Содержание к диссертации
Введение
1 Асимптотика решений волнового уравнения 21
1.1 Краткое содержание главы 21
1.2 Главный член асимптотики
1.2.1 Доказательство оценок (1.16) и (1.17) 27
1.2.2 Главный член асимптотики решения задачи (1.4) 30
1.2.3 Главный член асимптотики решения задачи (1.1) 33
1.3 Полное асимптотическое разложение 36
1.3.1 Формальный асимптотический ряд для решения задачи (1.4) 36
1.3.2 Асимптотика решений vn(x,r), гип( ,т) при \х\ — 0 и — оо 38
1.3.3 Оценка остатка в асимптотическом разложении решения задачи (1.4) с N
1.3.4 Асимптотическое разложение решения задачи (1.1) 47
1.4 Волновое уравнение в области со сглаженной конической точкой 48
1.4.1 Асимптотика решения задачи (1.119) при є 0 49
1.4.2 Асимптотика решения задачи (1.118) при є 0 53
2 Асимптотика решений стационарной системы Максвелла 55
2.1 Краткое содержание главы 55
2.2 Операторный пучок 60
2.3 Первая предельная задача 62
2.4 Вторая предельная задача 65
2.5 Главный член асимптотики
2.5.1 Главный член асимптотики решения задачи (2.7),(2.8) 70
2.5.2 Оценка остатка 72
2.5.3 Связь решений исходной и расширенной систем Максвелла 77
2.6 Полное асимптотическое разложение 78
2.6.1 Асимптотический ряд для решения задачи (2.7),(2.8) 78
2.6.2 Оценка остатка 82
2.6.3 Возвращение к исходной системе Максвелла 82
3 Асимптотика решений нестационарной системы Максвелла 85
3.1 Краткое содержание главы 85
3.2 Главный член асимптотики
3.2.1 План вывода главного члена асимптотики 90
3.2.2 Доказательство теоремы 3.2.1 92
3.2.3 Возвращение к исходной задаче (3.1),(3.2) при выполнении условий совместности 94
3.3 Полное асимптотическое разложение 95
3.3.1 Равномерные по параметру оценки коэффициентов и остатков в разложениях (2.89), (2.90). 96
3.3.2 Равномерная по параметру оценка остатка uN+1(,,) разложения (2.101). 101
3.3.3 Возвращение к нерасширенной системе Максвелла в разложении (2.101), (2.102) при выполнении условий совместности 101
3.3.4 Асимптотическое разложения решений задач (3.3), (3.4) и (3.1), (3.2) 103
4 Обобщения 105
4.1 Стационарная система уравнений Максвелла с импедансными граничными усло
виями 105
4.1.1 Главный член асимптотики решения задачи (4.3), (4.4) 107
4.1.2 Оценка остатка 110
4.1.3 Асимптотический ряд для решения задачи (4.3), (4.4) 111
4.1.4 Возвращение к нерасширенной системе Максвелла
4.2 Нестационарная система уравнений Максвелла с импедансными граничными условиями 113
4.3 Случай области с несколькими отверстиями 115
Заключение 119
Список литературы
- Полное асимптотическое разложение
- Главный член асимптотики решения задачи (2.7),(2.8)
- План вывода главного члена асимптотики
- Возвращение к нерасширенной системе Максвелла
Введение к работе
Актуальность темы. Многочисленные приложения механики сплошной сре-дыиэлектродинамики приводяткисследованию краевых задач для дифференциальных уравненийсчастными производнымивсингулярно возмущенных областях (СВО). Примером СВО служит область сгладкой границей, которая зависит отмало-го параметра и совпадает в пределе при 0 с областью, имеющей особенности на границе (выколотые точки, углы, ребра разных размерностей и т. п.). Эллиптические задачивСВО хорошо изучены, для их исследования разработаны метод согласованных асимптотических разложений (см. [–]) и метод составных асимптотических разложений, описанный в монографии []. Эти методы опираются на результаты теории эллиптических задач в предельных областях, не зависящих от , то есть в областях с особенностями на границе. Такая теория изложена в монографиях [–].
Можно ожидать, что метод составных разложений применим и для исследования нестационарных (гиперболических) задач в СВО. Как и в стационарном случае, такое исследование связаносизучением краевых задачвпредельных областях с особенностями на границе, однако теперь среди них появляются нестационарные. Сравнительно недавно в работах [–] для таких нестационарных задач был получен ряд результатов, которые могут быть использованы для исследования динамических задач в СВО. Таким образом, построение теории нестационарных задачвСВО стало актуальной проблемой.
Диссертация состоит из двух частей. В первой части рассматривается задача Дирихле для волнового уравнения в ограниченной области с малой (диаметра ) полостью; выводятся и обосновываются полные асимптотические разложения решений. Рассмотренная ситуация представляет собой простейший содержательный пример гиперболической задачи, где выясняются некоторые ключевые приемы исследования нестационарных задач в СВО. Результаты обобщены на случай СВО, вырождающейся при 0 в область с конической точкой на границе. Во второй части исследуется нестационарная система Максвелла в ограниченной области с конечным числом малых полостей (диаметры полостей пропорциональны малому параметру ). На границе области заданы условия идеальной проводимости либо импедансные граничные условия. Во всех перечисленных задачах время пробегает всю вещественную ось, однако полученные результаты позволяют сделать нужные заключенияи оначально-краевых задачах, рассматриваемых при временах (0,).
Работа основывается на асимптотической теории гиперболических задач в областях с особенностями на границе. Методика исследования этих задач описана в работе []напримере волнового уравнениявконусеивограниченной области с коническими точками и ребрами на границе. Результат этой работы был обобщен в [] на случай краевых задач для гиперболических уравнений с сильно эллипти-
ческой пространственной частью. В статьях [, ] исследовались нестационарная система Максвелла и общие динамические задачи теории упругости в областях с коническими точками и ребрами на границе.
