Содержание к диссертации
Введение
1 Задача Коши для эволюционных уравнений, содержащих оператор Римана–Лиувилля порядка больше двух 26
1.1 Несимметричный случай 26
1.1.1 Случай а є U (4k, 4k + 1) U (4k + 1, 4k + 2) 27
1.1.2 Случай а Є U (4fc — 2, 4fc — 1) U (4k — 1, 4fc) fc=i
1.2 Симметричный случай 43
1.2.1 Случай а Є U (4fc,4fc + 1) U (4k + 1, 4k + 2) fc=i
1.2.2 Случай а Є U (4fc — 2, 4fc — 1) U (4fc — 1, 4fc) fc=i
2 Задача Коши для эволюционных уравнений, содержащих дифференциальный оператор порядка больше двух 55
2.1 Оператор дифференцирования порядка т = 4k + 2 56
2.2 Оператор дифференцирования порядка т = 4k + 1 61
2.3 Вспомогательная лемма 66
2.4 Оператор дифференцирования порядка т = 4к 71
2.5 Оператор дифференцирования порядка т = 4k — 1 78
3 Задача Коши для эволюционных уравнений, содержащих дифференциальный оператор порядка больше двух с постоянными коэффициентами
3.1 Порядок дифференциального оператора т = 6 87
3.2 Порядок дифференциального оператора т = 4 90
4 Невероятностные безгранично делимые распределения 95
4.1 Безгранично делимые распределения 96
4.2 Сходимость в L2(R) регуляризованных распределений стохастических
4.3 Сходимость в L2(R) регуляризованных распределений сумм независимых случайных величин 1 4.3.1 Случай а є (2,4) 103
4.3.2 Случай а є (4, 6) 112
4.4 Локальные предельные теоремы для больших уклонений 118
Заключение 126
Литература 1
- Случай а Є U (4fc — 2, 4fc — 1) U (4k — 1, 4fc) fc=i
- Оператор дифференцирования порядка т = 4k + 1
- Порядок дифференциального оператора т = 4
- Сходимость в L2(R) регуляризованных распределений сумм независимых случайных величин 1 4.3.1 Случай а є (2,4)
Введение к работе
Актуальность работы. Когда уравнения математической физики не могут быть решены явно, полезными оказываются интегральные представления решений, дающие возможность получить качественные свойства решения, а также оценить погрешность решений, полученных с помощью приближенных методов. В частности, в квантовой механике таким интегральным представлением является формула Фейнмана-Каца (см. [1], [3], [4], [7], [15]). Эта формула для широкого класса операторов Н = —~-г^ + V (гамильтонианов) дает интегральное представление решения задачи Коши
ди ,
— = —Ни} и(0}х) = (рух) (1)
в виде математического ожидания некоторого функционала от траекторий винеровского процесса (см. [1], стр. 60).
Аналогичный подход может быть использован не только для уравнения теплопроводности, но и для эволюционных уравнений, содержащих операторы дробного дифференцирования Т>± порядка а Є (0,1) U (1, 2) (см. [11], [14], [16], [19]). Решение задачи Коши для таких уравнений может быть представлено в виде математического ожидания функционала от траектории однородного устойчивого процесса Леви (устойчивого процесса с независимыми однородными приращениями). Такие представления решения называются еще представлениями в виде функционального интеграла.
В литературе рассматривался вопрос построения аналогичных представлений решения задачи Коши для эволюционных уравнений, содержащих дифференциальный оператор порядка а > 2 (см. [6], [8], [9], [12], [13], [18], [20] и другие). Эта задача не сводится к замене винеровского и устойчивых процессов на некоторый другой случайный процесс. Устойчивые процессы Леви существуют только для показателей а Є (0,2). Случаю а = 2 соответствует винеровский процесс. Заменить устойчивый процесс на какой-то другой однородный процесс с независимыми приращениями также невозможно. Действительно, нетрудно показать, что если для решения эволюционного уравнения справедливо представление в виде математического ожидания функционала
от некоторого случайного процесса, то генератор Л соответствующей полугруппы должен удовлетворять принципу максимума. То есть, если функция ср достигает в точке Хо абсолютного максимума, то необходимо Л(р(хо) ^ 0. Операторы дифференцирования (обычного и дробного) порядка больше двух этому условию очевидным образом не удовлетворяют.
