Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Головная волна интерференционного типа (волна Бул дырева) 7
1.1. Постановка задачи 7
1.2. Классическая головная волна 8
1.3. Эталонная задача – дифракция на границе двух полуплоскостей 11
1.4. Единственность решения эталонной задачи 16
1.5. Волны шепчущей галереи 19
1.6. Волновые фронты волн шепчущей галереи и волны Булдырева в эталонной задаче 25
Глава 2. Асимптотический анализ волны Булдырева 29
2.1. Подход В. С. Булдырева в задаче дифракции на неоднородном цилиндре произвольного сечения 29
2.2. Парадоксальность асимптотической формулы Булдырева 33
2.3. Вывод коротковолновой асимптотики волны Булдырева комбинированным методом Филиппова 34
2.4. Сравнение результатов 51
Глава 3. Амплитудный множитель волны шепчущей галереи и энергетические соображения 53
3.1. Исходные соображения 53
3.2. Вычисление потока энергии 56
3.3. Вывод формулы для волны Булдырева 58
3.4. Применимость формулы В. С. Булдырева для в случае преломляющей границы 60 Заключение 66
Литература
- Эталонная задача – дифракция на границе двух полуплоскостей
- Волновые фронты волн шепчущей галереи и волны Булдырева в эталонной задаче
- Парадоксальность асимптотической формулы Булдырева
- Вывод формулы для волны Булдырева
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Исследования, которым посвящена диссертация, связаны с работами 1960-х годов В.С. Булдырева и его учеников (см. публикации [1], [2] и [3]), в которых теоретически изучались волны, сосредоточенные в окрестности границ разделяющих различные среды. Развитие этой тематики привело В.С. Булдырева к формулам, описывающим так называемую головную волну интерференционного типа. Она действительно имеет ряд черт, роднящих её с классической головной волной (для краткости мы будем называть далее головную волну интерференционного типа “волной Булдырева”).
Исследованиям свойств волны Булдырева при помощи метода пограничного слоя посвящены работы В. М. Бабича [4] и [5].
В отличие от классической головной волны волна Булдырева структурно устойчива, то есть при малых изменениях скорости или параметров границы раздела сред аналитический характер формул, её описывающих, сохраняется. Изучение структурно устойчивых волн представляется важным и актуальным.
Методы исследований. Точное решение эталонной задачи, постановка которой дана в первой главе диссертации, находится при помощи преобразования Фурье по переменной, параметризующей прямолинейную границу раздела двух сред. Для выделения из точного решения эталонной задачи частей, описывающих волны шепчущей галереи и головную волну интерференционного типа, использованы теоремы теории функций комплексного переменного (теоремы Коши, Руше и другие). Для асимптотической оценки решений типа шепчущей галереи был использован метод перевала. Высокочастотная асимптотика головной волны интерференционного типа найдена, пользуясь теоремами теории функций комплексного переменного, а также комбинированным методом В.Б. Филиппова (см. [6]). Структура волновых фронтов рассматриваемых волн найдена при помощи лучевого метода.
Научная новизна. Все результаты диссертации – новые. Найдено точное решение эталонной задачи дифракции волн точечного источника на границе двух полуплоскостей. Получен главный член высокочастотной асимптотики волны Булдырева в эталонной задаче. Исследованы основные свойства структуры волновых фронтов волн шепчущей галереи и
волны Булдырева.
Достоверность результатов. Уровень строгости изложения соответствует современному уровню строгости работ по математической физике. Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации подтверждают эвристические формулы Булдырева теории головной волны интерференционного типа. Это позволяет с большой уверенностью утверждать, что многие реально наблюдаемые акустические и упругие волны являются головными волнами интерференционного типа.
Апробация работы. Основные результаты работы обсуждались на Санкт-Петербургском семинаре по теории дифракции и распространения волн в ПОМИ им. В.А. Стеклова РАН, Санкт-Петербургском акустическом семинаре им. Д.П. Коузова, а также докладывались на международных конференциях “Days on Diffraction” (Санкт-Петербург, 2013, 2015).