Результаты указанных работ позволили описать асимптотику решений волнового уравнения в ограниченной области с малой полостью методом составных асимптотических разложений. Последний метод выбран из-за большей простоты и универсальности по сравнению с методом согласованных разложений. Приемы, использованные при выводе асимптотики, являются характерными для нестационарных задач в СВО.
Нестационарная система Максвелла является переопределенной, поэтому для ее исследования применяется расширение оператора Максвелла до оператора гиперболической краевой задачи. Такое расширение предложено в работе [] и использовалось, например, в работе [] при изучении спектра оператора Максвелла в областях с негладкой границей. Для построенной таким образом гиперболической задачи выводится и обосновывается асимптотика решений. Затем из сведений, полученных для гиперболической задачи, извлекается информация об асимптотике решений исходной (нерасширенной) системы Максвелла.
Целью диссертационной работы является развитие методики исследования нестационарных (гиперболических) краевых задач в сингулярно возмущенных областях. В соответствии с этой целью были поставлены следующие задачи:
-
Вывод асимптотики решений задачи Дирихле для волнового уравнениявогра-ниченной области с малой полостью. Обобщение результатов на случай СВО, вырождающейся при 0 в область с конической точкой на границе;
-
Вывод асимптотики решений стационарной системы Максвелла в области с конечным числом малых полостей;
-
Вывод асимптотики решений нестационарной системы Максвелла в области с конечным числом малых полостей.
Научная новизна. Гиперболические задачи в СВО ранее не исследовались (вероятно, из-за того, что теория гиперболических задач в предельных областях с сингулярностями на границе была развита сравнительно недавно). В диссертации впервые расматриваются две динамические задачи в СВО: задача Дирихле для волнового уравнения и нестационарная система уравнений Максвелла (с условиями идеальной проводимости или импедансными условиями на границе). По-видимому, система МаксвеллавСВОнеисследовалась дажевстационарном варианте; в диссертации такое исследование проводится при подготовке к рассмотрению нестационарной системы Максвелла. Основные результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми:
1. В ограниченной области с малой полостью (диаметра ) рассмотрена задача Дирихле для волнового уравнения; выведены и обоснованы полные асимптотические
разложения решений при 0. Время в задаче пробегает всю вещественную ось. Результаты (на уровне главного члена асимптотики) обобщены на случай СВО, вырождающейся при 0 в область с конической точкой на границе.
-
Исследована стационарная система Максвеллавограниченной областисконеч-ным числом малых полостей; диаметры полостей пропорциональны малому параметру . Выведены и обоснованы полные асимптотические разложения решений при 0. На границе области заданы условия идеальной проводимости либо импедансные граничные условия. Спектральный параметр в задаче может принимать любые значения, при которых окрестность при всех свободна от собственных значений системы Максвелла.
-
Исследована нестационарная система Максвеллавограниченной областисконеч-ным числом малых полостей; диаметры полостей пропорциональны малому параметру . Выведены и обоснованы полные асимптотические разложения решений при 0. На границе области заданы условия идеальной проводимости либо им-педансные граничные условия; время в задаче пробегает всю вещественную ось.
Научнаяипрактическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты демонстрируют ключевые приемы исследования нестационарных задач в СВО, которые могут быть использованы для дальнейшего развития метода описания асимптотики решений гиперболических задач в СВО.
Предлагаемая во второй задаче (система Максвелла) математическая модель может иметь приложение в диагностике плазмы: она описывает поведение электромагнитного поля плазмы, заключеннойвпроводящий резонатор изагряз-ненной частицами металла. Модель является корректной, если диаметры частиц металла много больше толщины скин-слоявметалле. Для упрощения выкладок электрическая и магнитная проницаемости в работе выбраны равными единице; однако методика естественно обобщается и на случай переменных комплексных электрических и магнитных проницаемостей.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на научном семинаре кафедры Высшей математики и математической физики, а также на конференциях:
-
International Conference Days on Diffraction 2014, Russia, St. Petersburg, 2014 (устный доклад).
-
Конференция «Встреча поколений» фонда Дмитрия Зимина «Династия», Москва, 2015 (устный доклад).
-
The eighth St.Petersburg ConferenceinSpectral Theory, Russia, St. Petersburg, 2016 (устный доклад).
Личный вклад. Результаты первой главы диссертации опубликованы в работе диссертанта [A1]. Основные результаты второй, третьей и четвертой
глав опубликованы в совместной работе диссертанта и Б.А. Пламеневского []; определяющий вклад в эту работу принадлежит диссертанту.
Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в двух печатных изданиях ( [A1,]), рекомендованных ВАК для опубликования результатов кандидатских и докторских диссертаций. Обе публикации индексируются международной системой цитирования Web of Science.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Полный объем диссертации 116 страниц текста. Список литературы содержит 17 наименований.