Существуют два основных подхода к построению представления решения: первый подход основан на использовании теории псевдо-процессов (см. [8], [9], [12], [20]), второй - на построении комплекснозначных процессов (Фунаки [13], Маццукки [18], Маццукки и др. [10]). В частности, в работе Орсингера [20] строилось представление решения (в рамках теории псевдо-процессов) на основе так называемой ”обобщенной” устойчивой случайной величины, введенной в работе Лашаля [17]. Такое обобщение является формальным, так как известно (Далецкий, Фомин [2]), что, в отличие от вероятностного процесса, псевдо-процесс не порождает меру в пространстве траекторий.
Далее, в работах Смородиной и Фаддеева [5], [21] был предложен другой, уже вероятностный, подход к определению понятия симметричного устойчивого распределения с показателем устойчивости а > 2. Данный подход основан на использовании теории обобщенных функций.
Цель диссертационной работы. Целью настоящей диссертации является построение вероятностной аппроксимации решения задачи Коши для эволюционного уравнения с оператором дробного дифференцирования Т>± порядка а > 2, а также для эволюционного уравнения с оператором дифференцирования порядка m > 2.
Методы исследований. В настоящей диссертации мы частично используем методы, предложенные в работах [5], [21], но будем рассматривать не одномерные случайные величины, а аналоги однородных устойчивых процессов с независимыми приращениями. При этом, если в случае
оо
а Є U (4/с, 4&+1)и(4&+1,4&+2) мы будем пользоваться только методами ра-
к=\
оо
бот [5], [21], то в случае а Є U {4к — 2,4к — 1) U {4к — 1,4к) нами предложен
к=\
новый метод, основанный на использовании аппарата комплексного анализа, в частности, на теории пространств Харди. Вместо одного вещественного
процесса мы будем рассматривать два комплексных процесса. Использование методов теории обобщенных функций, а также теории точечных процессов позволило распространить оба подхода и на случай целых значений а.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и получены лично автором.
Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы в различных вопросах математической физики, в частности, в теории уравнений в частных производных. Результаты также могут быть использованы в различных вопросах теории вероятностей и стохастического анализа. Результаты и методы работы М. В. Платоновой будут востребованы в исследованиях, проводимых в Санкт-Петербургском государственном университете, Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова, Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН, Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В. А. Стеклова РАН, Институте проблем передачи информации РАН, Новосибирском государственном университете, Дальневосточном федеральном университете, Техническом университете им. Н. Э. Баумана.
Результаты и положения, выносимые на защиту.
-
Построены вероятностные аппроксимации решения задачи Коши для эволюционного уравнения с оператором дробного дифференцирования V± порядка а > 2, а ф N.
-
Построены вероятностные аппроксимации решения задачи Коши для эволюционного уравнения с оператором дифференцирования порядка т > 2.
-
Построена вероятностная аппроксимация решения задачи Коши для некоторых эволюционных уравнений, содержащих дифференциальный оператор порядка больше двух с постоянными коэффициентами.
