Асимптотики решений задач обтекания несжимаемой жидкостью поверхностей с малыми неровностями при больших числах Рейнольдса Гайдуков Роман Константинович

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Задача обтекания пластины с малыми периодическими неровностями 29

1. Постановка задачи 29

2. Существование, единственность и устойчивость решения уравнения типа Рэлея в области позади передней кромки 47

3. Исследование уравнения типа Рэлея в области передней кромки пластины 65

4. Алгоритм численного решения и результаты его использования 70

4.1. Алгоритм численного решения системы уравнений тонкого пограничного слоя 71

4.2. Алгоритм численного решения уравнения типа Рэлея 82

Глава 2. Задача обтекания малой локализованной неровности на пластине 88

1. Постановка задачи 88

2. Формальное асимптотическое решение 90

3. Алгоритм численного решения и результаты его использования 102

3.1. Алгоритм численного решения системы уравнений тонкого пограничного слоя 103

3.2. Результаты численного моделирования течения в тонком пограничном слое 106

Глава 3. Задачи о течении жидкости внутри трубы и двумерного канала с малыми периодическими неровностями на стенках .109

1. Постановка задачи о течении в трубе с малыми периодическими неровностями на стенке 109

2. Формальное асимптотическое решение задачи о течении в трубе 111

3. Алгоритм численного решения и результаты его использования 129

3.1. Течение в тонком пограничном слое 129

3.2. Течение в толстом пограничном слое 135

4. Задача о течении жидкости внутри двумерного канала с малыми периодическими неровностями на стенках 138

Заключение 142

Список литературы

• Существование, единственность и устойчивость решения уравнения типа Рэлея в области позади передней кромки
• Алгоритм численного решения и результаты его использования
• Алгоритм численного решения системы уравнений тонкого пограничного слоя
• Алгоритм численного решения и результаты его использования

Введение к работе

Актуальность темы исследования и степень ее разработанности

В диссертационной работе исследуются задачи обтекания несжимаемой вязкой жидкостью различных поверхностей при больших значениях числа Рейнольдса. Подобные задачи исследуются уже достаточно давно. В основе решения подобных задач лежит теория пограничного слоя, которая впервые была предложена Л. Прандтлем¹ более века назад. В рамках этой теории, в тонкой пристеночной области (которая и называется пограничным слоем) при большом значении числа Рейнольдса можно перейти от уравнений Навье-Стокса, которые содержат малый параметр при старших производных, к уравнениям, не содержащим малого параметра, которые носят название уравнений пограничного слоя Прандтля. Затем было выяснено, что структура пограничного слоя возникает и в других задачах течения жидкости².

Большим шагом вперед стало появление в работе К. Стюартсона и П. Г. Вилльямса³, и в работе В. Я. Нейланда⁴ концепции трехпалубной структуры пограничного слоя, в рамках которой стало возможным изучение явления отрыва пограничного слоя от обтекаемой поверхности, в случае которого представления Прандтля не верны, и, как показал С. Гольдштейн⁵, решение уравнений пограничного слоя Прандтля имеет неустранимую особенность.

В результате отрыва пограничного слоя от обтекаемой поверхности, в некоторой области около точки отрыва происходит вытеснение пограничного слоя во внешнее течение. В результате возникает задача о взаимодействии пограничного слоя с внешним потоком. В рамках трехпалубной структуры пограничный слой имеет три разномасштабные области: тонкий пристеночный пограничный слой («нижняя палуба»), область классического пограничного слоя Прандтля («средняя палуба») и область взаимодействия течения пограничного слоя с внешним потоком («верхняя палуба»). Взаимодействие устроено следующим образом. Возмущение вязкого течения в нижней палубе, проходя через среднюю палубу приводит к возмущению давления в верхней палубе, которое индуцирует градиент давления в нижней палубе. В пристеночной области (т.е. в нижней палубе) течение описывается уравнениями Прандтля, но с индуцированным давлением, т.е. градиент давления в них не является заранее заданной величиной, как в теории Прандтя, а определяется в процессе решения задачи во всей области.

Prandtl L. Uber Flussigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung // Verhandlungen des III Internationalen Mathematiker- Kongresses. — Heidelberg, 1904. — Pp. 484-491.

Белоносов В.С., Пухначев В.В. Уравнения пограничного слоя в задаче истечения осесимметричной струи // Записки научных семинаров ПОМИ. — 2008.— Т. 362. — C. 48-63.