Полное асимптотическое разложение
Пусть П,о; - ограниченные области в Е3 с гладкими границами, содержащие начало координат. Вводится область П(є) = П\ш(є) с малой полостью ш{є) = {х Є Ш3 : є 1х Є ш} зависящая от малого параметра є 0. Рассматривается краевая задача (д? — Ar)U(x,t,e) = F(x,t), (x,t) Є П(є) х К; U(x,t,e) = 0, (%,t) Є дП(є) x R. Правая часть F принадлежит классу Г / / е 7 1- 1(ж )1 dxdt оо, (1.2) t=—оо жЄП где 7 0. Тогда при всех достаточно малых є 0 существует единственное решение [/(, ,є) задачи (1.1) из класса е 7 V(a;t)f/(x,t,e) dxdt — є 7 F(x,t) dxdt (1.3) 1 і=-оожєП(є) =-оожєП(є) (постоянная с в (1.3) не зависит от 7). После комплексного преобразования Фурье &_„-, где г = а — ij, а Є Е задача (1.1) переходит в семейство эллиптических задач — (Ат + т2)и(х,т,є) = f(x,r), х Є П(є): v \ , , J\ , j, \ j, (1.4) и(х,т,є) =0, x Є дП(є), зависящих от дополнительного параметра т; здесь и = dt rU и / = 3 rF. Из условия (1.2) следует включение /(-,т) Є L2(H) при почти всех и. Для вывода асимптотики функции и(-,т,є) при є — 0 используется метод составных разложений. Асимптотика и(-,т,є) составляется из решений так называемых предельных задач, не зависящих от є. Для области с малой полостью таких предельных задач две. Первая предельная задача — (Ат + T2)VO(X,T) = f(x,r), х Є П; VO(X,T) = 0, х Є dfl. получается из исходной ”заклеиванием” полости ш(е). Решение VO(-,T) удовлетворяет всем условиям исходной задачи (1.4), за исключением условия Дирихле на дш(є). Поведение невязки и(х,т) — V0(X,T) на дш{е) при є — 0 описывается с помощью асимптотики ь0(-,т) вблизи начала координат; главный член невязки имеет вид г о(0,т). Для его компенсации вводится решение W0(-,T) второй предельной задачи — AcWn(,r) = 0, Є K3W; WO($,,T) = —VO(0,T), Є дш, убывающее на бесконечности, как 0(-1). Главный член асимптотики и(-,т,є) при є — 0 ищется в виде щ{х,т,є) = VQ(X,T) + x(x)wo( х,т), (1.7) оо га=0 где х Є С (П) равна единице в окрестности начала координат, и х(х) не зависит от угловой переменной х = \х\ 1х. Наличие срезки х в формуле (1.7) не принципиально, но упрощает рассуждения. Заменяя и(-,т,є) на и(-,т,є) — щ(-,т,є) и повторяя процедуру, мы строим второй член асимптотики и т.д. В результате получается асимптотическое разложение и(-,т,є) при є — 0 в форме n{vn(x,r) + x(x)wn( х,т) ) . (1.8) Это разложение является двухмасштабным: оно составлено из функций, которые зависят либо от "медленной"переменной х, либо от "быстрой"переменной f = є 1х. Функции vn(-,r) являются решениями первых предельных, а функции гип(-,т) - вторых предельных задач. Формально асимптотика решения [/(, ,є) при є — 0 получается обратным преобразованием Фурье Зу-І из формул (1.7), (1.8). Однако для обоснования асимптотики необходимы равномерные по г оценки остатка в асимптотике функции и(-,т,є). Для этого требуется, чтобы асимптотики решений х — vn(x,r), — wn(,r) предельных задач при \х\ — 0 и — оо были равномерными по т. Оператор второй предельной задачи не зависит от г и является эллиптическим. В отличие от второй предельной задачи, оператор первой предельной задачи существенно зависит от г: он не является эллиптическим с учетом параметра г (в смысле Аграновича-Вишика, см. [17]). Метод, пригодный для описания равномерной по г асимптотики решения V0(-,T) первой предельной задачи, развит в работе [10] при исследовании волнового уравнения в областях с коническими точками и ребрами на границе. Результаты работы [10] применяются для вывода асимптотики решения VO(-,T) при х — 0; в этом случае начало координат рассматривается, как вершина конуса полного раствора. Для формулировки теоремы об асимптотике введем специальные функциональные пространства. Пусть G СШ3 - область, / - неотрицательное целое число и /З Є Е. Через Vlp{G) и V (G, г) обозначаются пространства с нормами где Хт{х) = х(1г1ж). Если носитель функции v Є Wfiij) лежит во внутренности suppxr, то норма (1.10) эквивалентна v \\V2(Q,). Однако если носитель лежит в f2\suppxr, то норма (1.10) эквивалентна v Ця п). В этом смысле Wp(r) представляет собой пространство функций переменной гладкости. Введем еще пространство TZV (T) с нормой
Предложение 1.1.1 (см. [10]). Пусть 7 То, где 7о 0 - достаточно большое число. При /(,т) Є Ьг(П) существует единственное решение VQ(-,T) Є Hl(Q) задачи (1.5) и справедливо неравенство II VO( ,T) уі(п)Г) су /(-,т) ь2(п) (1.12) Если f(-,r) Є V?