Абелевы калибровочные теории Зиновьев, Юрий Михайлович

Введение к работе

-

Актуальность темы. Крамере и Ванье заметили в 1941 г., что статистическая сумма двумерной модели Изинга с обратной температурой /3 пропорциональна статистической сумме этой модели при обратной температуре/3*, где (е²*³' — 1)(е²" — 1) = 2. Подобные симметрии были найдены также для некоторых других абелевых калибровочных теорий на решетке и оказались чрезвычайно полезными для изучения этих моделей. Однако попытки распространить полученные соотношения на калибровочные теории с произвольными абелевыми компактными калибровочными группами приводили к бессмысленным выражениям даже для такой важной группы, как U(l). Причина появления этих расходимостей очень проста: общее преобразование дуальности Крамерса-Ванье должно связывать G-калибровочную теорию с G'-калибровочной теорией, где дуальная группа G' состоит из всех характеров абелевой группы G. Обычные определения статистической суммы и корреляционной функции пригодны лишь для калибровочных теорий с компактными калибровочными группами. Однако дуальная группа абелевой компактной группы Ли не является компактной, например, V(l)' = Z.

В этой работе предложены определения действия, статистической суммы и корреляционной функции, отличающиеся от общепринятых определений и пригодные для любой калибровочной теории с абелевой локально-компактной калибровочной группой (для кубических решеток и компактных калибровочных групп эти определения эквивалентны обычным). Заметим, что дуальная группа абелевой локально-компактной группы снова является абелевой и локально-компактной. Более того, основная задача статистической физики - вычисление статистической суммы и корреляционных функций - сформулирована для абелевых калибровочных теорий как задача вычисления преобразования Фурье от функции exp[S], где S - действие калибровочной теории, заданной на группе кограниц решетки с коэффициентами в ка-" либровочной группе. Это дало возможность применить к исследованию абелевых калибровочных моделей нетривиальные теоремы гармонического анализа на абелевых локально-компатных группах.

Цель работы состоит в применении предложенных определений и методов для вычисления корреляционных функций известных калибровочных моделей. Вычислить корреляционные функции этих моделей другими методами до сих пор не удавалось.

Используемые методы. Кроме гармонического анализа на абелевых локально-компактных группах для каждой модели пришлось привлекать математические методы, присущие именно этой модели. Для доказательства дуальности, кроме теорем из теории когомологий, пришлось привлекать теоремы о полиэдральной аппроксимации, гладких многообразий. Изучение непрерывного предела R-калибровочвых теорий оказалось связанным с теоремой Ходжа для дифференциальных форм на гладких многообразиях. Корреляционные функции [/(1)-калибровочных моделей выражаются через тэта-функции Римана. Классическая модель Изинга. на дереве Кейли естественным образом обобщается до модели Изинга на обобщенном дереве Брюа-Титса, которое связано с определением Мамфорда для р-адической кривой. Асимптотические значения корреляционных функций этой модели являтся р-адическими интегралами. Аналогичные методы для U(l) модели на обобщенном дереве Брюа-Титса приводят к р-адическим интегралам, которые являюся амплитудами р-адических

струн. Исследование смешанной 17(1) и R калибровочной модели безмассового скалярного поля на римановои поверхности потребовало использования нетривиальных теорем из теории римановых поверхностей и тэта-функций.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты.

1. Доказано, что отношение статистической суммы G калибровочной теории к статистической сумме G' калибровочной теории равно интегралу от некоторой зависящей от действия функции по группе гомологии решетки с коэффициентами в G*. Для обобщенных а^елевых моделей Хиггса статистическая сумма G калибровочной теории всегда равна статистической сумме дуальной G* калибровочной теории независимо от геометрии решетки.

2. Для R калибровочных теорий на решетке- теории безмассового скалярного поля, электродинамики и решетчатого варианта модели антисимметричных тензорных полей Кэлба-Рэймонда - вычислены корреляционные функции.

3. Для R калибровочных теорий, заданных на евклидовом пространстве либо на компактном римановои многообразии - теории безмассового скалярного поля, электродинамики и модели Кэлба-Рэймонда антисимметричных тензорных полей - вычислены калибровочно инвариантные корреляционные функции.

4. Для U(l) калибровочной теории с действием Виллэна, заданной на кубической аппроксимации трех- и четырех-мерного тора, вычислены все корреляционные функции. Показано, что при стремлении шага решетки к нулю, а константы связи к бесконечности, естественным образом выбранные корреляционные функции сходятся к корреляционным функциям R калибровочной электродинамики на трех- и четырех-мерном торе. При стремлении радиуса тора к бесконечности эти корреляционные функции сходятся к корреляционным функциям R калибровочной евклидовой электродинамики.

