большинством своих ус-не .ов, является алгебраический апзац Бете и различные егс модификации. Однако существует ряд представлении квадратичных алгебр, не обладающих младшим (старшим) векторов (локальным вакуумом), которые не могут быть решены посредством того анзаца. Все квантовые системы в диссертации за. исключением дискретной димерной системы с самовэаино-действием, не обладают локальным вакуумом. Альтернативо^ алгебраическому акзаду Бете является квантовое разделение переменных (функциональный анзац Бете), развитое Е.К.Скля-иянык. Идея отого подхода состоит в том, чтобы найти реализацию представления квадратичных алгебр в терминах операторов умножения и сдвига, действующих в пространстве симметрических функций. При этом требуется, чтобы производящая функция интегралов движения з этих переменны! имела специальный вид, который позволяет факториэовать собственную функцию интегралов движения и отобразить исходную многомерную спектральную задачу в систему одномерных спектральных задач с общим спектром.
Сама по себе факторизация собственной функции не означает решения исходной спектральной задачи, поскольку остается еще проблема численной процедуры для решения одномерных спектральных задач. В дпссертации приведен ряд
Примеров, в которых предложена процедура численного решения одномерных спектральных уравнений.
Целью работы является систематическое исследование вопроса с квантовом аналоге классического разделения переменных для интегрируемых систем и поиск оптимальных численных процедур решения спектральной задача для полного набора интегралов движения.
Научная новизна. В диссертации получены следую адее основные результаты:
-
Предъявлены новые L-операторы для следующих квас товых систем, являющихся аналогами классических систем с одной и двумя степенями свободы: системы связанные с осциллятором, сингулярным осциллятором, q-осцияляторои и системами типа Каигляна-Передомова.
-
Рассматривается квантовая периодическая двухчастичная цепочка Тоды, для которой удается полностью решить задачу о нахождении спектра, приведены результаты численного анализа.
-
Предъявлены представления квадратичных алгебр для специального случая системы Неймана и кваятового волчка Козаяегской-Горячева-Чаллыгияа. Для специального ссучая системы Неймана применена схема квантового разделения переменных.
-
Построены представления квадратичной алгебры, соя-' занной с уравнениями отражения, для цепочек Томи, отвечающих алгебрам Ли серии D* и для систем, обобщающих известные целочки Тоды. Предъявлен яовый L-оператор для частного случая волчка Манакова аа алгебре Ли о(4).
-
Рассмотрены квантовые релятивистские цепочки Тоды. Для цепочек, отасчаюпшх алгебрам Ли серил А», дроаадека процедура квантового разделения переменных, которая разян-вает подобную процедуру для не релятивистских целочел. Л ля
цепочек То да. связанных со всеми другими классическими се-ршши адгкбр Лн и их аффинными аналогами, предъявлены новые представления квадратичной алгебры, связанной с уравнениями отражения.
б. Предъявлена, схема построения патриц мозодромии, р&жаваюшая стандартную операцию коумножания. Эта схема позволяет наы н райках квантового метода обратной задачи рассмотреть координаты Лгоби для цепочек Тоды, установить тесную связь специального случая системы Неймана с гиростатом Гсрячева-ЧавлышЕа и волчком Коаадевской-Горя-чева-Чапдыгияа. Б рамках атой схемы построено новое представление для дискретной дииерпой системы с самовзаиио-де&ствкем, которое позволяет применить общую схему функционального аазаца Бете для нахождения спектра интегралов движения.
Практически цепкость. ИссдедоааЕныа класс интегрируемых систем позволяет расширить набор моделей, применяемых для описания классически и квантовых физических систем.
Апробация работы. Результаты диссертации излагались ил семинарах кафедры "вычислительной физики физического факультета СПбТУ, на семинаре лаборатории математических проблем физики ЇЇОМИ РАЕ, на четвертом и пятом Международных Работа совещаниях "Рассеяние, реакции, переходы в квакювых системах и методы симметрии" (1990 и 1991 гг., г. Обнинск, ФЭИ.)
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в шести работах.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на шесть параграфов, зак-дзочения и списка литературы. Общий объем диссертации-88 страниц. Библиография содержит 6G наименований, рисунок одне.