³Stewartson K., Williams P.G. Self-Induced Separation // Proceedings of the Royal Society A. — 1969. — Vol. 312. — Pp. 181-206.

⁴Нейланд В.Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. — 1969. — Т. 4. — С. 53-57.

⁵Goldstein S. On Laminar Boundary-Layer Flow Near a Position of Separation // Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. — 1948. — Vol. 1. — Pp. 43-69.

Одной из первых работ, в которой была получена трехпалубная структура пограничного слоя в задаче обтекания поверхности с малыми неровностями, является работа Ф. Т. Смита⁶, в которой исследовалась задача обтекания локализованной неровности типа горба. Теория трехпалубного пограничного слоя нашла отражение во множестве работ Ф.Т. Смита, К. Стюартсона, В. Я. Нейланда, О. С. Рыжова, В. В. Сычева и других.

Помимо асимптотических решений, имеющих многопалубные структуры пограничных слоев, в литературе известны другие погранслойные структуры, например, теория асимптотических решений с внутренними погранслоями, развиваемая А.Б. Васильевой, В.Ф. Бутузовым, Н.Н. Нефедовым и др⁷' ⁸.

Однако, наряду с трехпалубной структурой возможна еще другая — двухпалубная. Впервые этот факт обнаружил Ж. Мосс⁹. Исследуя масштабы неровностей, приводящие к возникновению трехпалубной структуры, он обнаружил, что наряду с трехпалубной структурой пограничного слоя возможна и двухпалубная, но при других масштабах. Независимо от работы Ж. Мосса и раньше нее в работе В. Г. Данилова и М.В. Макаровой¹⁰ были получены уравнения, описывающие двухпалубную структуру. В этой работе исследовалась задача обтекания вязкой несжимаемой жидкостью пластины с малыми периодическими неровностями при больших значениях числа Рейнольдса. Отметим, что в этой задаче, помимо асимптотических методов, необходимо применение метода осреднения.

В двухпалубной структуре отсутствует «верхняя палуба», находящаяся над погранс-лоем Прандтля, характерная для трехпалубной структуры, и все взаимодействие происходит внутри классического пограничного слоя, не оказывая влияние на внешний поток. В «нижней палубе» — тонком пристеночном слое течение также, как и в трехпалубной структуре, описывается уравнениями пограничного слоя Прандтля с самоиндуцированным давлением. Однако, в «средней палубе», т.е. области классического пограничного слоя, возмущение течения, возникающее из-за неровностей на поверхности (точнее — из-за возмущения течения в «нижней палубе»), описывается уравнением типа Рэлея, которое мало исследовано в литературе, и остается отрытым вопрос о существовании его решения.

Отметим, что для задачи обтекания пластины с малыми периодическими неровностями, но с другим их масштабом, в работе В. Г. Данилова и К.Ю. Россинского¹¹ получена классическая трехпалубная структура.

Двухпалубная структура также была обнаружена в задаче о течении затопленной струи вдоль пластины с локализованной неровностью типа угла (а также горбика) в ра-

⁶Smith F.T. Laminar flow over a small hump on a flat plate // Journal of Fluid Mechanics. — 1973. — Vol. 57. — Pp. 803-824.

⁷Васильева А.Б., Бутузов В.Ф., Нефедов Н.Н. Сингулярно возмущенные задачи с пограничными и внутренними слоями. // Труды МИАН. — 2010. — Т. 268. — C. 268-283.

⁸Nefedov N.N., Nikulin E. I. Existence and stability of periodic contrast structures in the reaction-advection-diffusion problem //Russian Journal of Mathematical Physics. — 2015. — Vol. 22. — Pp. 215-226.

⁹Mauss J. Asymptotic Modelling for separating boundary layers // Lecture Notes in Physics. — 1995. — Vol. 442. — Pp. 239-254.

¹⁰Danilov V.G., Makarova M.V. Asymptotic and numerical analysis of the flow around a plate with small periodic irregularities // Russian Journal of Mathematical Physics. — 1994. — Vol. 2. — Pp. 49-56.

¹¹Данилов В.Г., Россинский К.Ю. Обтекание плоской пластины с периодическими неровностями малой амплитуды // Математическое Моделирование. — 2003. — Т. 15. — С. 91-109.