-
Построены аналоги безгранично делимых распределений с ”мерой Леви” Л, удовлетворяющей условию J(x2 Л l)dA(x) = оо.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на международной конференции «XXVI Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам» (Батилиман,
17-29 сентября, 2015 г.), на семинаре отдела математической физики МИ-АН (Москва, январь 2017 г.), на Санкт-Петербургском Городском семинаре по теории вероятностей и математической статистики под руководством академика РАН И. А. Ибрагимова (Санкт-Петербург, октябрь 2015 г., май 2016 г.), на семинаре кафедры Высшей математики и математической физики СПбГУ (Санкт-Петербург, март 2016 г.), традиционной зимней сессии МИАН-ПОМИ (Санкт-Петербург, 13-15 декабря 2016 г.), на международной конференции ”Yu. V. Linnik Centennial Conference, Analytical methods in number theory, probability theory and mathematical statistics” (Saint Petersburg, September 14-18, 2015), на международной конференции ”2nd Russian-Indian Joint Conference in Statistics and Probability” (Saint Petersburg, May 30 - June 3, 2016), на летней школе ”A trilateral German-Russian-Ukrainian summer school Spectral Theory, Differential Equations and Probability” (Mainz, September 4-15, 2016).
Публикации. Основные результаты диссертации содержатся в четырех работах [П1]-[П4], опубликованных в ведущих научных журналах из списка, рекомендованного ВАК. Список работ приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав и заключения. Общий объем диссертации составляет 132 страницы. Список литературы содержит 53 наименования.
Случай а Є U (4fc — 2, 4fc — 1) U (4k — 1, 4fc) fc=i
Далее, в теоремах 2.2, 2.4, 2.6 и 2.8 мы покажем, что процесс є() может быть заменен на процесс, построенный по суммам независимых одинаково распределенных случайных величин с конечным моментом порядка т +1. Эти утверждения являются невероятностными аналогами центральной предельной теоремы.
Результаты диссертации Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. В первой главе мы построим вероятностную аппроксимацию решения задачи Коши для эволюционного уравнения с оператором Римана-Лиувилля порядка а больше двух. В первом параграфе мы построим вероятностную аппроксимацию решения зада оо чи Коши (9), (10). При этом, если в случае а Є U (4fc, 4fc + 1) U (Ak + 1, 4fc + 2) мы будем пользоваться только методами работ [16], [48], то в случае а Є U {\к — 2Лк — 1) U (4fc — 1, 4fc) предложен новый метод, основанный на использовании аппарата комплексного анализа, в частности, на теории пространств Харди. Фактически, вместо одного вещественного процесса мы рассматриваем два комплексных процесса.
Основные результаты первого параграфа первой главы содержатся в теоремах 1.1-1.4.
Во втором параграфе мы строим вероятностную аппроксимацию решения задачи Коши (1.37), (1.38). Мы покажем, что, если использовать подход, основанный на идеях комплексного анализа, для построения одномерных симметричных распределений (как в [16], [48]), то построенный объект будет иметь ”правильный” (такой же, как в случае а Є (0,2)) вид преобразования Фурье. При этом вместо двух комплексных процессов будут использоваться уже четыре комплексных процесса.
Основные результаты второго параграфа первой главы содержатся в теоремах 1.5-1.8. Во второй главе мы построим вероятностную аппроксимацию решения задачи Коши для эволюционного уравнения с оператором дифференцирования высокого порядка (13). Основные результаты второй главы содержатся в теоремах 2.1-2.8.
В третьей главе мы построим вероятностную аппроксимацию решения задачи Коши для уравнений, содержащих дифференциальный оператор порядка больше двух с постоянными коэффициентами. Частными случаями этих уравнений являются уравнения (14), (15) и (16). Основные результаты третьей главы содержатся в теоремах 3.1, 3.2.
Четвертая глава посвящена обобщению аналога устойчивых случайных величин на случай безгранично делимых распределений с ”мерой Леви” Л, удовлетворяющей условию J(x2 Л l)dA(x) = оо. Соответствующее распределение (аналог безгранич R но делимого распределения) является знакопеременным и, соответственно, невероятностным. Тем не менее, в последней части работы мы покажем, что предельная теорема о сходимости к такому распределению имеет простой вероятностный смысл, а именно, из него следует утверждение об асимптотике больших уклонений для сумм независимых случайных величин при некоторых предположениях об асимптотике хвостового распределения отдельного слагаемого. Основные результаты четвертой главы содержатся в теоремах 4.4, 4.5.