_N(Q), где N є Z+, mo для V0(-,T) справедливо представление N-l VQ(X,T) = XT(X) / wO ( Г)ІЖГ + o \x r) (1.13) i=0 с остатком v{0N\-,r), подчиненным оценке II Щ (- г) ІЬУІ_ЛГ(Г) II /(-/г) Цтгу лгСг) 7_1И- (1.14) Коэффициенты V\-,T) являются гладкими функциями переменной х = \х\ 1х на единичной сфере S2, однозначно определяемыми правой частью /(-,г). Коэффициент У (Х,Т) не зависит отхи совпадает с VQ(0,T). Справедливы неравенства II vo v )r) lc2(s 2) 7( )г) І7гУі_лг(г) \т\ +г (1.15) Постоянные в оценках (1.12), (1.14), (1.15) не зависят от а и j. Из формул (1.13 ), (1.14) следует, что асимптотика функции V0(-,T) строится только в окрестности начала координат диаметра 0(т-1) - эллиптической зоне. При є\т\ ро (где ро О достаточно малое число, такое что Хро\дш = 1) асимптотика решения и(-,т,є) находится методом составных разложений; формула (1.13) применяется для описания асимптотики невязки и(х,т,є) — V0(X,T) на границе дш{е) малой полости при є — 0. Для оценки остатка в асимптотике и(х,т,є) выводится неравенство II и \\\г1 п є),т) с(т) ( II (А + т )и \\ь2(п(є)) + \т\ М{є)и я3/2(9ш) ) (1.16) справедливое при є\т\ ро; здесь M(e)v() = v(e) и с{ () не зависит ни от є, ни от а. При є\т\ const эллиптическая зона находится внутри малой полости ш(е) и описать поведение невязки на дш{е) невозможно. Это означает, что при є\т\ const (иначе говоря, для описания поведения волн, длина которых меньше, чем диаметр малой полости) метод составных разложений неприменим. Поэтому на правую часть F волнового уравнения накладывается дополнительное условие гладкости по времени, благодаря которому возмущение, вызывающее короткие волны, пренебрежимо мало при є — 0. Тогда в силу неравенства (где и Є Е, и = 0 на dVt{e)) вклад коротких волн также оказывается пренебрежимо мал. Благодаря этому удается получить равномерную по г оценку остатка в асимптотике решения и(-,т,е). Обратное преобразование Фурье доставляет асимптотику решения исходной нестационарной
Главный член асимптотики решения задачи (2.7),(2.8)
Существование и единственность решения и(-,т,є) задачи (2.7), (2.8) вытекают из самосопряженности оператора A(DX) с областью опеределения {v Є Н1(0,(є)) : Tv = 0 на дії(є)} (см. например, [16]). Асимптотика решения и(-,т,є) при є — 0 описывается методом составных разложений, то есть составляется из решений предельных задач, не зависящих от є. Первая предельная задача имеет вид (A(DX) + r)v = f в П; IV = 0 на дП и исследуется в разделе 2.3. Изучению второй предельной задачи A(D )w0 = f в Ж \ш; Г\у0(,т) = Тт] на дш. посвящен раздел 2.4. В частности, доказывается что оператор второй предельной задачи, действующий из V01(E3\cJ) в L2(R3\cJ) х Н1/2(дш), имеет одномерные ядро и коядро. Этим реализация метода составных разложений отличается от случая задачи (1.4), в котором все предельные задачи были однозначно разрешимы. Асимптотики решений первой предельной задачи в окрестности начала координат и решений второй пределной задачи в окрестности бесконечности описываются в терминах собственных значений и функций операторного пучка Ф — 21(А)Ф = гл гХА(Вх)тлХФ на сфере S2. Свойства пучка 21 исследуются в разделе 2.2. Главный член асимптотики решения задачи (2.7), (2.8) описывается в разделе 2.5, а полное асимптотическое разложение - в разделе 2.6. Основной результат доставляет следующая
Теорема 2.1.2. При f Є С(Щ решение задачи (2.7), (2.8) при всяком N = 0,1,2,... допускает асимптотическое разложение N и(х,т,є) = є 1х(х)а(т)я(є 1х) + У єп(уп(х,т)+х(х)л п(є 1х,т) ) +є +1VN+i(a;,r) + UN+i(a;,r,e) га=0 (2.14) с остатком GN+1(-,r,e), удовлетворяющим оценке и ( г\ \\ ҐЛ/V-/V+3/2—ё\ при всех 5 0. Здесь vn = (v ,v l,bll,b2l)T, wn = (W ,W 1,Q11,Q 1)T, где v3n(-,r) Є С(Г2\{0}), (-,т) Є С(Е3\а;) - трехкомпонентные вектор-функции, a bJn(-,r) Є С(П\{0}), д п{-,т) Є С(К3\и;) - скалярные функции, j = 1,2. Для vn(-,r), wn(-,r) справедливы асимптотики oo oo vn(x,r) = У \п г (х,т)\х\г, \x\ — 0; wn(,r) = wn (х,т)\ \ г, — oo, i=0 i=\ коэффициенты vnW(-,r) = (i4 ,Vn ,bn ,bn )T и wnW(-,r) = (wn ,Wn ,Qn ,Qn )T в которых являются гладкими функциями переменной х = \х\ 1х = \ \ 1 Є S2. Функция я является решением однородной задачи A(D() ; = 0 в К \ш; 1\ = 0 на дш и имеет вид (Vg o Д0,0)т, где 0 = (0,0,0)т, а фо Є С(К3\и;) - гармоническая в K3\cJ функция, такая что фо = 1 на дш, фо(0 = 0(-1) при — оо. При этом () у (%)\\ ICI fc=2 где ;(fc) Є C(S2). Функция v0(-,r) Є С(П) является решением первой предельной задачи (A(DX) + r)vo(x,r) = f (х), х Є П; rvo(x,r) = 0, ж Є 5П, (2.15) а функция W0(-,T) - второй предельной задачи A(D )w0( ,r) = —а(г)гя(0) С Є IR \о7; Г\у0(,т) = —rvo(0,r), Є дш. (2.16) Из условия разрешимости последней задачи находится коэффициент а(т) = (гг)-1Ь1о(0,г). Функции vn(-,r) (п 1) являются решениями первых предельных задач (A(DX) + r)vn(x,r) = —x( )rwn-i (І,т):г_ га — [A(Dx),x][ / wn_ (х,т)\х\ + а(т)я + (%)\\ + ) xG О\{0}; fc=i rvn(x,r) = 0, ж Є dfl. Функции wn(-,r)(n 1) являются решениями вторых предельных задач A(D )wn( ,r) = — TWj1_1( ,r), Є К3\ 17; га rwn(,r) = —Г J vn_k fc (x,r) fc, Є 5a;. fc=0 Условия разрешимости этих задач га Іг(й)п_\ (-,T),V0O)R3\W = / / ri-fc ( ГЖ1 dv(f odS. я k=0 однозначно фиксируют функции wn(-,r) при п = 0,1,... Для возвращения к исходной нерасширенной системе Максвелла доказывается
Теорема 2.1.3. Пусть функция f Є С(Ц при всех є Є (0,є0) (є0 0 ) удовлетворяет условиям (2.3), (2.4). Тогда компоненты а1, а2 функции и(-,т,є), компоненты bln(-,т), b2n(-,т) функций vn(-,r) и компоненты Qn(-,т), д (-,т) функций wn(-,r) аннулируются в П(е), П\{0} г/ М3\а7, со-ответственно. Кроме того, аннулируются а(т), WO (-,T) г/ vi(-,r).