боте Ф.Т. Смита и П. В. Дака¹², и работе Р. Япалпарви¹³. Однако, уравнения, описывающие течение во втором пограничном слое, отличны от уравнений, полученных в работе В. Г. Данилова и М.В. Макаровой¹⁰. И это отличие существенно: уравнения из этих работ перестанут быть справедливыми, если вместо задачи о течении затопленной струи рассмотреть задачу о плоскопараллельном обтекании. В связи с этим возникает вопрос о существовании решения с двухпалубной структурой пограничного слоя в задаче обтекания пластины с локализованной неровностью.

Также интерес представляют задачи о течении в трубе или двумерном канале с малыми неровностями на стенках. Течение в каналах изучается в разных ситуациях разными авторами. Например, течение жидкости с нелинейной вязкостью исследовано в работах А.М. Блохина и др¹⁴' ¹⁵.

В работе Ф. Т. Смита¹⁶ изучалась задача о течении жидкости в двумерном канале с малыми локализованными неровностями на стенке, типа горбика или ямки. Однако, полученная им структура решения, отличная от классической трехпалубной структуры, и также, отличная от двухпалубной структуры, не применима для задачи о течении в трубе (или двумерном канале) с малыми периодическими неровностями на стенке.

Все это позволяет сделать предположение о том, что двухпалубная структура является неотъемлемым свойством модели Навье-Стокса, как и хорошо известная трехпалубная структура.

Цели и задачи диссертации

Целью данной диссертационной работы является исследование условий существования двухпалубной структуры пограничного слоя в задачах обтекания несжимаемой вязкой жидкостью поверхностей с малыми неровностями при больших значениях числа Рейнольдса.

Задачи диссертационного исследования следующие.

1. Определение геометрических параметров неровностей на поверхности, приводящих к двухпалубной структуре пограничного слоя в задачах о течении в трубах и каналах.

2. Построение формального асимптотического решения, имеющего двухпалубную структуру, для задачи обтекания пластины с малой локализованной неровностью и для задач о течении жидкости в аксиально-симметричной трубе и двумерном канале с малыми периодическими неровностями на стенке при больших числах Рейнольдса.

Smith F.T., Duck P.W. Separation of Jets or Thermal Boundary Layers From a Wall // Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. — 1977. — Vol. XXX. — Pp. 143-156.

Yapalparvi R. Double-deck structure revisited // European Journal of Mechanics - B/Fluids. — 2012. — Vol. 31. — Pp. 53-70.

Blokhin A.M., Yegitov A.V., Tkachev D.L. Linear instability of solutions in a mathematical model describing polymer flows in an infinite channel // Computational Mathematics and Mathematical Physics. — 2015. — Vol. 55. — Pp.848-873.

¹⁵Блохин А.М., Ткачев Д.Л. Линейная асимптотическая неустойчивость стационарного течения полимерной среды в плоском канале в случае периодических возмущений // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2014. — Т. 17. — С. 13-25.

¹⁶Smith F.T. Flow through constricted or dilated pipes and channels: part 1 // Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. — 1976. — Vol. XXIX. — Pp. 343-364.

3. Определение условий существования стационарного решения и исследование устойчивости этого решения для уравнения типа Рэлея, возникающего в области классического пограничного слоя Прандтля (на «верхней палубе» пограничного слоя c двухпалубной структурой).

Отметим, что целью диссертационного исследования является построение формальных асимптотических решений рассматриваемых задач, а не обоснование асимптотики. Задача обоснования асимптотики эквивалентна (или даже сложнее) доказательству существования и гладкости решения уравнений Навье-Стокса в неограниченной области, входящей в список нерешенных «Задач тысячелетия».

Также отметим, что при асимптотическом анализе задача с малым параметром всегда сводится к какой-то серии задач, не содержащих малого параметра, и задачи из этой серии могут либо иметь явное аналитическое решение, либо могут допускать только комбинацию аналитического и численного исследований. В.П. Маслов неоднократно подчеркивал, что второй класс задач не менее важен, чем первый, и именно с такой ситуацией мы имеем дело в этой работе.

Научная новизна

В диссертационной работе представлены новые методы исследования математической задачи, описывающей обтекание несжимаемой вязкой жидкостью поверхностей с малыми неровностями при больших числах Рейнольдса.

Положения, выносимые на защиту

3. Определены характерные масштабы (степени малого параметра, входящие в решение), приводящие к двухпалубной структуре, и получено формальное асимптотическое решение задачи о течении жидкости в аксиально-симметричной трубе и двумерном канале с малыми периодическими неровностями на стенке, имеющее двухпалубную структуру пограничного слоя.