Результаты диссертации докладывались автором на международной конференции «XXVI Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам» (Батилиман, 17-29 сентября, 2015 г.), на семинаре отдела математической физики МИАН (Москва, январь 2017 г.), на Санкт-Петербургском Городском семинаре по теории вероятностей и математической статистики под руководством академика РАН И. А. Ибрагимова (Санкт-Петербург, октябрь 2015 г., май 2016 г.), на семинаре кафедры Высшей математики и математической физики СПбГУ (Санкт-Петербург, март 2016 г.), традиционной зимней сессии МИАН-ПОМИ (Санкт-Петербург, 13-15 декабря 2016 г.), на международной конференции ”Yu. V. Linnik Centennial Conference, Analytical methods in number theory, probability theory and mathematical statistics” (Saint Petersburg, September 14-18, 2015), на международной конференции ”2nd Russian-Indian Joint Conference in Statistics and Probability” (Saint Petersburg, May 30 — June 3, 2016), на летней школе ”A trilateral German-Russian-Ukrainian summer school Spectral Theory, Differential Equations and Probability” (Mainz, September 4-15, 2016).
Эти результаты содержатся в четырех работах [50]- [53], опубликованных в ведущих научных журналах из списка, рекомендованного ВАК. Структура диссертации Диссертация состоит из введения, 4 глав и заключения. Основные результаты работы сформулированы в виде теорем. Вспомогательные утверждения сформулированы в виде лемм. Общий объем диссертации составляет 132 страниц. Список литературы содержит 53 наименования. Благодарности
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, профессору Наталии Васильевне Смородиной, за постановку интересных задач, постоянное внимание и поддержку, полезные обсуждения и ценные советы, замечания и комментарии. Также автор благодарен коллективам кафедры Высшей математики и математической физики и математической лаборатории им. П. Л. Чебышева Санкт-Петербургского государственного университета за поддержку и создание рабочей атмосферы для работы и для написания диссертации.
Оператор дифференцирования порядка т = 4k + 1
Заметим, что в данном случае использованный для случая т = 4fc + 2 метод не работает, так как для таких значений т функция (2.3) сверхэкспоненциально возрастает на бесконечности и, соответственно, для нее не определено обратное преобразование Фурье. В данном случае для построения вероятностной аппроксимации решения задачи Коши мы привлечем некоторые идеи комплексного анализа (как и в случае оо о; Є U (4к — 2,4к — 1) U (4к — 1, 4fc)). fc=i Как и раньше, u(dt, dx) - пуассоновская случайная мера на [О, Т] х R с интенсивностью (45).
Для є 0 через є(і), t Є [0,Т] мы обозначим случайный процесс, заданный стохастическим интегралом по мере и, вида (49). Будем рассматривать тє(і), где о - комплексная константа. По теореме Кэмп-белла (см. [9]) имеем ее Eexp(ipaC4t)) = exp U [ (eiapy - 1)V). є Заметим, что в последней формуле экспонента ограничена по переменной р, если р 0 и Im (7 0 или р 0 и Im о 0. Рассмотрим проекторы Рисса Р±, действующие из Ьг(К-) на пространства Харди ні Возьмем два комплексных числа а+ = ехр( —) и т_ = ехр(——). Заметим, что а+ лежит в верхней полуплоскости, т_ лежит в нижней полуплоскости и, кроме того, т = т = — 1. Вместо одного случайного процесса Q{t) мы теперь рассмотрим два
Задача Коши для эволюционных уравнений... 72 комплексных процесса с+є(і) и т_є(і). Далее, сначала мы по начальному данному ip построим новую функцию ірм, полагая рм = Рм -Р. Функция рм уже будет целой аналитической функцией экспоненциального типа. Число М мы будем выбирать в зависимости от є, именно М = М{є) = (ее)-1. Далее, используя проекторы Рисса, представим функцию ірм в виде суммы двух функций - одна имеет ограниченное аналитическое продолжение в верхнюю полуплоскость, а вторая в нижнюю. Соответственно, для одной из них будем пользоваться одним комплексным процессом, для другой - другим.