В силу теоремы 2.1.3 при выполнении условий совместности (2.3), (2.4) компоненты гх1(-,г,е), м2(-,г,е) функции u(-,r,e) совпадают с решением исходной задачи (2.1), (2.2) в области П(є). Поэтому из теоремы 2.1.2 извлекается вся необходимая информация об асимптотике решений исходной нерасширенной системы Максвелла. Отметим, что если ограничиваться только главным членом асимптотики є 1х(х)а(т)я(є 1х) + v0(x,r) + x(x)wo( lx T) + SVIO JT) решения задачи (2.7), (2.8), то при переходе к нерасширенной задаче структура двухмасштабного разложения не сохраняется: для ее возникновения требуется уточнение асимптотики. 2.2 Операторный пучок Пусть (г,9,ip) - сферические координаты точки х Є Ш3. Тогда / Dxi \ ( sin cosc/? cos cost/? - (sin6,)_1siri(/? rDr — г sin siiK/? cos siiK/? (sm9) costp совб1 - sin 0 и оператор А (Де) переписывается в виде A(DX) = Ai(9, -p)Dr -\—A2(9,(p)D$ -\ Аз(9,tp)Dv] (2.17) г rsinp здесь Аг - матрицы размера 8x8, элементы которых являются гладкими скалярными функциями на сфере. Непосредственными вычислениями проверяется, что А2 = А% = А2. = I, АлАо + АоАл = Ал А?. + А Ал = АоА?, + А Ао = 0, 1 2 3 ,12 13 3 1 (2.18) деА\ = А2, dcpAi = sin9Aa. Свяжем с оператором A(DX) голоморофную оператор-функцию СэАн 21(A) (операторный пучок). Для вектор-функций Ф = (ф1, ф2, а1, а2)т на сфере S2 оператор 21(A) определим равенством 21(A)Ф = г г A(Dx)r% Ф; (2.19) здесь ф? є C(S2; С3) and aj Є C(S2; С), j = 1, 2. Из (2.17) и (2.19) следует, что 21(A) = \А\ + A2Dg + (sin(9)" A D . (2.20) Число А0 Є С называется собственным для пучка 21, если существует вектор-функция Ф є C(S2), не равная нулю тождественно и такая, что 21(А0)Ф = 0; тогда Ф называется собственным вектором пучка, отвечающим числу А0. Поскольку пучок 21 эллиптический, отображение 21(A) : H1(S2) — L2(S2) является изоморфизмом для всех А Є С, за исключением изолированных собственных значений конечной кратности (см., например, [17]). Все собственные значения пучка 21 перечислены в следующем утверждении.
План вывода главного члена асимптотики
Лемма 2.4.3. 1. Пусть и Є C(R3\u;), V\и Є VQ R3 ), пусть также А и = 0 в М.3\ш. Тогда: 1) если dvu = 0 на дш, то и = const в М?\ш; 2) если Vrw = 0 на дш (Vr - касательный градиент), то и = с\-\- С2Ф0 в Ш,3\ш, где С\,С2 - некоторые константы.
2. Пусть и Є С(К3\и;), Vgw Є Ь2(М.3\ш), причем А и = 0 в Ш,3\ш. Тогда: 1) если dvu = 0 на дш, то и = 0 в Ш?\ш; 2) если Vrw = 0 на дш, то и = ефо в Ш,3\ш, где с - некоторая константа.
Доказательство. 1. Пусть V?w Є F01(E3\cJ). Следующее неравенство известно ( [18], теорема 330): оо оо Г А Г / rs.Z(r) dr / rs+ \drZ(r)\ dr (2-45) (s + 1) о 0 (здесь s ф — 1, Z Є C1([0, + 00)), Z(0) = 0). Пусть Xoo є С(К3\й;), Xoo = 0 вблизи дш и Xoo = 1 в окрестности бесконечности. Положим в формуле (2.45) s = —2, Z(r,9,ip) = Хсю(Ои(0 проинтегрируем по 9,ip и получим неравенство / f ІХоо І d 4 / r \dr(xoou)\ )dr 4 Vg(xoow) yi№3\ R3\w R3\w из которого следует включение и Є V 2(E3\cJ). Согласно теореме 4.2.1 и замечанию 4.1.5, [7], справедливо представление и = const + й, в котором й Є V R cJ). Тогда если dvu = 0 на дш, то и dvu = 0 на дш, и значит, й = 0в Ш.3\ш в силу леммы 2.4.2. Таким образом, и = const. Если же VsW = 0 на дш, то й = с = const на дш и поэтому й = сфо. 2. Пусть Vgw Є Ь2(Ш.3\ш). Тогда формула (2.45) при s = 0 означает, что / f ІХоо І d 4 II Vg(xoo ) i2(R3\ ; R3\w поэтому и Є 1 (Е3\а7). Тогда при dvu = 0 на дш в силу леммы 2.4.2 имеем и = 0 в Е3\ол Если же VTu = 0 на дш, то и = с на дш, где с - некоторая константа. Таким образом, й = и — сф0 = 0 на дш и Ай = 0 в R3\cJ. Поскольку й Є V01(E3\cJ), лемма 2.4.2 приводит к равенству й = 0.
Задача (2.33), (2.34) самосопряжена относительно формулы Грина (2.12). Эта задача имеет решение w є V (R3\u7), если и только если ее правая часть f є Ь2(Ш.3\ш), rj є Н1/2(дш) удовлетворяет равенству (f ,U)R3\ + (г],Ти)дш = 0 (2-46) для всякой функции и є C(R3\u;) П Ь2(R3\ш), такой что A(D )u = 0 в R3\й;, Ги = 0 на дш. (2.47) Оператор Т в (2.46) задан формулой (2.13). Лемма 2.4.4. Пусть функция и є С(R3\и;) удовлетворяет уравнениям (2.47). Тогда любое из включений и є V (R3\u7) или и є Ь2(R3\й)) означает, что и = ся, где с Є С, а 8-компонентная вектор-функция я задана формулой я = (V\ф0 ,0 О,0)т.