Личный вклад автора. Первая и вторая главы диссертации основываются на работах диссертанта [A2], [A3] и [A4]. Третья глава основывается на совместных работах диссертанта с В.М. Бабичем [A1], [A5], результаты которых принадлежат соавторам в равной степени. Публикации. Материалы диссертации опубликованы в пяти печатных работах, из них четыре публикации в журналах, входящих в список ВАК [A1]-[A4], и одна публикация в сборнике трудов международной конференции [A5].
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации составляет 69 страниц текста с 19 иллюстрациями. Список литературы содержит 26 наименований.
Эталонная задача – дифракция на границе двух полуплоскостей
Из определения параметров к, «2 (см. параграф 1.1) следует, что область значений функции t(p) при р Є (—оо, оо) представляет собой прямую проходящую через точку ноль, а также через первый и третий квадранты плоскости комплексного переменного (. Нули (п функции Эйри v(Q лежат на интервале (—оо,0) (см. дополнение 1 монографии [5]). Пользуясь (1.30) приходим к выводу о том, что нули функции V(() находятся во втором квадранте плоскости комплексного переменного ( в малой окрестности отрицательной части вещественной оси. Таким образом область значений функции t(p) при р Є (—оо, оо) не имеет общих точек с множеством нулей функции V(Q, поэтому функция V\{t{p)) не имеет нулей на интервале р — \/сц {— ) . Пусть теперь р — л/ал ( — ) На указанном интервале t(p) 1. Пользуясь асимптотической формулой для функции Эйри v(() (см. дополнение 1 монографии [5]) имеем: Vi(t(p)) — —к ( \/р2 — (i\ — \/р2 — 1 ) v{t{p)). (1.31) Так как нули функции v(() лежат на отрицательной части вещественной оси а область значений функции t(p) не имеет общих точек с интервалом (—оо,0) приходим к выводу о том, что V\{t{p)) не имеет нулей в рассматриваемой области. Аналогично доказывается отсутствие нулей V\{t{jp)) в области р — л/аї і — (— ) .Из полученных результатов следует, что уравнение (1.28) не имеет решений при р Є (—оо,оо). Таким образом, решение эталонной задачи существует (точное решение представлено в предыдущем разделе) и единственно.
Рассмотрим луч, падающий на границу раздела сред под углом #, где О в #о, где во = arcsiiiy/oT - предельный угол полного внутреннего отражения. Пусть для определенности луч берет свое начало в точке с координатами х = 0, z = ZQ. В силу постоянства скорости распространения волн в области Г і, в начале своего движения луч будет двигаться по прямолинейной траектории. На границе раздела произойдет его отражение и преломление в область 0,2. Отраженный по закону Снеллиуса луч продолжит двигаться в области Г і в положительном по z направлении. Исследуем траекторию движения преломленного луча. Мнимая часть параметра «2 физически интерпретируется как величина, от которой зависит интенсивность поглощения волн в области Г 2, поэтому не умаляя общности, для удобства вычислений проводимых в этом параграфе будем считать 1т «2 = 0. Искомая траектория является решением дифференциального уравнения где So = (cos (/?, sin ер) - единичный вектор, направление которого совпадает с направлением распространения луча, ср - угол между касательной к траектории луча в рассматриваемой точке и границей раздела сред. Для простоты вычислений положим, что мнимая часть параметра «2 равна нулю. Тогда скорость распространения волн в нижней полуплоскости равна (1\ + «2 C i\z) = , (1.33) Выполняя дифференцирование в (1.32) приходим к системе дифференциальных уравнений с неизвестными функциями /?(s), z(s), где s - натуральный параметр естественной параметризации траектории луча: 2ф COS if («і + a2z) + Sin (/9 «2І = «2 Точка над функциями в системе уравнений (1.34) обозначает дифференцирование по переменной s. Обозначим за /3 угол преломления луча из верхней полуплоскости в нижнюю. Зная угол падения в и коэффициент преломления п = - , где hi z) - волновое число в области Г , этот угол может быть вычислен по формуле Снеллиуса
Проанализируем полученное выражение. При z = 0 угол ср должен быть равен 77 — /3, откуда находим неизвестную константу с = 1.
