Введение к работе
В диссертации рассматривается проблема построения приближенных решений уравнении для функций, число аргументов которых стремится к бесконечности.
Актуальность темы. Уравнения для функций большого числа аргументов часто встречаются в приложениях. В частности, в квантовой механике состояния системы N частиц в фиксированный момент времени описываются волновыми функциями - функциями N аргументов, являющихся координатами частиц. Эти функции удовлетворяют эволюционному уравнению Шредин-гера.
В квантовой статистике рассматриваются так называемые смешанные состояния, которым можно взаимно однозначно сопоставить матрицы плотности Влохинцева-Вягнерв, также являющиеся функциями большого числа (2N) аргументов. N из этих аргументов являются координатами частиц, N - импульсами. Матрица плотности удовлетворяет многочастичному уравнению Вигнера.
В классической статистической механике важную роль играют ЛГ-частич-ные функции плотности распределения вероятности, также являющиеся в фиксированный момент времени функциями 2JV аргументов. Эти функции удовлетворяют уравнению Лнувилля.
Поскольку точные решения уравнений Шредингера, Лиувилля и Вигнера найти в общем случае пе удается, вопрос о разработке приближенных методов решения этих уравнений является весьма важным.
Цель работы, заключается в построении приближенных решений упомянутых выше уравнений, если число частиц стремится к бесконечности. Оказывается, что различные уравнения, отвечающие различным физическим задачам, можно рассмотреть с помощью единого метода, который и развивается в диссертации.
Научная новизна. Построены новые асимптотические формулы для решений уравнений Шредингера, Лиувилля и Вигнера. Опровергается известная гипотеза о сохранении хаоса. Строится приближенный спектр N-частичного гамильтониана. Строятся аппроксимация для температурного канонического распределения в классической статистической механике. Теория комплексного ростка Маслова обобщается на бесконечномерный случай.
Ценность результатов. Полученные в диссертации результаты могут быть применены в самых разных областях физики и математики, в частности, в классической статистической механике, квантовой статистике, квантовой механике многих частиц. Развитый в диссертации метод применим в любом случае, когда возникает необходимость строить приближенные решения уравнений для функций большого числа аргументов.
Апробация диссертация. По результатам диссертации был прочитан факультативный спецкурс для студентов 4 курса физического факультета МГУ. За работы по теме диссертации автору присуждена премия Европейской Академии для молодых ученых СНГ 1996 года.
Typeset by AmS-t&.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 статей:
1. В.В.Белов, В.П.Маслов, О.Ю.Шведов. О квазиклассической асимптоти
ке модельной задачи. Математические заметки, 1993, т.53, вып.5, с.14-20.
2. В.П.Маслов, О.Ю.Шведов. Спектр N-частичиого гамильтониана при
больших N и сверхтекучесть. Доклады Академии Наук, 1994, там 335, N1,
с.42-46.
-
В.П.Маслов, О.Ю.Шведов. Квантование в окрестности классических решений в задаче N частиц н сверхтекучесть. Теоретическая и математическая физика, 1994, т.98, N2, с.266-283.
-
В.П.Маслов, О.Ю.Шведов. Асимптотика решения ^частичного уравнения Лиувилля при больших N и опровержение гипотезы хаоса для функции плотности. Математические заметки, 1994, том 56, вьш.2,с. 153-155.
'5. В.П.Маслов, О.Ю.Шведрв. О проблеме сохранения хаоса в многочастичных системах. Доклады Академии Наук, 1994, том 338, N1, с.15-18.
6. В.П.Маслов, О.Ю.Шведов. О новом асимптотическом методе в задаче
многих классических частиц. Доклады Академии Наук, 1994, том 338, N2,
C.173-17G.
7. V.P.Maslov, O.Yu.Shvedov. An asymptotic formula for the N-particIe density
function as N — oo and a violation of tbe chaos hypothesis. Russian Journal of
Mathematical Physics, 1994, vol.2, N2, p.217-234.
8. В.П.Маслов, О.Ю.Шведрв. Комплексный метод ВКВ в пространстве
Фока, Доклады Академии Наук, 1995, том 340, N1, с.42-47.
9. V.P.Maslov, O.Yu.Shvedov. Asymptotic solutions to the Wigner equation for
systems of a large number of particles. Russian Journal of Mathematical Physics,
1995, vol.3,Nl,p.65-80.
10.В.П.Маслов, О.Ю.Шведов. Туннельные асимптотики во вторично-кван-товаппых системах. Доклады Академии Наук, 1995, том 341, N1, с.32-36.
П.В.П.Маслов, О.Ю.Шведов. Стационарные асимптотические решения задачи многих тел и вывод интегральных уравнений с прыгающей нелинейностью. Дифференциальные уравнения, 1995, том 31, N2, с.312-326.
12.В.П.Маслов, О.Ю.Шведов, О проблеме больших уклонений в задаче многих тел. Математические заметки, 1995, т.57, вьш.1, с.133-137.
13.В.П.Маслов, О.Ю.Шведов. Метод комплексного ростка в пространстве Фока. 1. Асимптотики типа волновых пакетов. Теоретическая и математическая физика, 1995, х104, N2, с.310-329.
П.В.П.Маслов, О.Ю.Шведов. Метод комплексного ростка в пространстве Фока. 2. Асимптотики, отвечающие конечномерным изотропным многообразиям. Теоретическая и математическая физика, 1995, т.104, N3, с.479-506.
15.V.P.Maslov, O.Yu.Shvedov'. Chaos conservation problem in quantum, physics. Russian Journal of Mathematical Physics, 1996, vol.4, N2, p.173-216.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.