Введение к работе
Актуальность темы. Открытие метода обратной задачи теории рассеяния в применении к нахождению точных решений нелинейных уравнении математической физики внесло решающее изменение в понимание математики и физики яединейных явлений. За историю своего существования этот метод возводил проинтегрировать большое число уравнений, встречающихся в гидродинамике, физике плазмы, нелинейной оптике физике твердого тела и т.д. Широкий спектр конкретных приложений с одной стороны и красота возникающих математических конструкций с другой стороны явились факторами, обеспечившими бурное развитие метода обратной задачи.
Необходимо отметить, что на фоне аналитических подходов, базирующихся на аппарате задачи Римана или интегральных уравнений Гедьфанда- Левитана-Марченко, несколько в тени оставался метод, традиционно связываемый с именем Бэклункда.
Одной из трудностей, возникающих на пути реализации итого метода состоит в том, что открывая формальную возможность построения широкого класса решений, преобразования Бэхдунда не дают единого алгоритма реализации этой возможности. Кроме того попытки решения нелокальных уравнений я уравнений с двумя пространственными переменными с помощью этого метода наталкиваются на определенные трудности, которые в ряде случаев так и не удалось преодолеть.
Диссертация посвящена созданию я развитию алгебраического подхода в теории содитонов - метода преобразований Дарбу. Эти преобразования являются мощным аппаратом получения широких классов точных решений нелинейных уравнений, совмещая в себе аналитическую простоту, содержащуюся в преобразованиях Бэклун-да и используя преимущества, даваемые представлениями Лакса-Захарова-Шабата.
Основой работы послужили классические результаты Дарбу,
полученаые в І882г. ,J в связи с исследованиями свойств ковариантности задачи Штурма-Лиувиняя. В 1979г. Матвеев 2> перенес метод преобразований Ларбу па уравнения в частных производных и обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков. С этого момента и началось последовательное развитие и применение метода к решению различных нелинейных уравнений. Помимо работ автора, выполненных отчасти в соавторстве с В.Б.Матвеевьш, А.Р.Итсом, А.В.Рыбнньш, С.В.Лебле, А.В.Юровыы и М.В.Бабичем следует отметить работы Нейгеб&уера н Крамера *) и метод Марченко, *> подход которых во многом аналогичен методу преобразований Дарбу. Пошшо этого следует отметить серию работ Андрианова, Борисова, Иоффе и Эйдеса,8* в которых метод преобразований Ларбу в форме метода факторизации позволил достичь определенного прогресса в построении сулерехшметричной теории. Из последних работ, выполненных в данном направлении следует исследования Матвеева, посвященные сверхбезотражатеяьным потенциалам.
Иеяь работьу объест и метода теследоваюш. Целью работы являлось создание п развитие перспективного направления современной математической физики - алгебраического подхода в теории солитонов. Второй целью было решение проблемы получения широких классов точных решений целого ряда нелинейных уравнений, возникающих при описании разноплановых физических явлений и необходимых для развития соответствующих дисциплин. Помимо
*>' DaibouxG.// *> Matveev V.B. // Lett. Math. Pbys. 1979- V. 3. P. 213-216., ibid P. 217-222. *) Neugebauer G. // J. Pbys. 1979. V. A12. P. 67.. Neugebauer G., Kramer A. // J. Pbys. 1983. V. A16. P. 1927-1936. ** Марченко В.А. Нелинейные уравнения и операторные алгебры. Киев: Наукова думка. 1986. *' Андрианов А.А., Борисов Н.В., Иоффе М.И. // Теор. и мат. физ. 1984. Т. 61. № 1. С. 17-28., ibid № 2. С. 183-198. этого алгебраический подход позволяет получить рад результатов, существенных длл развития чисто линейных теорий (^уравнения, суперсимметричная квантовая механика). Научная новизна н практическая ценность. Новизна проведенного исследования определяется тем, что что полученные формулы, описывающие как точные решения ряда нелинейных уравнений, так и выражающие некоторые свойства и отношения на качественном уровне, являются новыми, впервые появившимися в работах автора настоящеЗ диссертации. Практическая ценность определяется потребностями различных физических дисциплин таких как нелинейная оптика, теория твердого тела и т.