5. Для U(l) модели с действием Виллэна, заданной на обобщенном дереве Брюа-Титса рода д, вычислены статистическая сумма и все корреляционные функции. Вычислены средние от корреляционных функций для N вершин, лежащих на границе обобщенного дерева Брюа-Титса. Когда радиус компактификации, соответствующий окружности U(\), стремится.к бесконечности, эти средние дают р-петлевые Л^г-точечные амплитуды рассеяния р-адической теории струн. В частности, для д = О эти средние совпадают с амплитудами Фройнда-Ольсона.

6. Для модели Изинга на обобщенном дереве Брюа-Титса рода д вычислены статистическая сумма и корреляционные функции. Вычислены средние корреляционных фукций, когда соответствующие вершины лежат на границе-обобщенного дерева Брюа-Титса^

7. На компактной римановои поверхности определена теория частично U(l) компактифицированного безмассового скалярного поля с действием Намбу-Гото. Статистическая сумма этой теории полностью определяется выбором конечномерных аппроксимаций. Корреляционные функции от этого выбора не зависят. Средние от асимптотических значений корреляционных функций дают амплитуды. Для компактной римановои поверхности любого рода все известные амплитуды рассеяния для замкнутых бозонных струн являются частными случаями полученных амплитуд.

8. На области компактной римановои пове'рхности определена теория частично
С(1) компактифицированного безмассового скалярного поля с действием Намбу-
Гото. Статистическая сумма этой теории полностью определяется выбором конеч-

номерных аппроксимаций. Корреляционные функции от этого выбора не зависят. Средние от асимптотических значений корреляционных функций дают амплитуды рассеяния для открытых бозонных струн. Корректно доказана предложенная в 1970 г. Г. Нильсеном гипотеза об амплитудах рассеяния.

Теоретическая и практическая ценность. Для широкого класса абелевых калибровочных моделей найден метод вычисления и оценки корреляционных функций. Это позволило явно вычислить корреляционные функции ряда R калибровочных моделей, а также вычислить непрерывный предел корреляционных функций предложенной Вильсоном У(1) калибровочной модели. Вычислены корреляционные функции модели Изинга на обобщенном дереве Кейли. Применение этих методов к U{\) калибровочной модели на обобщенном дереве Брюа-Титса позволило получить математически корректные выражения для амплитуд р-адических струн произвольного рода. Явный вид этих амплитуд для рода больше единицы был ранее неизвестен. Аналогично смешанная /(1) и R. калибровочная модель на компактной римановой поверхности позволила получить амплитуды рассеяния как для замкнутых, так и для открытых бозонных струн. В отличие от ранее полученных амплитуд эти амплитуды свободны от расходимостей и удовлетворяют всем физическим и геометрическим требованиям. Следует отметить, что для рода больше единицы амплитуды открытых бозонных струн ранее были неизвестны.

Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на Совещании по физике элементарных частиц (г. Триест, Италия, 1983 г.), на Второй международной конференции по операторным алгебрам и их приложениям в теоретической физике (г. Лейпциг, ГДР, 1983 г.), на Международных коллоквиумах по теоретике— групповым методам в физике (г. Юрмала, 1985 г. и г. Москва, 1990 г.), на Сессии Отделения ядерной физики АН СССР (г. Москва, 1990 г.). Результаты диссертации также докладовались на семинарах Института физики (г. Белград, СФРЮ, 1981 г.), на семинарах Отделения математики Лейпцигского Университета (ГДР, 1982 г. и 1988 г.), на семинарах Института теоретической физики Варшавского Университета (Польша, 1986 г.), на семинарах Института ядерных исследований и ядерной энергетики (г. София, Болгария, 1989 г.), на семинарах Международного центра по теоретической физике (г. Триест, Италия, 1989 г.), на семинарах под руководством акад. Я.Г. Синая (Мехмат МГУ, 1989 г.), на семинарах под руководстом акад. СП. Новикова (Мехмат МГУ, 1990 г.), на семинарах Лаборатории теоретической физики (ОИЯИ, г. Дубна, 1990 г.), а также па многочисленных семинарах отделов квантовой теории- поля и математической физики Математического института им. В.А. Стеклова РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] -[8].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из восьми глав, разделенных на двадцать шесть параграфов, и списка литературы. Общий объем диссертации 110 страниц, список литературы состоит из 75 наименований.