Итак, для є 0 определим функцию двух переменных u(t,x) ue(t, х) = Е ( Рм оо\){х — о + еєє{ї)) + ( Рм ш1)(х а-Т( )) і (2.27) где функция ш1(х) определяется своим преобразованием Фурье ее / т— ехр - tj 2 j! J +i) Р ( 4- С ( " (ip)Ja-y] \ dy \ , п ЄХР I — tj I 2 \ ) m + l ), р U. е J=l Так как Р-р - аналитическая функция в нижней полуплоскости, а функция Р+ -р - аналитична в верхней полуплоскости, то функция u(t,x) корректно определена. Заметим также, что при таком выборе т± и m функция cD (p) является быстро убывающей.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 2.5. Пусть р Є W2+m+ (R), I 0, М{є) = (ее)-1, u(t,x) - решение задачи Коши (2.1), а функция u(t,x) определяется формулой (2.27). Тогда существует положительная константа С = С(т), такая что справедливо неравенство
Для оценки нормы слагаемого V{ воспользуемся формулой (1.6) с А = А и В = В , а для оценки нормы слагаемого У± воспользуемся формулой (1.6) с А = А+ и В = В+. Оценим только норму слагаемого V{ , норма слагаемого V оценивается аналогично.
Мы показали, что если начальная функция р принадлежит классу W2+m+ (R) при некотором / 0, то функция ue{t,x) по норме пространства W2(R) приближает решение u(t,x) задачи Коши (2.1) соответственно.
Таким образом, для решения задачи Коши (2.1) при т = Ак мы получаем представление u(t,x) = limE ( Рм оо\){х — cr+ (t)) + ( ptf d){x — 7_ є()) є о Как и раньше, через {j}?li мы обозначим последовательность независимых одинаково распределенных положительных случайных величин. Предположим, что у случайной величины i существуют моменты цт до т + 1 порядка и верно (2.9).
Рассмотрим случайный процесс (n(t), t Є [0,Т], определенный (2.10). Для натуральных п определим функцию un(t,x) Unit,х) = Е ( Рм хп)(х — a+(nit)) + ( Рм яп)іх a-(n(t)) , (2.32) где функция ип(х) определяется своим преобразованием Фурье — ш , , ,-, , v - U, ЄХР ( — Tit ( J % "jim, ) ) P 0. i=i Так как Р-рм – ограниченная аналитическая функция в нижней полуплоскости, а Р+рм – в верхней полуплоскости, то функция un(t,x) корректно определена. Справедливо следующее утверждение.
Теорема 2.6. Пусть р Є W2+m+ (R), I 0, M(ri) = 5$п 1 m, u(t,x) - решение задачи Коши (2.1), а функция unit,x) определяется формулой (2.32). Тогда существует положительная константа С = С(га), такая что справедливо неравенство
Для оценки нормы слагаемого V{ воспользуемся формулой (1.6) с А = А и В = В , а для оценки нормы слагаемого V- воспользуемся формулой (1.6) с А = А+ и В = В+. Оценим только норму слагаемого V{ , норма слагаемого V оценивается аналогично.
Порядок дифференциального оператора т = 4
Естественным обобщением устойчивой случайной величины является безгранично делимая случайная величина с мерой Леви Л.
Пусть v - пуассоновская случайная мера на R с интенсивностью Ei/(dx) = A(dx). В этой главе, мы рассмотрим нетипичный для теории вероятностей случай, когда J(х2 Al)dA(x) = оо. Предположим выполнение одного из условий: J(ж4 Al)dA(x) оо R, R, или J(x4 A l)dA(x) = оо, но J(x6 Л l)dA(x) оо. Также предположим, что Л R, R, симметричная мера с плотностью Л (ж) = #(ІЖІ) \x\i+ , 9ІХ) Є С1 (TV), 0 В д{х) С, а Є (2, 4) U (4, 6). Для є 0 через є обозначим случайную величину (интеграл по пуассоновской мере и) є = / xvidx). R.\(—є,є)
В последней формуле не существует предела при є — 0 при наших предположениях на меру A(dx). Через ре обозначим плотность распределения случайной величины є. некоторую последовательность функций (є из L2(R), такую что последовательность рє є сходится в L2(R) к плотности q знакопеременной меры Q.