4. Доказано существование стационарного решения и его устойчивость для уравнения типа Рэлея, описывающего осцилляции течения на «верхней палубе» пограничного слоя c двухпалубной структурой (т.е. в области классического пограничного слоя Прандтля) для задачи обтекания пластины с малыми периодическими неровностями.

5. Получено формальное асимптотическое решение задачи обтекания жидкостью пластины с малой локализованной (уединенной) неровностью типа горбика, ступеньки или излома в виде угла, имеющее двухпалубную структуру пограничного слоя.

6. Построен алгоритм для численного решения уравнений на функции, описывающие течение жидкости в пограничном слое с двухпалубной структурой, основанный на разностных схемах, удовлетворяющих принципу максимума, и приведены результаты его применения.

Заметим, что в построенных формальных асимптотиках значимым результатом также являются найденные нецелые степени малого параметра, по которому строится асимптотическое разложение, что является нетривиальным моментом, т.к. малый параметр входит в уравнения Навье-Стокса в целой степени, и асимптотика решения обычно строится только по целым или полуцелым его степеням.

Методология и методы диссертационного исследования

Научное исследование, результаты которого изложены в данной диссертационной работе, проводится при помощи математических методов. В частности, используются следующие математические методы: методы функционального анализа и теории линейных дифференциальных операторов; асимптотические методы; метод осреднения; теория разностных схем.

Теоретическая и практическая значимость работы

Работа имеет теоретический характер. Полученные в диссертационной работе теоретические результаты вносят вклад в математическую теорию пограничного слоя. Показано, что исследованная в данной работе двухпалубная структура пограничного слоя является также неотъемлемым свойством модели Навье-Стокса, равно как и общеизвестная трехпалубная структура. Полученные в диссертации теоретические результаты можно применять для дальнейших исследований течений вдоль поверхностей с малыми шероховатостями.

Степень достоверности результатов диссертации

Основные результаты диссертации оформлены в виде математических утверждений и строго доказаны.

Личный вклад автора

Постановка задачи принадлежит научному руководителю В. Г. Данилову. Все представленные результаты получены автором самостоятельно.

Апробация результатов диссертационного исследования

Результаты диссертационной работы были представлены автором лично на следующих российских и международных научных конференциях и семинарах:

7. Days on Diffraction 2013 (DD 2013) (Санкт-Петербург, ПОМИ РАН, 2013).

8. VII Отраслевая научно-техническая конференция «Технологии информационного общества» (Москва, МТУСИ, 2013).

9. Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов НИУ ВШЭ (Москва, МИЭМ НИУ ВШЭ, 2014).

10. Международная научная конференция «Современные проблемы вычислительной математики и математической физики», посвященная памяти академика А.А.Самарского в связи с 95-летием со дня его рождения (Москва, МГУ, 2014).

5. The Seventh International Conference on Differential and Functional Differential Equations (DFDE 2014) (Москва, РУДН, 2014).

6. 5-ая международная научная школа молодых ученых «Волны и вихри в сложных средах» (Москва, ИПМех РАН, 2014).

7. Семинар «Методы суперкомпьютерного моделирования» (Таруса, «Интеркосмос» ИКИ РАН, 2015).

8. Научно-исследовательский семинар «Асимптотические методы в математической физике» (Москва, ИПМех РАН, 2015).

9. Общегородской семинар им. А.М. Ильина по дифференциальным уравнениям математической физики (Уфа, Институт математики с ВЦ УО РАН, 2016).

10. Семинар кафедры математики физического факультета МГУ (Москва, МГУ, 2016).

Публикации

Основные результаты диссертации были опубликованы совместно с научным руководителем в 4 работах, 3 из которых опубликованы в журналах, входящих в утвержденный ВАК перечень ведущих рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы результаты кандидатских диссертаций. Список публикаций приведен в конце настоящего автореферата. В указанных публикациях содержатся все основные результаты диссертации.

Структура и объем диссертации

Существование, единственность и устойчивость решения уравнения типа Рэлея в области позади передней кромки

Вопросы существования, единственности и устойчивости решений системы уравнений пограничного слоя Прандтля были рассмотрены в работах Г. Вейля [94], Н.С. Пискунова [31], О.А. Олейник [26; 27] и др. Позже все полученные результаты были обобщены в монографии О.А. Олейник и В.Н. Самохина [28], в которой наряду с вопросами существования, единственности и устойчивости решений также представлены их качественные свойства и асимптотическое поведение.