Зададимся вопросом, есть ли такая точка на траектории, касательная в которой параллельна границе раздела сред. Если бы такая точка существовала, это бы означало, что луч, прошедший в нижнюю полуплоскость, движется так, что, начиная с некоторого момента, он вновь пересекает границу раздела сред, впоследствии отражаясь от нее и преломляясь в верхнюю полуплоскость (см. рис. 1.6). Эта точка определяется из уравнения tg(/?(z) = 0. (1.37) Подставляя (1.36) в (1.37) приходим к выводу, что z - координата точки, начиная с которой луч начинает свое обратное движение в сторону границы, определяется формулой z = cos р. (1.38) «2
После того, как рассматриваемый луч вновь дойдет до границы раздела сред он испытает преломление в область Qi и отражение в область Г . Угол наклона траектории отраженной части луча в точности равен углу /3, поэтому луч, двигаясь в положительном направлении по ж, будет испытывать бесконечное число преломлений и отражений от границы раздела S и лучевая картина будет иметь вид изображенный на рисунке 1.5. Волны, лучи которых имеют такую структуру, называются волнами шепчущей галереи (см. [6], глава 3, [26]).
Волновые фронты волн шепчущей галереи и волны Булдырева в эталонной задаче
Предположение 2 разумеется необоснованная гипотеза. В её “оправдание” можно привести лишь тот факт, что модуль потока энергии вдоль узкой полоски лучей в первом приближении тоже пропорционален квадрату модуля дифракционного коэффициента.
Вернемся к вопросу о постоянстве амплитуды волны UM при передвижении точечного источника излучения вдоль полупрямой, выходящей из точки О под углом сро (см. рис. 3.2). Утверждается, что соответствующий эффект имеет место в случае, когда граница S является прямолинейной. Действительно, по определению волна UM представляет собой суперпозицию волн шепчущей галереи, лучи которых преломляются в область Г с углами скольжения заключенными в интервале (0,о). Из формулы (3.4) следует, что Єо не зависит от координат точечного источника. Из предположения 2 следует, что амплитуда рассматриваемой волны IIм зависит от модуля потока энергии волны Umc через площадку (0, As) С S. Величина As является функцией єо и координат точечного источника Щ. При удалении Щ от точки О вдоль указанной полупрямой область (0, As) увеличивается в размерах и несмотря на то, что амплитуда Umc уменьшается, суммарный поток энергии через эту площадку остается неизменным. Другими словами, амплитуда волны UM зависит от величины потока энергии той части Umc, которая в результате излучения из точечного источника распространяется внутри определенного углового сектора. Угловые параметры этого сектора однозначно определяются величиной в0, которая не зависит от положения источника. Но поток энергии волнового поля Umc не меняется при неизменности соответствующего углового сектора (при удалении точечного источника подынтегральное выражение в формуле (3.6) убывает, в силу убывания амплитуды падающей волны, но область интегрирования (0, As) увеличивается в размерах, в результате суммарный поток энергии остается неизменным).
Предположения сделанные в параграфе 3.2 являются необоснованными гипотезами, поэтому рассуждения, которыми мы пользовались для нахождения коэффициента возбуждения волны IIм носят эвристический характер. Пользуясь результатами полученными в настоящей главе сконструируем функцию UB (областью определения которой является Г ) описывающую главный член асимптотики волны Булдырева при к — оо исходя из следующих соображений: найдем функцию, которая в случае предельного перехода рассматриваемой задачи к эталонной (р — оо, С2 = const, щ = з 2 = 1) в главном приближении тождественно равна Uf (см. глава 2, формула (2.53)). В итоге приходим к следующей формуле: где J(Q) - геометрическое расхождение в точке Q (см. [5]), Т{0) - дифракционный коэффициент в точке О, 7 – приведенная длина дуги OQ (см. рис. 3.4). Мы предполагаем, что выражение (3.15) представляет собой искомую асимптотику волны Булдырева в рассматриваемой в диссертации задаче.