Далее покажем, что распределение Q является предельным для сумм независи Глава 4. Невероятностные безгранично делимые распределения 96 мых случайных величин. Именно, рассмотрим последовательность серий независимых в каждой серии одинаково распределенных симметричных случайных величин. Предположим, что функция распределения Fn случайной величины гад. удовлетворяет условию для любого X ф О nFn(x) — Л(ж), х О, ra-s-oo (4.1) 77,(1 — Fn(x)) — Л(ж), X 0.
Обозначим через Vn распределение случайной величины 2$,nj, а через рп соот 3 =1 ветствующую плотность. В параграфе 4.3 мы построим последовательность функций (n, п Є N, такую что соответствующая последовательностьpn-\-pn (n сходится в L2(R) к плотности q знакопеременной меры.
Соответствующая предельная мера Q является знакопеременной и, соответственно, невероятностной. Вне конечного интервала функция q положительна. В параграфе 4.4, используя положительную часть предельной меры, мы докажем утверждение об асимптотике больших уклонений сумм независимых случайных величин.
В этой главе, мы используем другой вариант построения регуляризованных выражений при а Є (2, 4). С одной стороны, этот способ проще, так как он не использует идеи комплексного анализа, с другой стороны, для характеристической функции обобщенного распределения мы получим вид, отличающийся от ”классического” (тем не менее, мы покажем, что вероятностный смысл не теряется).
Рассмотрим представление Леви-Хинчина для безгранично делимой случайной величины. Пусть v - пуассоновская случайная мера на R с интенсивностью Ei/(dx) = A(dx), причем мера Л (ж) - симметрична и удовлетворяет / (х Л l)dA(x) оо, (4.2) R то есть является мерой Леви некоторого безгранично делимого распределения. Обозначим множества Re = R \ (—є, є) и Вє = {х : є \х\ 1}. Для є 0 через є обозначим случайную величину (интеграл по пуассоновской мере v) є = / xv{dx) = / xu(dx) + / xu(dx) = x + ж. (4.3) R, B ж 1 ІКЄ{ЛПІ жЄ{АП{ж 1)) Известно, что если выполнено (4.2), то существует предел = (і2)Нт є = (L2)lim / xvidx) + / xu(dx), (4.4) є- 0 є О / / В ж 1 причем случайная величина имеет безгранично делимое распределение с мерой Леви Л. Характеристическая функция f(j ) случайной величины равна /О5) = ехР ( / \еУх — 1 — грж1[_1д](ж)ЫЛ(ж)). (4.5)
Хорошо известно [4], что безграничная делимость вероятностного распределения является как необходимым, так и достаточным условием того, что данное распределение является предельным для распределений сумм независимых случайных величин. Именно, рассмотрим последовательность серий независимых в каждой серии случайных величин.
Теорема 4.1. Для того чтобы при надлежащем выборе постоянных Ап функция F(x) могла быть предельной в смысле слабой сходимости распределений для сумм Zn = „i + ... + nk„ — Ап (4.6) Глава 4. Невероятностные безгранично делимые распределения 98 независимых бесконечно малых случайных слагаемых, необходимо и достаточно, чтобы она была безгранично делимой.
Условия сходимости к заданному безгранично делимому распределению были получены Б. В. Гнеденко.