Отметим, что пограничный слой возникает не только в задачах обтекания поверхности, но и в других задачах течения жидкости, например, в задаче о стационарном истечении осесимметричной струи вязкой несжимаемой жидкости из трубы круглого сечения в свободное пространство, см. работу В.В. Пухначева и В.С. Белоносова [33].

После появления теории пограничного слоя было предпринято много попыток решения различных задач обтекания, однако не все они увенчались успехом. Трудность заключалось в том, что при неблагоприятном градиенте давления величина трения жидкости о стенку уменьшалась и становилась равной нулю, и в этой точке нулевого трения xs решение имеет особенность. С. Гольдштейн показал (см. [56]), что, если в точке xs производная скорости на стенке равна нулю, то решение уравнений пограничного слоя Прандтля имеет неустранимую особенность и не может быть непрерывно продолжено на область ниже по потоку от точки xs. Л.Д. Ландау установил, что при приближении к точке нулевого трения нормальная составляющая вектора скорости (т.е. компонента v в наших обозначениях) неограниченно возрастает, а производная тангенциальной составляющей вектора скорости (т.е. компоненты и в наших обозначениях) ди/ду на поверхности обтекаемого тела в точке xs равна нулю, см. [19]. В точке нулевого трения наблюдается отрыв ламинарного пограничного слоя от поверхности обтекаемой пластины, а за ней образуется турбулентная (вихревая) область возвратного течения, см. рис. 2 и [19].

Однако, при отрыве пограничного слоя происходит его вытеснение в область внешнего потока, и возникает задача о взаимодействии пограничного слоя с внешним потоком. Эта задача исследуется в работах Дж. Лайтхилла, см. [59; 60]. Он изучал эффекты, оказывающие влияние на внешнее течение и эффект отрыва пограничного слоя в задачах обтекания тел сверхзвуковым потоком. Задача заключается в исследовании влияния малых возмущений на пограничный слой, когда внешний поток является сверхзвуковым. Он рассматривал взаимодействие (с математической точки зрения) с помощью малых возмущений плоскопараллельного потока и линеаризации уравнений Навье-Стокса вокруг него. В результате своих исследований он пришел к гипотезе о том, что область, в которой происходит взаимодействие, разделяется на 3 части: область невязкого течения, лежащая вне пограничного слоя, в которой возмущения описываются линеаризованными уравнения невязкого сверхзвукового течения; область соответствующая классическому пограничному слою; и область около поверхности обтекаемого тела, в которой проявляются эффекты вязкости. Важным результатом в работе [60] является найденный там масштаб ширины области в которой происходит взаимодействие: она порядка 0(е? А).

Работа Дж. Лайтхилла [60] была основой для появившейся позже в работе К. Стюартсона и П.Г. Вилльямса [91] и работе В.Я. Ней-ланда [25] трехпалубной теории пограничного слоя. В работе [91] рассмотрена задача обтекания полубесконечной пластины сверхзвуковым потоком и, используя метод сращивания асимптотик (см. [6]), построено асимптотическое решение уравнений Навье-Стокса (1) при Re В этих работах обнаружено, что пограничный слой имеет трехпалубную структуру, состоящую из: «нижней палубы» — области пристеночного течения, «средней палубы» — области классического пограничного слоя и «верхней палубы» — области вытеснения, находящейся во внешнем потоке, см. рис. 3. В рамках этой теории результаты Лайтхилла [60] являются ее линеаризацией. Взаимодействие устроено следующим образом. Возмущение вязкого течения в нижней палубе, проходя через среднюю палубу приводит к возмущению давления в верхней палубе, которое индуцирует градиент давления в нижней палубе. В пристеночной области (т.е. в нижней палубе) течение описывается уравнениями Прандтля, но с индуцированным давлением, т.е. градиент давления в них не является заранее заданной величиной, как в теории Л. Прандтя [72], а определяется в процессе решения задачи во всей области. В средней палубе компоненты скорости потока выражаются через скорость Блазиуса (5). Более подробно это будет описано ниже. Теория трехпалубного пограничного слоя нашла отражение во множестве работ Ф.Т. Смита [76; 79-84; 87; 88], К. Стюартсона [89-91], О.С. Рыжова [37-41; 74], А.И. Рубана [34; 35], В.В. Сычева [2; 36], В.Я. Ней-ланда [5; 23—25] и многих других [66-69].