Замечание 2.4.5. Из (2.43) следует, что я(С) = 0{\ \ 2), д я(С) = 0(_3) при — оо. Таким образом, я Є /(R й;).
Доказательство. Пусть и = (и1 ,и2,р1 ,р2)Т Є С(R3\и;) и и є 1 (R3\й;)иЬ2(R3\й;). Из системы A(D )u = 0 в R3\ш по формуле (2.9) выписывается уравнение rot и + Х?хр = 0 на дш. Умножим обе его части скалярно на и. Учитывая (и, rot и ) + (Vg,z/ х и ) = 0 на дш, получим dvp = (Vg,z/ х и1) на дш.
Ввиду формулы (2.11) равенство Ги = 0 равносильно условиям р1 = О, {и, w2) = 0иихи1 = 0 на дш. Поэтому в предыдущей формуле dvp2 = 0. Уравнение A(D )u = 0 в R3\ш с учетом (2.10) дает Д и = 0 в R3\йУ. В частности, А р1 = А р2 = 0 в R3\й;. Кроме того, дг Є V01(R3\a;) U L2(R3\a;) (г = 1,2). С помощью леммы 2.4.2 отсюда выводим, что р1 = 0, р2 = 0. Теперь система A(D )u = 0 в R3\cJ принимает вид rotu = 0, rotu = 0, (2.48) divw = 0, divw = 0. (2.49)
В силу теоремы Стокса формулы (2.48) равносильны равенствам и1 = V 1, и2 = V 2, где фз е С(R3\ш) - скалярные потенциалы. Уравнения (2.49) означают, что А -7 = 0 в R3\й;, а из условий (i/, W2) = 0иихи1 = 0 следует, что V.sV 1 = 0, диф2 = 0 на дш. Тогда из включений VgV = иг Є (R3 ) U Ь2(R3\ш) по лемме 2.4.3 получаем ф2 = const, ф1 = с\ + с2фо в R3\cJ (где с\ и с2 - некоторые константы). Поэтому и2 = 0, и1 = c2V o, и значит, и = с2я. Из леммы 2.4.4 вытекает теорема о разрешимости задачи (2.33), (2.34): Теорема 2.4.6. Решение w є V QR3 ) задачи (2.33), (2.34) с правой частью f Є L2(R3\u), rj є Н1/2(дш) существует, если и только если г(/ ,V0O)R3\W = ij] ,дифо)дш , при этом решение w определено с точностью до слагаемого ся, где с - произвольная константа. Займемся описанием асимптотики решения задачи (2.33),(2.34). Следующее утверждение представляет собой частный случай теоремы 4.2.1, [7]. Теорема 2.4.7. Пусть N = 2, 3,..., f Є У$(К3\й;) и rj є Н1/2(дш). Тогда для всякого решения w є Т4)1(Е3\а;) задачи (2.33), (2.34) с правой частью f, rj справедливо асимптотическое представление N W(C) = / \С\ Єк(в,ір) + w() (2.50) fc=2 с остатком w є V (R3\u). Коэффициенты ek в (2.50) удовлетворяют уравнениям Щкг)ек = 0. Справедлива оценка N II Є WcHS2) + II W у(Кз\й) С{\\ f у0(кз\й) + V ІІЯі/2(9ш) + W y l(R3W)}. fc=2 При N = 1 формула (2.50) принимает вид w = w. В дальнейшем понадобится асимптотика решения w задачи (2.33),(2.34) с правой частью f Є Ь2(Ш.3\ш), которая отличается от элемента пространства V$(R3\u;) (N = 2,3,..) конечной суммой членов вида Аі(в, (/?) _РФ(6,,(/?) _Р, (2.51) где 21(зг)Ф = 0, s,p = 2,3,.., s р, причем Аг - та же матрица, что и в (2.17). Эта асимптотика описывается в следующем утверждении.
Лемма 2.4.8. Пусть правая часть f задачи (2.33), (2.34) задана формулой (2.51), г] є Н1 2(дш) и /Зг Є N. Тогда для решения w є 1 (Е3\а;) задачи (2.33),(2.34) справедливо асимптотическое представление N W(C) = / ІСІ Єк(в,ір) + w() (2.52) fc=i с остатком w є T (E3\cJ). При k ф p - 1 коэффициенты разложения ek удовлетворяют уравнениям 0і(кі)ек = 0. Выполняется равенство ер_і = P{is, s — р + 1) А1 р Ф(6, р) + ёр_1, в котором число P(is, s — р + 1) ф 0 такое же, как в лемме 2.3.2, и 21((р — 1)г)ёр_1 = 0. Верна оценка N У] II efc ci(S2) + W у (кз ) с{\\ Ф Ci(Sf2) + V Hi/2(aw) + II w ІІУ К3 )} fc=l Доказательство. Утверждение леммы получается теми же рассуждениями, что и в доказатель стве леммы 2.3.3. Следствие 2.4.9. Пусть правая часть f задачи (2.33), (2.34) отличается от элемента пространства V (M.3\uJ) (N = 2,3,..) конечной суммой членов вида (2.51), rj є Н1/2(дш) и /Зг Є N. Тогда для решения w є V R3 ) задачи (2.33), (2.34) справедливо асимптотическое представление (2.52) с остатком w є V (K3\u;). Каждый коэффициент ёр в разложении есть конечная сумма функций вида А31 рФ3(9,ір), где %l(si) &s = 0, (s = 2,3,...).