В разделе 3.1 было дано определение Єо - условной границы значений предельного луча (см. формулу (3.4)). Выражение (3.4) получено В. С. Булдыре-вым при рассмотрении не преломляющей, а отражающей границы и точечного источника излучения волн расположенного на ней. В диссертации граница преломляющая, но формула В. С. Булдырева для єо сохраняется. Целью этого параграфа является доказательство применимости формулы (3.4) в случае рассматриваемой нами задачи. Для достижения поставленной цели вычислим разность фаз двух лучей падающей волны преломившихся в область Г и в результате многократных переотражений от границы раздела сред пришедших в точку наблюдения N. Обозначим эти два луча \п и An+i. Предположим, что Пі Касательные к кривой S в точках S.M и 8м + As]\/ Рис. 3.5. К задаче о поиске разности фаз двух лучей \п и Хп+\ испытывающих п и п + 1 переотражений от границы раздела S. Пунктирными линиями, ортогональными лучам волн распространяющихся в области П\ изображены волновые фронты соответствующих волн. луч \п совершает п переотражений от границы S в области Г , луч An+i - п +1 переотражений, п 1. Пусть s = SM – значение натурального параметра кривой S в точке, в которой луч Хп пересекает границу раздела сред (см. рис. 3.5), Щ - длина участка начало которого совпадает с точкой пересечения \п с волновым фронтом изображенном на рис. 3.5 и заканчивающегося в точке его пересечения с кривой S, которую мы обозначим SM, М – угол скольжения Хп (угол который образует падающий на границу раздела луч с касательной к S в точке SM) и М – угол, который образует преломленная часть рассматриваемого луча с касательной С Л /(«+!) (п+1) (п+1) ков точке SM. Параметры луча An+i - гм , (рм и єм определяются аналогично (см. рис. 3.5). Пусть значение натурального параметра s в точке пересечения вторым лучом границы есть s = SM + ASM. Пользуясь рассуждениями аналогичными сделанным в параграфе (3.3) (см. формулы (3.9)-(3.13))
В формулах (3.21)-(3.22) (/9м и ( дг - функции переменной s однозначно определяющиеся функцией описывающей волновое поле падающей волны [Jmc, (рм(з) - значение угла скольжения луча падающей волны испытывающего отражение и преломление в точке s кривой S, (рм{з) - значение угла преломления в точке s луча волны распространяющейся в области f 1, порожденной волной шепчущей галереи распространяющейся в области Г .
Парадоксальность асимптотической формулы Булдырева
Для доказательства утверждения 1 покажем, что j в интеграле (2.19) можно продеформировать в контур, представляющий собой отрезок - [—у/а{, 0]. Обозначим через D - область охватываемую контурами 7 и j (см. рис. 2.2). Осуществим аналитическое продолжение G(p, z) как функции комплексной переменной р при фиксированном значении z в область D, используя формулу (2.20), определяющую эту функцию на контуре j . Определенная таким образом функция G мероморфна в D по переменной р, поэтому, доказав, что она не имеет в этой области полюсов, мы докажем правомерность указанной выше деформации. не имеет нулей в областях D и D, где D - область комплексной плоскости охватывемая контурами 7+ и 7,7 (см. рис. 2.2), D = {р Е С : р Е D}, причем чертой над функциями и переменными обозначается операция комплексного сопряжения.
Доказательство. Доказательство леммы будем проводить в два этапа. Вначале докажем отсутствие нулей рассматриваемой функции в области D, затем в области D.
Вещественная часть первого слагаемого в (2.29) отрицательна. При р Є D Re(p2 — 1) 0, следовательно вещественная часть второго интеграла также отрицательна. Кроме того, arg (—ci2z{t)) = 2р, при/: є (0, оо) иRe(р2 — «і) О, при р Є D откуда следует отрицательность третьего слагаемого в (2.29). Приходим к выводу, о том, что равенство (2.29), а вместе с ним и условие существования нулей функции Л2( ), не могут быть выполнены. Лемма 1 доказана.
Лемма 1 обосновывает правомерность стягивания контура в контур [—у/аГ, 0]. Для доказательства правомерности деформации контура [—оо, —л/а\\ в контур 7д достаточно показать, что знаменатель подынтегрального выражения N\{p) не имеет нулей в охватываемой в результате такой деформации области. В работе [17] доказывается отсутствие нулей функции N\{p) в II и IV квадрантах плоскости комплексного переменного р, что дает возможность деформации участков рассматриваемого контура в верхнюю полуплоскость. Аналогично доказывается, что Ni(p) не имеет нулей в области охватываемой при деформации [—оо, —л/а\\ в нижнюю полуплоскость. Утверждение 1 доказано.