Одной из первых работ по изучению задач обтекания тел с малыми неровностями на поверхности является работа Ф.Т. Смита [79]. Он рассматривал задачу обтекания полубесконечной плоской пластины с локализованной неровностью на ней — малым горбиком цилиндрической формы, находящимся на некотором расстоянии L от ее края, см. рис. 3, имеющий следующий вид (в обозначениях, которые используются в диссертационной работе, є = Re ):

Алгоритм численного решения и результаты его использования

Таким образом, для моделирования течения в пристеночной области нам необходимо решить две задачи. Во-первых, мы должны построить решение краевой задачи (1.11), (1.12) при конечных t. Во-вторых, мы должны построить решение краевой задачи (1.13), (1.14) для осцилляций при t = e l t. Это является главной задачей, потому что присутствующие производные d/dt c малым параметром в уравнениях Прандтля (1.15), (1.17) фактически означают, что надо рассматривать стационарный поток.

Перейдем к рассмотрению уравнения типа Рэлея (1.13), (1.14). 2. Существование, единственность и устойчивость решения уравнения типа Рэлея в области позади передней кромки

Поскольку течение Блазиуса является плоскопараллельным в области, где мы решаем уравнение (1.13) (в переменных и т), мы можем попытаться применить теорему Рэлея [1; 20; 44], считая, что плоскопараллельный поток идеальной жидкости без точек изгиба является устойчивым. Следовательно, можно надеяться, что решение уравнения (1.13) ограничено. Одним из основных результатов данной главы является следующая теорема.

Очевидно (см. [1]), что уравнение (1.52) может быть записано как безразмерная система Гамильтона. По аналогии с п-размерным (п оо) случаем, стационарное решение уравнения (1.52) вероятно, не устойчиво, но может быть устойчиво в смысле орбитальной устойчивость (см. работу [71]). На самом деле, оценка (1.53) означает, что стационарное решение (1.52) устойчиво в этом смысле.

Хорошо известно, что из априорной оценки (1.53) следует (в силу линейности) существование и единственность решения уравнения типа Рэлея (1.52) при х М. Поскольку граничное условие Й1 п (см. (1.14)) для (1.52) яв л \т=\) ляется пределом решения (1.19) и зависит от t (но решение (1.52) v зависит и от t\ = e l :it: v = v (ti,t,x,r,{;)), то стационарное решение (1.52) vst зависит от t параметрически: vst = vst(t,x,,r).

Как будет показано в п. 4.1 из 4 данной главы (см. также [49; 50]), для течения в нижней палубе (тонком пристеночном слое) существует несколько характерных типов, а именно существует критическое значение амплитуды неровности А , такое, что если амплитуда неровности А = max /І Л , то течение ламинарное, а если А Л , то течение вихревое.

Таким образом, существует правая часть в оценке (1.53), которая определяется соотношением между критической амплитудой неровности А и /І. Как было упомянуто выше, для max /І А правая сторона становится достаточно малой (т.е. возмущение стационарного решения течения в тонком пограничном слое убывает за малое время). Для max /І А течение в тонком пограничном слое становится периодичным во времени (это явление было изучено в [49; 50], см. также п. 4.1 из 4 данной главы). В этом случае вихри появляются и исчезают, и правая часть оценки (1.53) не является малой (т.е. вихри в тонком пограничном слое у поверхности пластины поддерживают осцилляции течения в классическом пограничном слое). Это справедливо в предположении, что /І = 0 для х М. В противном случае (когда /І ф 0 для х Є [0, М]), вихри могут быть неограничены при є — 0 даже если dvst/dt = 0. Таким образом, в окрестности точки М, существует пограничный слой, который согласуется с классическим течением, полученным в задаче о течении вдоль плоской пластины (см. 2 Введения, стр. 13) и двухпалубной структурой в полуплоскости над неровностями (см. Теорему 1.1).

Мы будем говорить, что уравнение (1.52) называется нестационарным уравнением типа Рэлея для осцилляций в классическом пограничном слое, поскольку соответствующее стационарное уравнение в терминах функций тока эквивалентно уравнению Рэлея для равномерного двумерного течения.

Мы рассмотрим самосопряженное продолжение оператора Lk на пространство L2Q0, оо)) для функций с нулевыми граничными условиями при т = 0ит4 оо. Для этого, нам нужно преобразовать задачу (1.56) с ненулевыми граничными условиями в задачу с нулевыми граничными условиями и правой частью.