Возвращение к нерасширенной системе Максвелла
Остаток йі(-,т,є) = и(-,т,є) — и0(-,т,є) разложения (3.29) оценивается при помощи неравенства (2.73); подчеркнем, что константа c(j) в этом неравенстве не зависит от и. На следующем шаге доказывается, что при определенных предположениях о гладкости правой части J (-,r) уравнения (3.3) по времени функции и(-,т,є) и и0(-,т,є) пренебрежимо малы при є\т\ ро, є — 0. Благодаря этому обратное преобразование Фурье dr t разложения (3.29) доставляет асимптотику функции Ы(- ,є) и справедлива
Теорема 3.2.1. Пусть 7 0, 8 Є (0,1) и Р 2 7 RV_3/2+«(7) (3.31) где оператор Р7 и норма \\ш ) заданы формулами (1.56) и (1.57), соответственно. Тогда решение Ы(-,є) задачи (3.3),(3.4) допускает асимптотическое разложение lA(x,t,e) = є 1х{х)я{є 1х)А{ї) + Vo(x,t) + x{x)Wo{z lx-,t) + eVi(x,t) + Vli(x,t,e), (3.32) в котором А (і) = $ \ta, Vj = 3r-Uvj, VVo = 3r-Uwo и функции a, Vj, w0 такие же, как в формуле (3.30). Остаток йх{-, ,є) подчинен оценке / / e-2 ft\U1 (x,t,e)\2dxdt = 0(e3-2S). t=—oo жЄП(є)
Поясним формулировку теоремы 3.2.1. С учетом эквивалентности норм (1.58) условие (3.31) означает, что норма f(-,r) \\KV_3/2+S(T), умноженная на т5/2, квадратично интегрируема по и 6І. Благодаря этому вклад в решение Ы(-, ,є) волн, коротких по сравнению с diamu;(e), пренебрежимо мал. Тогда асимптотика решения Щ-,- ,є) получается обратным преобразованием Фурье dr t из формул (3.29), (3.30) и имеет вид (3.32). Функция V0 в (3.32) является решением задачи (dt + A(dx))Vo(x,t) = J-(x,t), (%,t) eOxR; (3.33) Wo(x,t) = 0, (%,t) Є dfl x R, (3.34) и описывает поведение электромагнитного поля в области П, не возмущенной малой полостью. Функция Wo в (3.32) определена неоднозначно, поскольку частное решение w0(-,r) задачи (2.56),(2.57) определено с точностью до слагаемого h(a)s, где h - произвольная функция. Дополнительное условие (3.26) на решение w0(-,r) влечет включение h Є L2OR). Тогда член Wo(e 1x,t) в (3.32) определен с точностью до слагаемого eltH(t) ;( 1x) с произвольной Н є L2(R). В силу замечания 2.5.7 это слагаемое подчиняется оценке (3.33) и, следовательно, пренебрежимо мало при є - 0.
1. Оценка остатка йі(-,т,є) при є\т\ ро. При є\т\ ро остаток разложения йі(х,т,є) является решением задачи (2) 1 (A(DX ) Ь т)ііі(ж,т,є) = —т\ {х) к\;{є-"х,т)- (3.35) —S(x)\e а(т)я (є х) + w0 (є x,r)\, x Є П(є); Тйі(х,т,є) = — r{v0 \Х,т) + є\і(х,т)}, х Є 5ш(є); (3.36) Гйі(ж,г,є) = 0, ж Є 5П. (3.37) Для оценки правой части (3.36) понадобится Лемма 3.2.2. При є\т\ р0 для всякой функции v Є Wfi(r) ф Є R) справедливо неравенство II M(e)v \\н1/2(дш) се \v py/3(r) (3.38) где M(e)v() = v(e ), а постоянная с не зависит от є. Доказательство. При є\т\ р0 имеем Хєт(0 = 1 на дш, поэтому по теореме вложения М(є)і) \\н1/2(дш) — с ХєтМ(є)у yi(R3wj) . Вместе с формулой ХєтМ(є)у yi(R3W)= -{fi+1/2) XrV уі(кз\ц ) Є"(/3+1/2) V W/3(T) это дает оценку (3.38). Неравенство т1/2 Vo(-,r) \\VV_3/2+S(T) + vi(-,r) r»y_1/2+5(r) c(7) f(-,r) 7гу_з/2+5(г) т3/2 выводится из формул (3.15), (3.28) и (3.16). С учетом леммы 3.2.2 получаем отсюда искомую оценку правой части (3.36) М(є)Тй1(-,т,є) WH1/2 )— С(І)І lrl II f( )r) \WV_3/2+S{T) (3.39) Теперь оценим правую часть уравнения (3.35). В силу вложения ;(3) є V R3 ) и неравенств (3.27), (3.16) и (3.25) лемма 2.5.2 приводит к соотношению (A(DX) + т)й1(-,т,є) \\ь2(п(є)) с( )є3/2\т\6 f(-,r) \\TZV_3/2+S(T) (3.40) Для равномерной по г оценки Ь2-нормы остатка йі(-,т,є) воспользуемся неравенством (2.73) из теоремы 2.5.4. C учетом (2.73) из формул (3.39), (3.40) следует, что II йі(-,т,є) \\ь2(п(є)) c(7)e3/2"V5/2 II f(- r) \\KV_3/2+S(T) (3.41) 2. Оценка функций и(-,т,є), и0(-,т,є) при є\т\ ро. При є\т\ ро неравенство (3.8) для функции и(-,т,є) означает, что и(-,т,є) \\ь2(п(є)) с(7)(єт)3/2- 5 f(-,r) \\ь2(п(є)) с(7)є3/2_ 5г"1 f(-,r) \\TZV_3/2+S(T) (3.42) Перейдем к оценке функции и0(-,т,є). Соотношение II VO(-,T) \\ь2(п(є)) с(7)є3/2_ 5г"1 