Рассмотрим части интеграла в формуле (2.19), соответствующие интегрированию по каждому из вышеупомянутых участков контура Г. Пусть є и А -положительные постоянные, причем:
Пользуясь асимптотиками функций Эйри (1.19) - (1.21), при интегрировании по контуру 7д соответствующее подынтегральное выражение заменим на его асимптотическое приближение в главном порядке, при к — оо. Положим Imсї2 = —Cjjk-11, С/j - положительная постоянная. Величина /І определяет интенсивность поглощения в области Г . Убывание подынтегрального выражения на концах конутра 7д позволит вычислить соответствующий интеграл в главном приближении, при к — с помощью метода перевала. При этом, перевальная точка определяется формулой (2.21). Поскольку целью настоящей работы является выделение головной волны интерференционного типа, выкладки для нахождения асимптотики поля отраженной волны опускаются.
Исследуем поведение функции G(p,z) на участке контура , заключенном между точками Рз и РА (см. рис. 2.2). Здесь G(p,z) имеет порядок е-к\\тр \, поэтому интегрирование по этой части контура вклада в главное приближение Arefr(x, z) при к — оо не дает.
Рассмотрим окрестность Ro точки р = 0 радиуса г о (см. рис. 2.2). В работе [17] было доказано отсутствие нулей у функции Ni(p) в II и IV квадрантах плоскости комплексного переменного р. Пользуясь этим, продеформи-руем контур 7д в 7д = {Р Є С : Rep = О, Imp Є [—Го,0]} U {р Є С : Imp = —ro, Rep Є [0, оо)} (см. рис. 2.4). Малость е-к\1тР\ при Imp —го позволяет, не изменяя значение интеграла в (2.19) в главном порядке при к — оо, продлить контур 7«7, добавив участок, соединяющий точки Р и Рб. В результате в окрестности точки р = 0 контуры интегрирования будут иметь структуру, изображенную на рис. 2.4. Аналитические свойства функций Ni(p) и Л ( ) позволяют стянуть получившийся участок контура j в отрезок {р Є С : Rep = 0, Imp Є [—го,0]}. Объединим части интегралов по контурам 7сГ и 7д в один, проходящий по выше упомянутому отрезку мнимой оси. Полученный интеграл объединим с интегралом по контуру . Положитель
Вывод формулы для волны Булдырева
Рассмотрим луч, падающий на границу раздела сред под углом #, где О в #о, где во = arcsiiiy/oT - предельный угол полного внутреннего отражения. Пусть для определенности луч берет свое начало в точке с координатами х = 0, z = ZQ. В силу постоянства скорости распространения волн в области Г і, в начале своего движения луч будет двигаться по прямолинейной траектории. На границе раздела произойдет его отражение и преломление в область 0,2. Отраженный по закону Снеллиуса луч продолжит двигаться в области Г і в положительном по z направлении. Исследуем траекторию движения преломленного луча. Мнимая часть параметра «2 физически интерпретируется как величина, от которой зависит интенсивность поглощения волн в области Г 2, поэтому не умаляя общности, для удобства вычислений проводимых в этом параграфе будем считать 1т «2 = 0. Искомая траектория является решением дифференциального уравнения где So = (cos (/?, sin ер) - единичный вектор, направление которого совпадает с направлением распространения луча, ср - угол между касательной к траектории луча в рассматриваемой точке и границей раздела сред. Для простоты вычислений положим, что мнимая часть параметра «2 равна нулю. Тогда скорость распространения волн в нижней полуплоскости равна (1\ + «2 C i\z) = , (1.33) Выполняя дифференцирование в (1.32) приходим к системе дифференциальных уравнений с неизвестными функциями /?(s), z(s), где s - натуральный параметр естественной параметризации траектории луча: 2ф COS if («і + a2z) + Sin (/9 «2І = «2 Точка над функциями в системе уравнений (1.34) обозначает дифференцирование по переменной s. Обозначим за /3 угол преломления луча из верхней полуплоскости в нижнюю. Зная угол падения в и коэффициент преломления п = - , где hi z) - волновое число в области Г , этот угол может быть вычислен по формуле Снеллиуса
Зададимся вопросом, есть ли такая точка на траектории, касательная в которой параллельна границе раздела сред. Если бы такая точка существовала, это бы означало, что луч, прошедший в нижнюю полуплоскость, движется так, что, начиная с некоторого момента, он вновь пересекает границу раздела сред, впоследствии отражаясь от нее и преломляясь в верхнюю полуплоскость (см. рис. 1.6). Эта точка определяется из уравнения
Подставляя (1.36) в (1.37) приходим к выводу, что z - координата точки, начиная с которой луч начинает свое обратное движение в сторону границы, определяется формулой
После того, как рассматриваемый луч вновь дойдет до границы раздела сред он испытает преломление в область Qi и отражение в область Г . Угол наклона траектории отраженной части луча в точности равен углу /3, поэтому луч, двигаясь в положительном направлении по ж, будет испытывать бесконечное число преломлений и отражений от границы раздела S и лучевая картина будет иметь вид изображенный на рисунке 1.5. Волны, лучи которых имеют такую структуру, называются волнами шепчущей галереи (см. [6], глава 3, [26]).
