Введение к работе
Актуальность темы. Как известно, исследование большинства за дач физической теории рассеяния сводится к изучению асимптотического (в "бесконечно далёком прошлом" и в "бесконечно далёком будущем") поведения решений пары эволюционных уравнений. Наиболее хорошо изученной является ситуация пары линейных ди-намичеп их уравнений (в, вообще говоря, различных гильбертовых apoctpHiu шах) первого или второго порядка по времени с самосопряжёнными операторами в правых частях (задач Коши). В приложениях этими операторами обычно являются дифференциальные операторы в частных производных (в частности, операторы краевых задач), описывающие исследуемую пару физических систем. В то же время давно стало ясно, что, - безотносительно к физическим приложениям, - методы, характерные для теории рассеяния, с успехом могут быть использованы в задачах спектрального анализа самосопряжённых операторов.
Развитие математической теории рассеяния в контексте общей теории операторов, стимулированное как запросами физических наук, так и своей внутренней логикой, неизбежно приводит к потребности в расширении круга рассматриваемых задач. Одним из направлений исследования, преследующих эту цель, является несамосопряжённая теория рассеяния, имеющая дело с парой динамических уравнений, операторы в правых частях которых не предполагаются самосопряжёнными. Желательность такого обобщения "самосопряжённой" теории естественно возникает при рассмотрении физических задач, описывающих неконсервативные системы, процессы в которых протекают с поглощением и/или с выделением анергии. С точки зрения теории операторов развитие несамосопряжённой теории рассеяния представляется весьма полезным в целях лучшего понимания спектральной структуры несамосопряжённого оператора.
Точная формулировка положений несамосопряжённой теории рассеяния неизбежно приводит к двум различным (хотя и взаи- ' мосвязанным) задачам. Первая - описание класса операторов, для которых можно в каком-либо разумном смысле ввести основной объект теории рассеяния - абсолютно непрерывное подпространство, элементы которого ответственны за "асимптотически регу-
лярное" поведение соответствующей физичесіпй системы; вторая
- согласованное со свойствами этого подпространства определе
ние волновых операторов для пары операторов выделенного клас
са, а также формулировка достаточных условий их существования.
Также весьма важной, хотя и не основной, является задача описа
ния так называемого сингулярного подпространства -'совокупно
сти векторов исходного пространства, не принимающих участия в
процессе рассеяния.
В представленной работе предлагается вариант построения "несамосопряжённой" теории рассеяния, органически связанный с результатами проведённого предварительно исследования спектральной структуры одного класса несамоопряжённых операторов в гильбертовом пространстве. Этот класс включает в себя ряд важных для приложений операторов в частных производных, описывающих конкретные неконсервативные физические системы (многочастичное уравнение Шрёдингера с комплексными потенциалами парных взаимодействий, рассеяние электромагнитных, упругих, акустических волн на "активном" препятствии, распространение волн в неоднородной среде с поглощением и др.). Его точное описание приводится ниже; здесь же укажем, что в большинстве физически значимых примеров входящие в него операторы характеризуются справедливостью для них некоторого варианта принципа предельного поглощения (существование в подходящем смысле граничных значений резольвенты на вещественной ос «;.
Цель работы. Диссертация преследует следующие цели. Первая
- разработка и упорядочение тех положений теории линейных опе
раторов, каковые могли бы служить фундаментом для дальнейшего
развития несамосопряжёной теории рассеяния.'Здесь речь идёт о
первую очередь о понятиях абсолютно непрерывного и сингуляр
ного подпространств линейного оператора. Вторая определение
различных типов волновых операторов, обычных для самосопря
жённой теории, и формулировка достаточных условий их суще
ствования. В работе эти условия выражены в (характерных для
так называемого стационарного подхода теории рассеяния) терми
нах граничных значений "окаймлённых" резольвент.
Методика исследования. Основным инструментом исследования спектральной структуры нссамосопряжёншно оператора в диссер-
тации является, изучение его функциональной модели, построению которой посвящены две первые главы. При определении волновых операторов для несамосопряжённой пары используется надлежащим образом модифицированная методика стационарного подхода "самосопряжённой" теории рассеяния. Развитие соответствующего математического аппарата опирается на технику теории оснащённых и интерполяционных пространств.
Научная новизна. ГЗсе основпые результаты диссертации являются новыми.
-
Проведено построение функциональной модели вполне не-саиосопряжённого замкнутого оператора с непустым резольвентным множеством, форма которой удобна при изучении операторов, "не слишком сильно" отклоняющихся от самосопряжённых. Явно указаны формулы перехода в модельное пространство.
-
Рассмотрены примеры построения функциональных моделей несамосопряжённых расширений симметричных операторов с одинаковыми (возможно, бесконечными) индексами дефекта.
-
Изучен вопрос онределения и эквивалентных описаний локальных абсолютно непрерывных и сингулярных подпространств несамоеопряжённого оператора выделенного класса. -
-
Предложено согласованное с имеющимся функциональное исчисление для абсолютно непрерывной части несамосопряжённого оператора этого класса, а также сформулированы достаточные условия для отделимости и полноты его локальных абсолютно непрерывного и сингулярного подпространств. Исследован вопрос локализации абсолютно непрерывного спектра.
-
Предложено согласованное с имеющимся в самосопряжённой ситуации определение волновых операторов для пары линейных операторов выделенного класса.
-
Для "несамосопряжённого" случая доказаны основные теоремы существования различных волновых операторов: слабых стационарных, слабых и сильных нестационарных, абелевых.
7. Обсуждены свойства волновых операторов всех перечис
ленных типов и получены условия совпадения сильных нестацио
нарных волновых операторов с операторами, связывающими асим
птотики решений пары соответствующих динамических задач.
Научная и практическая ценность. Работа имеет теоретический
характер. .Полученные результаты представляют интерес для специалистов пв спектральной теории несамосопряжённых операторов, дифференциальных операторов в частных производных, теории рассеяния, теории функциональных моделей. Развитая в диссертации методика может быть использована в задачах об абсолютно непрерывном спектре несамосопряжённых (дифференциальных) операторов: при .изучении волновых процессов, происходящих в неоднородной (возможно, активной) среде в присутствии поглощающего расееивателя, в ряде задач квантовой механики, при построении спектральных разложений по собственным функциям абсолютно непрерывного спектра несамосопряжённых операторов, изучения свойств соответствующих 'преобразований Фурье", конструкции прямого интеграла Дж. фон Неймана и др.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах по теории несамосопряжённых операторов на кафедре математической физики СПбГУ (руководитель: Б. С. Павлов), на семинаре по спектральной теории операторов и теории функций лаборатории математического анализа IIі >МИ РАН (руководители: Н. К. Никольский, В. П. Хавин).
Публикации. По теме диссертации опубликовано четыре статьи.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, разбитых на параграфы, приложения и списка литературы. Общий объём диссертации составляет 195 страниц машинописного текста. Библиография содержит 74 наименования.