Поскольку оператор Lk самосопряженный, последнее соотношение верно. Следовательно, задача (1.60) имеет решение, но в последнем случае функции Wk определены с точностью до функций с ядром Lk. Подставляя явный вид функции Щ, можно легко получить,

Заметим, что правая сторона (1.66) отлична от нуля, несмотря на то, что Vst приходит из стационарного решения уравнения (1.52). Причина этого состоит в том, что граничное условие v4A п при-ходит из тонкого пограничного слоя и оно зависит от времени, но в масштабе, отличном от (1.66). А именно, здесь мы имеем следующие два масштаба времени: одно t в тонком пограничном слое и второе t\ = e l :it в (1.66). Соответственно, стационарное решение vst зависит от времени t (через граничное условие), и не зависит от времени t\. Отметим, что мы не используем различные обозначения для этих различных времен, но следует иметь ввиду, что правая часть (1.66) имеет порядок е1 , а первое слагаемое в левой части (1.66) имеет порядок 1.

Алгоритм численного решения системы уравнений тонкого пограничного слоя

Для решения первой проблемы можно сделать замену координат о" = в /(1 -\-в ), переводящую полуось [0, оо) в луч [0,1). Однако, эту замену можно не делать, т.к. достаточно хорошая точность вычислений может быть получена простым путем ограничения области в которой ищется решение, например можно взять в Є [0,100], см. [73].

Применим технику осреднения. Считая граничное условие Н неизвестным, мы выберем функцию Н так, чтобы lim Н = 0.

Отметим, что для задачи (1.116)–(1.121) в [50] была построена неявная схема, но на практике удобнее использовать явные схемы (см. [42]), ввиду легкости ее распараллеливания (см. [14]) для вычислений на современных многопроцессорных ЭВМ (а также для вычислений с использованием графических ускорителей, например, технологии CUDA, см. [29; 30]). Построим для задачи (1.116)–(1.121) явную разностную схему. Введем сетку ио с шагами h he , \ц на области Q = [0,27г] х [0, в т&х] х [0,Ттах], в которой мы будем искать решение:

Отметим, что результаты моделирования, полученные по построенной явной разностной схеме, совпадают с результатами, приведенными в работе [50]. В силу этого, не претендуя на оригинальность, приведем их здесь. Заметим, что построенная разностная схема будет использоваться при моделировании задачи о течении в трубе с малыми периодическими неровностями на стенке, которая будет исследоваться в Главе 3. и зафиксируем х = 1 (х — параметр — расстояние от кромки пластины). Из результатов [50] видно, что зависимость течения от амплитуды неровностей имеет несколько характерных типов. При А 1 течение ламинарное (см. рис. 1.7, 1.8), а при А = 1.8 в течении возникает периодический вихревой процесс — на левой стенке «ямки» возникает вихрь (см. рис. 1.10-1.13), который двигаясь по потоку разрушается у правой стенки «ямки», и затем на левой стенке воз 77 никает новый вихрь и т.д. Из этого следует, что существует некоторая критическая амплитуда А , такая, что при А А течение ламинарное, а при А А течение становится вихревым.

Полученные нами результаты подтверждают результаты из [50] и уточняют их: существуют две критические амплитуды А\ и А\ А\, такие, что при А А\ течение ламинарное и с некоторого момента времени — стационарное (например, при А = 0.8 см. рис. 1.7-1.9), при А\ А А\ в течении образуется вихри, но начиная с некоторого момента времени течение становится ламинарным и стационарным (например, при А = 1.8 см. рис. 1.10-1.14), а при А А% в потоке также наблюдается периодический процесс образования вихрей, но начиная с некоторого (большого) времени течение становится стационарным, но не ламинарным, т.е. в «ямке» возникает стационарный вихрь (например, при А = 2.3 см. рис. 1.15).

Отметим, что использование явной схемы вкупе с использованием многопроцессорных ЭВМ позволяет моделировать задачу на промежутках времени, существенно больших, чем при использовании неявной схемы, даже не смотря на необходимость использования очень маленьких шагов по времени. Заметим, что на приведенных рисунках 1.10-1.15 отчетливо видно явление отрыва пограничного слоя и его повторного прилипания к обтекаемой поверхности.

Алгоритм численного решения и результаты его использования

Функции, описывающие течение в тонком погранслое (I). Подставляя и, v и р из разложений (3.5) в систему уравнений (3.2), учитывая результаты, полученные в пунктах 1 и 2 настоящего доказательства, а также применяя Леммы 3.1 и 3.2, собирая коэффициенты при различных степенях малого параметра є, и приравнивая их к нулю, мы получаем последовательность систем уравнений на функции, описывающие течение в тонком пограничном слое («нижней палубе»).