Исследуем функцию 1х(в). Как видно из формулы (1.41), это неотрицательная, непрерывная, а следовательно ограниченная на отрезке в Є (0, во) функция, имеет один локальный экстремум в точке в = arcsm hr в котором достигает своего максимума. Функция 1Х достигает своего минимума в точках в = 0 и в = во (во = arcsin у/аГ – предельный угол полного внутреннего отражения) и обращается в этих точках в ноль.
Пусть (x,z) - точка наблюдения, причем х (z + Zo)tan#o и z О, то есть точка наблюдения находится в верхнем полупространстве, справа от отраженной части предельного луча полного внутреннего отражения. Пользуясь свойствами функции 1Х приходим к выводу: для каждой точки (ж, z) рассматриваемой области можно сопоставить такое целое число M(x,z), что для любого п М существует волна шепчущей галереи, берущая свое начало в точечном источнике излучения, испытывающая п - кратное переотражение от границы раздела S и приходящая в рассматриваемую точку наблюдения в результате рефракции в область Qi.
Исходя из физических представлений, можно считать, что две волны шепчущей галереи, пришедшие в точку наблюдения (x,z) после п — 1 и п отражений от границы S, сохраняют свою индивидуальность и могут наблюдаться порознь, если разность Тп — Тп_\ времен их прихода в рассматриваемую точку наблюдения превосходит период колебаний Т = — (см. [5]). Как и в статье [9] в дальнейшем будем предполагать, что две волны могут наблюдаться независимо друг от друга, если выполняется условие: где s - значение натурального параметра s в точке пересечения луча испытавшего п — 1 отражений от границы раздела сред с кривой S, q 1 и 6 - малое фиксированное число. В своих работах (см. [5]) В.С. Булдырев показал, что в задаче рассеяния волн точечного источника, расположенного на поверхности неоднородного цилиндра условие (1.42) эквивалентно неравенству: 0 С0 - скорость распространения волн вблизи поверхности раздела двух сред. В главе 3 приводится доказательство того, что неравенство (1.43) имеет место и в более общем случае дифракции волн точечного источника, расположенного на произвольном расстоянии от гладкой границы раздела двух сред. В рассматриваемой эталонной задаче дифракции волн точечного источника на границе двух полуплоскостей формула для 7 будет отличаться лишь тем, что под C0{S) необходимо понимать функцию скорости распространения волн вдоль S со стороны области Г 2, то есть C2(z)\z=0.
Из соображений описанных выше следует, что в точку наблюдения (ж, z) приходит «шлейф» состоящий из бесконечного числа волн шепчущей галереи. Так как только волны, испытывающие не более чем М переотражений, в полуплоскости Q2 могут наблюдаться независимо друг от друга, где М гтт, ло 2\/А гично волновое поле в рассматриваемой части полуплоскости Qi представить в виде суммы падающей волны Uinc, отраженной волны Ur, конечной суммы волн, порожденных рефракцией волн шепчущей галереи из области Г в область f i Uw , а также волны Uh, представляющей собой интерференцию бесконеч п М ного числа волн шепчущей галереи испытывающих количество переотражений п М. Последняя волна имеет уникальную структуру и в математической теории дифракции называется головной волной интерференционного типа или как мы ее называем для краткости - волной Булдырева. В работе [17] представлен метод, позволяющий из точного решения рассматриваемой задачи, выделить волны шепчущей галереи и найти их асимптотику при Кратко опишем этот метод.