Введение к работе
Актуальность темы. Суперсмшетричнаи квантовая теоркг поля является аппаратом, удобным для построения анализа в бесконечномерном пространстве [1]. При этом сунерсимметричнып гамильтониан Я свяоан с супероарддом Q, играющим роль онера-тора Дирака на пространстве петель, соотношением II = Q2. Идея подобного рассмотрения, нранагиюж.-хпдм Э. Виттеиу [2, 3, 4], была фактически реализована п работах А.Джаффе с. сотрудниками [5, 6, 1]. В тих работах ксе^едоралсд случай, когда супер-сиотенциал / -олве-гся гошгчомиалшой функцией беюнного поля. Однако анализ cyiiepcan.vfn ря'пшх теорий ткни, хах л шнъл&з пм-бых воапмодействуюших систем с бесконечным часлом стелемся свободы, является крайне сложным. Поэтому необходима "лаборатория", в которой можно было бы на более простых примерах увидеть уже найденные качественные оффехты, свойственные сложным системам.
Кроме того, сунерскмиетричная квантовая механика может оказаться нолеоной при формировании нового вогляда на "старые" конечномерные оадачп. Примером воонихновення такого нового взгляда может служить работа [4], в которой получены классические неравенства Морса, используя суперелмиетрячлость оператора Лапласа на дифференциальных формах и работа [7], и которой получена теорема Атьи-Зикгсрацла классических комплексов, прачем различным, комплексам отвечают р&гшячные суперсимме-тржчные инволюции. Это пок^изывае' тав же важность понятая инволюции суперсииметрнчного гамильтониана, отмечаишейся в [8]. Именно инволюции определяют тот множитель, с которым число ноль-мод входит в индекс, а свойство их антикоммутаїгни с супероарядоы приводит к топологической устойчивости индекса.
Для постороення более сложных, чем индекс Бятгена, индексов для суперснмметрнчных гамнльтонианон, естественно рассматривать на ряду со стандартной инволюцией (-1)'к друїие (дополнительные) инволюции, которые бы определяли ралложения пространства состояний а веса, с хоторыми ж.'оОходамо брать числа ноль-мод для достижимая топологической устойчивости новых
индексов. Поетому представляется актуальным обобщить понятие алгебр супер симметричной квантовой механики л перейти к алгебрам обобщенной суперсимыетриченой квантонои механнжн (GSQM - алгебры) со многими инволюциями {т;}, которые либо коммутируют, либо антнюммутируют между собой п аитиком-мутируют с супероарядом Q.
Цель работы. Целью работы является введение алгебр обобщенной суперсимметрпн (GSQM) со многими инволюциями, описание структур их реалкоацик, введение на основе этого новых топологических индексов, евлоанных с дополнительными енволюце-ямп, а также установление сзяои GSQM-алгебр с деформациями алгебры расширенно суперсимметрдчной квантовой механики.
Научная новизна и практическая ценность. В диссертации получены следующие основные результаты:
1. Введены алгебры обобщенной супер симметричной квантовой механики и описана структура их представлений;
2 Введены свяоаиные с GSQM- алгебрами топологические индексы;
-
Построена супер симметричные квантовые гамильтонианы на римановых поверхностях с прОЕпводьным мероыорфныад су-перпотенциалом;
-
Показано что оти квантовые гамильтонианы являются GSQM-гамильтоннажша и вьияслены GSQM- индексы;
-
Построена q- кефориация расширенной супер симметричной квантовой механики иа основе q- суперполевого формалтша
и продемонстрирована евдоь с GSQM-ащ-сбрами;
Полученные результаты поовоашот аффективно использовать до-
пояпдтсдыше дискретные симметрии суперошметрычных камі-
товых г&иплътошшюа н получать с их помощью новые теоремы об ккдексе.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на научных семинарах ПОМП и в процессе работы семестра пм.II.И.Лобачевского ММИ им. Эйлера (Санхт - Петербург 1992).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в пяти работах, приведенных в конце автореферата.
Структура п объем работы. Дяссертаци состоит ш введения, трех глав, оаключекпн и трех приложений и содержит 117 страниц машинописного текста. Библиография включает 56 наименований.