Решение системы уравнений тонкого пограничного слоя (3.9) в пристеночной области могут быть получены как решение соответствующей нестационарной задачи на больших временах (т.е. методом установления). Если это решение стабилизируется на больших временах (т.е. при большом числе итераций), это означает что система уравнений (3.9) имеет стационарное решение и мы его нашли. Однако, формально, этот метод означает, что мы рассматриваем нестационарную задачу (3.2). Если решение задачи (3.9) не выходит на стационар на больших временах, то необходимо изначально рассматривать нестационарную задачу, и выбирать масштаб по времени так, чтобы слагаемое du\jdt в системе уравнений тонкого пограничного слоя (3.9) имело порядок 1. Легко показать, что такая задача имеет следующий вид:

Мы будем численно решать краевую задачу на функции, описывающие течение в тонком пограничном слое (3.9), (3.10) методом установления, т.е. фактически мы решаем задачу (3.60). Для упрощения численного счета мы будем решать задачу (3.9), (3.10) в области с выровненной границей (см. Замечание 3.1 к Теореме 3.1), т.е. в переменных (, #), где в = в — /І. В этих переменных задача (3.60) имеет следующий вид (см. (3.16), (3.17)): где функции и = и\ L л и v = г 2 L_a_ , а мо(р) профиль течения Пуазейля, см. (3.6). Однако, результаты численного счета мы будем приводить на иллюстрациях, в «старых координатах» (,#), т.е. в координатах, в которых граница (стенка трубы) криволинейная.

Заменой в = —в, [і = —/І система уравнений (3.61), (3.62) приводится к виду, аналогичному (с точностью до коэффициентов) уравнениям (1.19), (1.20) для задачи обтекания пластины с периодическими неровностями, рассмотренной в Главе 1. Алгоритм их численного решения приведен в п. 4.1 из 4 Главы 1, и мы не будем здесь его повторять.

Теперь мы представим основные результаты численного решения задачи (3.61), (3.62). Изменяя величину амплитуды неровности Д мы наблюдаем несколько характерных типов поведения решения. Более того, существует несколько критических значений амплитуды А, в которых происходит изменение поведения решения.

Сначала зафиксируем радиус трубы: пусть RQ = 1. При амплитуде А = 0.5 мы наблюдаем ламинарное течение в пограничном слое (см. рис. 3.4(а)), и, начиная с некоторого момента времени — стационарное (см. рис. 3.4 (б)). При амплитуде А = 1 мы наблюдаем образование вихрей в потоке, но они разрушаются после некоторого (малого) промежутка времени. Динамика образования вихрей показана на рис. 3.6. Однако, начиная с некоторого момента времени, течение становится ламинарным и стационарным, см. 3.6 (д,е).

При дальнейшем увеличении амплитуды (А 1) мы также наблюдаем вихревое течение. Однако, после образования вихря на левой стенке «ямки» и его перемещения по потоку, на левой стенке снова образуется вихрь, и так далее, см. рис. 3.7 (а) и рис. 3.9. Этот процесс продолжается некоторое время, спустя которое течение становится стационарным, но не ламинарным как в случае А = 1 — в «ямке» мы наблюдаем стационарный вихрь, см. рис. 3.7 (б) и рис. 3.8. Отметим, что мы не исследовали поведение поведение решения на больших временах, т.е. не известно останется ли этот стационарный вихрь или произойдет его разрушение.

Таким образом, существует две критические амплитуды А и А . При амплитуде А А течение ламинарное и с некоторого момента времени — стационарное, при А А А в начале наблюдается образование вихрей, с некоторого момента времени оно становится ламинарным и стационарным, а при А А течение имеет вихревой характер.

Также мы исследовали влияние радиуса трубы на характер течения, в результате которого мы пришли к следующему выводу: критические амплитуды A и A уменьшаются при увеличении радиуса трубы R0. Например, при R0 = 0.3 и A = 1.1 наблюдается ламинарное течение (см. рис. 3.5), а при R0 = 1 и A = 1.1, как уже написано выше, в потоке наблюдается формирование вихрей (см. рис. 3.6).

Также отметим, что давление (точнее его компонента p01) тоже оказывает точно такое же влияние на характер течения. А именно, при фиксированном радиусе R0 и амплитуде A, критические амплитуды неровности уменьшаются с увеличением p01.