f(-,r) \\TZV_3/2+S(T) (3.43) выводится так же, как (3.42). Для оценки функции х — x( )wo(e_1 ,r) из (3.30) воспользуемся леммой 2.5.2 и формулами (3.26), (3.16), тогда xw0(-,r,e) \\ь2(п(є)) с( )є3/2 6 f(-,r) \\TZV_3/2+S(T) (3.44) Аналогично из (3.25), (3.16) выводится неравенство є 1ха{т)Яе L2(Q()) с(7)є3/2_ 5г 1 II f(- r) \Wv_3/2+s(r), (3.45) где s(x) = я(є 1х), є\т\ PQ. Осталось оценить слагаемое evi(-,r). Функция vi(-,r) удовлетворяет уравнению (2.62), правая часть которого по норме в Ьг(П) не превосходит \т\ё f ("JT) \\IZV_3/2+S(T). Это следует из (2.58), равенства wo (-, ,т) = &о(0,т)Аі ;(2) и формулы (3.16). Поэтому (3.8) для vi(-,r) означает, что II evi(- r) L2(Q()) С(7)Є3/2_ 5Г1/2 II f(-;r) ІІтг.у_3/2+5(г) (3.46) при єт ро. Искомая оценка функции и0(-,т,е) II u0(-,r,e) L2(Q()) с(7)є3/2_ 5г1/2 II f(-;r) ІІтг.у_3/2+5(г), (3.47) справедливая при є\т\ р0, получается суммированием неравенств (3.43)-(3.46). В силу (3.42), (3.47) очевидно, что II 1 V / Н-Ь2( ())— \1) II II V? / 7 У— 3/2+5(r) (3.48) для йі(-,г,є) = и(-,т,є) — и0(-,т,є) при єт ро. 3. Возвращение к гиперболической задаче (3.3),(3.4). Из соотношений (3.41), (3.48) получается оценка остатка йі(-,т,є) при всех и Є Е: II 1 V / ІІ-Ь2( (є)) — \1) II II V? / Н У—3/2+5 (г) (39) Эта оценка позволяет вернуться к гиперболической задаче (3.3),(3.4) и вывести асимптотику ее решения U(-, є). Теперь теорема 3.2.1 вытекает формул (3.49), (1.58).
Теорема 3.2.3. Пусть Т Є Vg(7) и при любом є Є (0,є0) включение - г г(-,г)п(є) Є Wl(e,r) выполнено для почти всех а Є К. Тогда: 1) А() и компоненты Л1,Л2 решения Ы = {U1 ,Ы2 ,Л1 ,Л2)Т задачи (3.3),(3.4) при всех є Є (0,Єо) тождественно равны нулю в П(е) х К; 2) компоненты BlQ)B2Q решения V0 = (V01,V02, 01, )T задачи (3.33),(3.34) тождественно равны нулю в П х R; 3) асимптотическая формула (3.32) в теореме 3.2.1 остается справедливой, если ее правую часть заменить на Vo(x,t) + Hi(x,t,e). Доказательство. Для f(-,r) = — г$ т2 (-,т) из Ш(є,т) существует такая последовательность {fs} элементов множества (3.23), что fs —ї ( ,т) в І2(П(є)) при s — оо. Пусть ф,ф є Н2(П(є)) - произвольные функции, для которых ф = дуг\) = 0 на 5П(е); положим к, = (0,0,ф;ф)т. Тогда из формулы Грина (2.12) следует, что (fs,(A(Dx) — т)к)ь2{п{є)) = 0 при всех s. Переходя к пределу при s — оо, получаем (f(-,r),(A(Dx) — т)к) 2(п(е)) = 0. Несложно проверить, что T(A(DX) — т)к = 0 на 5П(е). Функция и(-,т,є) = 3 rW(-,T,e) принадлежит ії1(П(є)) и является решением задачи (2.7), (2.8). Из формулы Грина (2.12) вытекает, что (и(-,т,є),(Ах + т2)к)ь2{п{є)) = 0. В частности, (а (-,г,е),(Аж + т )0)ь2(п(є)) = (я ( )г)є))( ж + №)ь2(п(є)) = 0. Образ оператора (Лж + г2), заданного на линеале функций из Н2(0,(є)) с однородным условием Дирихле (или Неймана) на дїї(є), плотен в L2(f2(e)). Поэтому а}{-,т,є) = а2(-,т,є) = 0 в П(е). После обратного преобразования Фурье $T t отсюда получаем Л1 = Л2 = 0 в П(є) х Е. Аналогично проверяется второе утверждение теоремы. В частности, для функции v0(-,r) = (VQ(-,т),VQ(-,т),bl(-,т),Ь (-,т))т = 3 TVO(-,T) устанавливаются равенства &о(0,т) = 0, &о(0,т) = 0. Повторяя рассуждения из доказательства следствия 2.5.9, устанавливаем, что в разложении (3.30) функции vi(-,r) и а(т) аннулируются, а w0(-,r) принадлежит пространству V R aJ). Тогда вместо (3.26) можно требовать оценку II wo( ; ") HVVRSW) CIVO(0,T). (3.50) В силу (1.58), (3.31) и (3.16) из оценки (3.50) следует, что Г / / e 2 (t\x(x)Wo(e 1x,t)\2dxdt = 0(є3). t=-oo хЄП(є) Таким образом, слагаемое x(x)Wo(e 1x,t) в разложении (3.32) при є — 0 подчиняется такой же оценке (3.33), что и остаток Wi(-, ,є) П
Как и в стационарном случае, для нерасширенной системы Максвелла структура двухмас-штабного разложения не проявляется на уровне главного члена асимптотики. При этом компоненты V0, V02 функции V0 удовлетворяют исходной нестационарной системе уравнений Максвелла (3.1) с правой частью Т в цилиндре {(x,t) : х Є П, і Є Е}.