Для того чтобы при надлежащем выборе постоянных Ап функции распределения сумм (4.6) слабо сходились к безгранично делимой функции распределения F(x), необходимо и достаточно, чтобы 1. knFn(x) — А(х),х О, п— со &га(1 — Fn(x)) — А(х),х О, п— со во всех точках непрерывности Л (ж). 2. lim lim кп х dFn{x) = lim lim кп х dFn{x) = а , є— 0ri— оо / є— 0 п— оо ж ж где А(х) и а2 определяются формулой Леви для закона F{x), а Fn{x) - функции распределения величин „&. Доказательство теорем 4.1 и 4.2 см. в [4].
Пусть u(dx) - пуассоновская случайная мера на R с интенсивностью A(dx). Как и раньше, предполагаем, что Л - симметричная мера. Для любого є 0 обозначим случайную величину є = / xu(dx), (4.7) где Re = R\ (—є,є). Глава 4. Невероятностные безгранично делимые распределения 99 Предположим, что мера Л имеет следующий вид: dA(x) = X(x)dx, где Х(х) = g(\x\), }+а, а Є (2,4) U (4,6), а функция д{х) ограничена сверху и снизу, именно О В д(х) С. (4.8) В этом случае J(x2 Л l)dA(x) = оо и в выражении (4.5) стоит расходящийся инте R грал.
Регуляризуем выражение, стоящее под знаком интеграла, в (4.5). При регуляризации будем умножать характеристическую функцию на некоторую специально выбранную функцию ше. Эта операция соответствует свертке плотности ре распределения случайной величины є с функцией ше.
Сходимость в L2(R) регуляризованных распределений сумм независимых случайных величин 1 4.3.1 Случай а є (2,4)
Рассмотрим теперь случай а Є U (4k — 2Лк — 1) U (4k — l,4fc). В данном слу fc=i
чае предложенный выше метод не работает, так как для таких значений а функция (36) сверхэкспоненциально возрастает на бесконечности и, соответственно, для нее не определено обратное преобразование Фурье. В данном случае для построения вероятностного представления решения задачи Коши мы привлечем некоторые идеи комплексного анализа. Введем несколько обозначений. Через Р+ обозначим проектор Рисса, действующий из Ьг(К-) на пространство Харди Н _, а через Р_ обозначим проектор Рисса, действующий из Ьг(К-) на пространство Харди Н2_. Хорошо известно (см. [12]), что носитель преобразования Фурье граничного значения функции из Н2_ лежит на положительной полуоси, а носитель преобразования Фурье граничного значения функции из Н _ содержится на отрицательной полуоси. Далее, для М 0 через Рм обозначим проектор в L2(R) на подпространство функций ф, таких что носитель преобразования Фурье ф содержится в отрезке [—М, М], именно, Рмф = Ф 1[-м,м].
Возьмем два комплексных числа т+ = ехр( —) и т_ = ехр(——). Заметим, что т+ лежит в верхней полуплоскости, т_ лежит в нижней полуплоскости и, кроме того, с" = о"_ = — 1. Вместо одного случайного процесса є() мы теперь рассмотрим два комплексных процесса т+є() и сг_є(). Далее, сначала мы по начальному данному ір построим новую функцию ірм, полагая ірм = Рм -Р. Функция ірм уже будет целой аналитической функцией экспоненциального типа. Число М мы будем выбирать в зависимости от є, именно М = М(є) = є , где 0 6 _. ,"г ,. Далее, используя проекторы Рисса, представим функцию ірм в виде суммы двух функций - одна имеет ограниченное аналитическое продолжение в верхнюю полуплоскость, а вторая - в нижнюю. Соответственно, для одной из них будем пользоваться одним комплексным процессом, для другой - другим. В настоящей работе показано, что если начальная функция ір принадлежит классу W2 (R) для некоторого / 0, то функция u(t,х) = E\(P_LPM ш1)(х a+e(t)) + (Р+ рм ш1)(х a-Ce(t))\ , по норме W R), / 0 приближает решение u(t,x) задачи Коши (9), (10). Далее, в теоремах 1.2 и 1.4 мы покажем, что процесс є() может быть заменен на процесс, построенный по суммам независимых одинаково распределенных случайных величин со степенной асимптотикой хвостового распределения. Эти утверждения являются невероятностными аналогами предельных теорем о сходимости к устойчивым распределениям.