д. В области исследования линейных систем получены следующие результаты: построены преобразования Дарбу для матричных уравнений с рациональной зависимостью от спектрального параметра; исследованы свойства Дарбу-ховариактности ряда разностных и дифференциально-разностных уравнений; введены базирующиеся на использовании контурных интегралов преобразования, названные бинарными преобразованиями Дарбу. Построены бинарные преобразования для всех основных типов дифференциальных уравнений в частных производных с двумя переменными, для дифференциально-разностных и матричных уравнений; построена общая схема преобразований Дарбу для случая линейных уравнений, рассматриваемых в ассоциативных кольцах с введенной там операцией обобщенного дифференцирования; показана схема применения преобразований Дарбу к построению рекуреятных соотношений между g-анаяогаид специальных функций; показано, что рекурептные формулы для классических специальных функций могут быть получены на основе некоторого обобщения преобразований Дарбу. Данный результат открывает возиожность, связанную с упрощенней исследования уравнений с больший числом особых точен и уравнений высших порядков; — формулы бинарного преобразования Дарбу применены к В области исследования нелинейных уравнений получены следующие результаты: — построены преобразования Дарбу и получены широкие Получены формулы, описывающие взаимодействие солитонов уравнений Кортевега - де Фриза и нелинейного уравнения Шредивгера с фоновыми решениями, рассчитаны фазовые сдвиги, приобретаемые солитоном в процессе такого взаимодействия; построена теория Дарбу-ковариантности цилиндрического аналога уравнения КдФ, уравнения Вуссинеска, уравнения синус-Гордон, N-волнового уравнения, ряда других нелинейных уравнений, ішеюшліх-таожие_представяеніи-7Гиаа—Л акса^Захарова^Ш абатапг-уравнения Каупа; построена теория преобразований Дарбу для нелинейного уравнения Шредивгера, подучены новые точные решения этого уравнения на фоне периодической волны, в частности, "вспухающие'" решения - ексуаьтоны; построены формулы, описывающие солитов-солитонкое рассеяние в общей ситуации, соответствующей многосолитонньш реш- ениям, получаемым с помощью преобразований Дарбу, рассмотрены частные случаи. Апробация работы. Результаты работы докладывались в разные годы на семинарах в Физико-технической институте и Институте прикладной физики РАН, па семинарах им. Петровского, па всесоюзных и международной конференции по нелинейным волнам в Калининграде, на международных конференциях NEED'S в Дубне и по физика нелинейных явлений в Киеве. По результатам диссертации был прочитан курс лекций в университете г.Падерборн (Германия). Публикации по теме. Содержание диссертации опубликована в работах {1-21] и препринтах [22,23]. Структура я объам работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Первая глава состоит из десяти параграфов, вторая - из восьми, третья - из семи, четвертая - из девяти. В список цитируемой литературы включено 110 названий.
построению двумерных сунерснмметрнчных гамильтонианов, отвеча
ющих расширенной алгебре суперсшшетрии.
классы новых решений, для таких уравнений как уравнение Ка-
Домцева-Петвнашвили, уравнение Джонсона, уравнение Двви-Стю-
артсона, уравнения двумеризованной цепочки Тоды и ее неабе-
Левого аналога, уравнения Веселова-Ноаккова, уравнения само-
индуцированной прозрачности, редуцированная сметена уравнений
Максвелла-Блоха, цепочки уравнений левтшоровских колебаний ее
неабелевого аналого и ряда связанных с шши систем, нелокального
уравнения КдФ и впервые рассмотренного дискретного аналога урав
нений Силнва-Тихончуна;