Пусть теперь а = т 2 - натуральное число. При построении вероятностной аппроксимации решения задачи Коши (13), мы будем пользоваться практически теми же методами, что и при нецелых а. Заметим, что генератор полугруппы
В последней формуле є - это основание натурального логарифма. Промежуток интегрирования [є,еє] выбирается из условия Как и в случае нецелого показателя а, здесь возникают два существенно различных случая: случай т = 4А; + 1,т = 4А; + 2и случай т = Ак — 1, т = Ак. Покажем, как построить вероятностное представление полугруппы с генератором Л, определяемым по формуле
Мы покажем, что если начальная функция р принадлежит классу W2+m+ (R) при некотором / 0, то функция где функция ш1(х) определяется своим преобразованием Фурье приближает решение u(t,x) задачи Коши (13) по норме пространства W R).
Случай т = 4fc+l рассматривается аналогично, а для случаев т = \к и т = Ак—1, так же как и для нецелых а, приходится привлекать идеи из комплексного анализа. Построим вероятностное представление решения задачи Коши (13) для т = Ак. Выберем два комплексных числа а+ = ехр(ж) и т_ = ехр(——). Заметим, что, как и раньше, 7__ лежит в верхней полуплоскости, т_ лежит в нижней полуплоскости и, кроме того, т = т = — 1. Вместо одного случайного процесса є(і) мы теперь рассмотрим два комплексных процесса с+є(і) и т_є(і). Далее, сначала мы по начальному данному ip построим новую функцию ірм, полагая ірм = Рм -Р. Функция ірм уже будет целой аналитической функцией экспоненциального типа. Число М мы будем выбирать в зависимости от є, именно М = М{є) = (ее)-1. Далее, используя проекторы Рисса, представим функцию ірм в виде суммы двух функций - одна имеет ограниченное аналитическое продолжение в верхнюю полуплоскость, а вторая - в нижнюю. Соответственно, для одной из них будем пользоваться одним комплексным процессом, для другой - другим.
Мы покажем, что если начальная функция р принадлежит классу W2+m+ (R) при некотором / 0, то функция ue{t, х) = Е ( Рм оое){х — с+єЄ(і)) + ( р м шє)(х а-єЄ(ї)) і приближает решение u(t,x) задачи Коши (13) по норме пространства W R). Далее, в теоремах 2.2, 2.4, 2.6 и 2.8 мы покажем, что процесс є() может быть заменен на процесс, построенный по суммам независимых одинаково распределенных случайных величин с конечным моментом порядка т +1. Эти утверждения являются невероятностными аналогами центральной предельной теоремы.
Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. В первой главе мы построим вероятностную аппроксимацию решения задачи Коши для эволюционного уравнения с оператором Римана-Лиувилля порядка а больше двух. В первом параграфе мы построим вероятностную аппроксимацию решения зада оо чи Коши (9), (10). При этом, если в случае а Є U (4fc, 4fc + 1) U (Ak + 1, 4fc + 2) мы будем пользоваться только методами работ [16], [48], то в случае а Є U {\к — 2Лк — 1) U (4fc — 1, 4fc) предложен новый метод, основанный на использовании аппарата комплексного анализа, в частности, на теории пространств Харди. Фактически, вместо одного вещественного процесса мы рассматриваем два комплексных процесса.
Основные результаты первого параграфа первой главы содержатся в теоремах 1.1-1.4. Во втором параграфе мы строим вероятностную аппроксимацию решения задачи Коши (1.37), (1.38). Мы покажем, что, если использовать подход, основанный на идеях комплексного анализа, для построения одномерных симметричных распределений (как в [16], [48]), то построенный объект будет иметь ”правильный” (такой же, как в случае а Є (0,2)) вид преобразования Фурье. При этом вместо двух комплексных процессов будут использоваться уже четыре комплексных процесса.